登录
24. (10分)在春天来临之际,八(1)班和八(2)班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜.如图,点C是自来水管的位置,点A和点B分别表示八(1)班和八(2)班实践基地的位置,A,C两处相距6米,B,C两处相距8米,A,B两处相距10米.为了更好地使用自来水灌溉,八(1)班和八(2)班在图纸上设计了两种水管铺设方案:
八(1)班方案:沿线段AC,BC铺设2段水管;
八(2)班方案:过点C作$CD ⊥ AB$于点D,沿线段CD,AD,BD铺设3段水管.
(1)求证:$AC ⊥ BC$;
(2)从节约水管的角度考虑,你会选择哪个班的铺设方案?为什么?
宜昌金东方初级中学八年级期中考试数学真卷
武汉市洪山区八年级期中考试数学真卷
咸宁东方外国语学校八年级期中考试数学真卷
请扫描目录二维码获取
·54·
八(1)班方案:沿线段AC,BC铺设2段水管;
八(2)班方案:过点C作$CD ⊥ AB$于点D,沿线段CD,AD,BD铺设3段水管.
(1)求证:$AC ⊥ BC$;
(2)从节约水管的角度考虑,你会选择哪个班的铺设方案?为什么?
宜昌金东方初级中学八年级期中考试数学真卷
武汉市洪山区八年级期中考试数学真卷
咸宁东方外国语学校八年级期中考试数学真卷
请扫描目录二维码获取
·54·
答案
24. 【点拨】本题考查勾股定理的实际应用,三角形的高,解题的关键是掌握相关知识并灵活运用.
【解析】(1)证明:由题意,得 $AC = 6\ \mathrm{m},BC = 8\ \mathrm{m},AB = 10\ \mathrm{m}$.
$\because AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100,AB^2 = 10^2 = 100$,
$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$,
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形,且 $∠ ACB = 90°$,$\therefore AC ⊥ BC$.
(2)从节约水管的角度考虑. 应选择八(1)班的铺设方案,理由如下:
$\because CD ⊥ AB$,$\therefore S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}AC · BC = \dfrac{1}{2}AB · CD$,
$\therefore CD = \dfrac{AC · BC}{AB} = \dfrac{6 × 8}{10} = \dfrac{24}{5}(\mathrm{m})$,
$\therefore AD + CD + BD = AB + CD = 10 + \dfrac{24}{5} = \dfrac{74}{5}(\mathrm{m})$.
$\because AC + BC = 6 + 8 = 14(\mathrm{m})$,且 $14 ＜ \dfrac{74}{5}$,
$\therefore$ 八(1)班方案中水管的长度小于八(2)班方案中水管的长度,
$\therefore$ 从节约水管的角度考虑,应选择八(1)班的铺设方案.
【解析】(1)证明:由题意,得 $AC = 6\ \mathrm{m},BC = 8\ \mathrm{m},AB = 10\ \mathrm{m}$.
$\because AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100,AB^2 = 10^2 = 100$,
$\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$,
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形,且 $∠ ACB = 90°$,$\therefore AC ⊥ BC$.
(2)从节约水管的角度考虑. 应选择八(1)班的铺设方案,理由如下:
$\because CD ⊥ AB$,$\therefore S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}AC · BC = \dfrac{1}{2}AB · CD$,
$\therefore CD = \dfrac{AC · BC}{AB} = \dfrac{6 × 8}{10} = \dfrac{24}{5}(\mathrm{m})$,
$\therefore AD + CD + BD = AB + CD = 10 + \dfrac{24}{5} = \dfrac{74}{5}(\mathrm{m})$.
$\because AC + BC = 6 + 8 = 14(\mathrm{m})$,且 $14 ＜ \dfrac{74}{5}$,
$\therefore$ 八(1)班方案中水管的长度小于八(2)班方案中水管的长度,
$\therefore$ 从节约水管的角度考虑,应选择八(1)班的铺设方案.
解析
【分析】
本题分为两个小问，第(1)问需证明AC⊥BC，可利用勾股定理的逆定理