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19. (8分)如图,在$3×3$网格中,每个小正方形的边长都为1,$△ ABC$的顶点均在网格的格点(网格线的交点)上.
(1)填空:$AC=$
(2)$△ ABC$是直角三角形吗?请作出判断,并说明理由.
(1)填空:$AC=$
$\sqrt{2}$
,$AB=$$2\sqrt{2}$
,$BC=$$\sqrt{10}$
;(2)$△ ABC$是直角三角形吗?请作出判断,并说明理由.
答案
19. 【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.
【解析】(1)由题意可得 $AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2},AB = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2},BC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$. 故答案为 $\sqrt{2},2\sqrt{2},\sqrt{10}$.
(2)$△ ABC$ 是直角三角形. 理由如下:
由(1)可知,$AC = \sqrt{2},AB = 2\sqrt{2},BC = \sqrt{10}$.
$\because AC^2 + AB^2 = (\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 10,BC^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$,
$\therefore AC^2 + AB^2 = BC^2$,$\therefore △ ABC$ 是直角三角形.
【解析】(1)由题意可得 $AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2},AB = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2},BC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$. 故答案为 $\sqrt{2},2\sqrt{2},\sqrt{10}$.
(2)$△ ABC$ 是直角三角形. 理由如下:
由(1)可知,$AC = \sqrt{2},AB = 2\sqrt{2},BC = \sqrt{10}$.
$\because AC^2 + AB^2 = (\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 10,BC^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$,
$\therefore AC^2 + AB^2 = BC^2$,$\therefore △ ABC$ 是直角三角形.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用勾股定理计算网格中格点间的线段长度：对于直角边为a、b的直角三角形，斜边长度为$\sqrt{a^2+b^2}$，据此求出AC、AB、BC的长度；再根据勾股定理的逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断$△ ABC$是否为直角三角形。
【解析】
(1) 已知每个小正方形边长为1，根据勾股定理：
AC的水平距离为1，垂直距离为1，因此$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
AB的水平距离为2，垂直距离为2，因此$AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
BC的水平距离为3，垂直距离为1，因此$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
(2) 判断$△ ABC$是否为直角三角形，计算各边的平方：
$AC^2=(\sqrt{2})^2=2$，$AB^2=(2\sqrt{2})^2=8$，$BC^2=(\sqrt{10})^2=10$；
因为$AC^2 + AB^2=2+8=10=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$；(2) $△ ABC$是直角三角形，理由：$AC^2 + AB^2 = BC^2$，满足勾股定理逆定理。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，通过网格格点计算线段长度，再利用逆定理判定直角三角形，属于基础题型，需熟练掌握勾股定理的计算和逆定理的判定逻辑。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用勾股定理计算网格中格点间的线段长度：对于直角边为a、b的直角三角形，斜边长度为$\sqrt{a^2+b^2}$，据此求出AC、AB、BC的长度；再根据勾股定理的逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，据此判断$△ ABC$是否为直角三角形。
【解析】
(1) 已知每个小正方形边长为1，根据勾股定理：
AC的水平距离为1，垂直距离为1，因此$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
AB的水平距离为2，垂直距离为2，因此$AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
BC的水平距离为3，垂直距离为1，因此$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
(2) 判断$△ ABC$是否为直角三角形，计算各边的平方：
$AC^2=(\sqrt{2})^2=2$，$AB^2=(2\sqrt{2})^2=8$，$BC^2=(\sqrt{10})^2=10$；
因为$AC^2 + AB^2=2+8=10=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$；(2) $△ ABC$是直角三角形，理由：$AC^2 + AB^2 = BC^2$，满足勾股定理逆定理。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，通过网格格点计算线段长度，再利用逆定理判定直角三角形，属于基础题型，需熟练掌握勾股定理的计算和逆定理的判定逻辑。
【难度系数】
0.6
20. (8分)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,边$AB$的垂直平分线分别交$AB$和$AC$于点$D,E$,且$CE=DE$.
(1)求$∠ A$的度数;
(2)若$CB=1$,求$CE$的长.
(1)求$∠ A$的度数;
(2)若$CB=1$,求$CE$的长.
答案
20. 【点拨】本题考查垂直平分线的性质,三角形内角和定理,勾股定理和含30°角的直角三角形的性质,解题的关键是熟练掌握以上知识点.
【解析】(1)$\because ∠ C = 90°,DE ⊥ AB,CE = DE$,
$\therefore BE$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ CBE = ∠ ABE$.
$\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线,$\therefore EA = EB$,
$\therefore ∠ ABE = ∠ A,\therefore ∠ CBE = ∠ ABE = ∠ A$.
$\because ∠ C = 90°,\therefore ∠ CBE + ∠ ABE + ∠ A = 90°$,即 $3∠ A = 90°$,
$\therefore ∠ A = 30°$.
(2)$\because ∠ CBE = ∠ ABE = ∠ A = 30°,∠ C = 90°,\therefore BE = 2CE$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,由勾股定理,得 $CE^2 + BC^2 = BE^2$,
即 $CE^2 + 1^2 = (2CE)^2$,解得 $CE = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
【解析】(1)$\because ∠ C = 90°,DE ⊥ AB,CE = DE$,
$\therefore BE$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ CBE = ∠ ABE$.
$\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线,$\therefore EA = EB$,
$\therefore ∠ ABE = ∠ A,\therefore ∠ CBE = ∠ ABE = ∠ A$.
$\because ∠ C = 90°,\therefore ∠ CBE + ∠ ABE + ∠ A = 90°$,即 $3∠ A = 90°$,
$\therefore ∠ A = 30°$.
(2)$\because ∠ CBE = ∠ ABE = ∠ A = 30°,∠ C = 90°,\therefore BE = 2CE$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,由勾股定理,得 $CE^2 + BC^2 = BE^2$,
即 $CE^2 + 1^2 = (2CE)^2$,解得 $CE = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），结合已知条件推出BE平分∠ABC；再根据垂直平分线的性质得到EA=EB，进而推出角的等量关系，结合直角三角形两锐角互余求出∠A的度数。第(2)问利用第(1)问的结论，结合含30°角的直角三角形性质和勾股定理建立方程，求解CE的长度。
【解析】
(1)
∵ ∠C=90°，DE⊥AB，CE=DE，
∴ BE平分∠ABC（到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴ ∠CBE=∠ABE。
又
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ EA=EB（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴ ∠ABE=∠A，
∴ ∠CBE=∠ABE=∠A。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠CBE + ∠ABE + ∠A = 90°，即3∠A=90°，
解得∠A=30°。
(2) 由(1)知∠CBE=∠A=30°，在Rt△BCE中，∠C=90°，
∴ BE=2CE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
根据勾股定理，在Rt△BCE中，CE² + BC² = BE²，
代入BC=1，BE=2CE，得：
CE² + 1² = (2CE)²，
整理得：3CE²=1，
解得CE=√(1/3)=√3/3（CE为边长，取正值）。
【答案】
(1) ∠A=30°；(2) CE=√3/3
【知识点】
垂直平分线的性质、角平分线的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查了垂直平分线、角平分线、直角三角形的相关性质，解题关键是熟练运用各定理推导角的等量关系，结合勾股定理建立方程求解，属于中等难度的几何综合题，能有效考查学生的逻辑推理与运算能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先利用角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），结合已知条件推出BE平分∠ABC；再根据垂直平分线的性质得到EA=EB，进而推出角的等量关系，结合直角三角形两锐角互余求出∠A的度数。第(2)问利用第(1)问的结论，结合含30°角的直角三角形性质和勾股定理建立方程，求解CE的长度。
【解析】
(1)
∵ ∠C=90°，DE⊥AB，CE=DE，
∴ BE平分∠ABC（到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴ ∠CBE=∠ABE。
又
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ EA=EB（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴ ∠ABE=∠A，
∴ ∠CBE=∠ABE=∠A。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠CBE + ∠ABE + ∠A = 90°，即3∠A=90°，
解得∠A=30°。
(2) 由(1)知∠CBE=∠A=30°，在Rt△BCE中，∠C=90°，
∴ BE=2CE（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
根据勾股定理，在Rt△BCE中，CE² + BC² = BE²，
代入BC=1，BE=2CE，得：
CE² + 1² = (2CE)²，
整理得：3CE²=1，
解得CE=√(1/3)=√3/3（CE为边长，取正值）。
【答案】
(1) ∠A=30°；(2) CE=√3/3
【知识点】
垂直平分线的性质、角平分线的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查了垂直平分线、角平分线、直角三角形的相关性质，解题关键是熟练运用各定理推导角的等量关系，结合勾股定理建立方程求解，属于中等难度的几何综合题，能有效考查学生的逻辑推理与运算能力。
【难度系数】
0.6
21. (8分)为提升社区居民的幸福感,某小区准备将辖区内的一块平地,如图所示的四边形ABCD进行改建,将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板,已知运动型塑胶地板每平方米200元. 经测量$∠ B = 90°,AB = 9\ \mathrm{m},BC = 12\ \mathrm{m},CD = 8\ \mathrm{m},AD = 17\ \mathrm{m}$.
(1)求A,C两点之间的距离;
(2)求购买运动型塑胶地板的费用.
(1)求A,C两点之间的距离;
(2)求购买运动型塑胶地板的费用.
答案
21. 【点拨】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理的应用,熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键.
【解析】(1)如题图,连接 $AC$,
$\because ∠ B = 90°,AB = 9\ \mathrm{m},BC = 12\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15(\mathrm{m})$.
答:$A,C$ 两点之间的距离是 $15\ \mathrm{m}$.
(2)由(1)可知 $AC = 15\ \mathrm{m}$.
$\because CD = 8\ \mathrm{m},AD = 17\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC^2 + CD^2 = 15^2 + 8^2 = 289,AD^2 = 17^2 = 289$,
$\therefore AC^2 + CD^2 = AD^2$,
$\therefore △ ACD$ 是直角三角形,且 $∠ ACD = 90°$,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积为 $S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = \dfrac{1}{2}AB · BC + \dfrac{1}{2}AC · CD = \dfrac{1}{2} × 9 × 12 + \dfrac{1}{2} × 15 × 8 = 114(\mathrm{m}^2)$.
$\because$ 运动型塑胶地板每平方米 200 元,
$\therefore$ 购买费用为 $114 × 200 = 22\ 800$(元).
答:购买运动型塑胶地板的费用为 22 800 元.
【解析】(1)如题图,连接 $AC$,
$\because ∠ B = 90°,AB = 9\ \mathrm{m},BC = 12\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15(\mathrm{m})$.
答:$A,C$ 两点之间的距离是 $15\ \mathrm{m}$.
(2)由(1)可知 $AC = 15\ \mathrm{m}$.
$\because CD = 8\ \mathrm{m},AD = 17\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC^2 + CD^2 = 15^2 + 8^2 = 289,AD^2 = 17^2 = 289$,
$\therefore AC^2 + CD^2 = AD^2$,
$\therefore △ ACD$ 是直角三角形,且 $∠ ACD = 90°$,
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积为 $S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = \dfrac{1}{2}AB · BC + \dfrac{1}{2}AC · CD = \dfrac{1}{2} × 9 × 12 + \dfrac{1}{2} × 15 × 8 = 114(\mathrm{m}^2)$.
$\because$ 运动型塑胶地板每平方米 200 元,
$\therefore$ 购买费用为 $114 × 200 = 22\ 800$(元).
答:购买运动型塑胶地板的费用为 22 800 元.
解析
【分析】
解题思路：首先连接AC，利用直角三角形ABC的直角条件，通过勾股定理求出AC的长度；再在△ACD中，利用三边长度结合勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形，进而将四边形ABCD拆分为两个直角三角形，分别计算面积后求和得到四边形总面积；最后用总面积乘以每平方米塑胶的价格，算出总费用。
【解析】
(1) 连接AC，
∵ ∠B = 90°，AB = 9 m，BC = 12 m，
根据勾股定理：$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15(\mathrm{m})$，
∴ A、C两点之间的距离为15 m。
(2) 由(1)知AC = 15 m，
已知CD = 8 m，AD = 17 m，
计算得：$AC^2 + CD^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$，$AD^2 = 17^2 = 289$，
∴ $AC^2 + CD^2 = AD^2$，根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形，且∠ACD = 90°。
四边形ABCD的面积为：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ACD} = \frac{1}{2}×AB×BC + \frac{1}{2}×AC×CD = \frac{1}{2}×9×12 + \frac{1}{2}×15×8 = 54 + 60 = 114(\mathrm{m}^2)$，
购买塑胶地板的总费用为：$114×200 = 22800$(元)。
【答案】
A、C两点之间的距离是15 m，购买运动型塑胶地板的费用为22800元。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题将不规则四边形转化为两个直角三角形，核心是运用勾股定理及其逆定理，属于几何应用类基础题，需要掌握定理的适用条件和计算方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
解题思路：首先连接AC，利用直角三角形ABC的直角条件，通过勾股定理求出AC的长度；再在△ACD中，利用三边长度结合勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形，进而将四边形ABCD拆分为两个直角三角形，分别计算面积后求和得到四边形总面积；最后用总面积乘以每平方米塑胶的价格，算出总费用。
【解析】
(1) 连接AC，
∵ ∠B = 90°，AB = 9 m，BC = 12 m，
根据勾股定理：$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15(\mathrm{m})$，
∴ A、C两点之间的距离为15 m。
(2) 由(1)知AC = 15 m，
已知CD = 8 m，AD = 17 m，
计算得：$AC^2 + CD^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$，$AD^2 = 17^2 = 289$，
∴ $AC^2 + CD^2 = AD^2$，根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形，且∠ACD = 90°。
四边形ABCD的面积为：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ABC} + S_{△ACD} = \frac{1}{2}×AB×BC + \frac{1}{2}×AC×CD = \frac{1}{2}×9×12 + \frac{1}{2}×15×8 = 54 + 60 = 114(\mathrm{m}^2)$，
购买塑胶地板的总费用为：$114×200 = 22800$(元)。
【答案】
A、C两点之间的距离是15 m，购买运动型塑胶地板的费用为22800元。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题将不规则四边形转化为两个直角三角形，核心是运用勾股定理及其逆定理，属于几何应用类基础题，需要掌握定理的适用条件和计算方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
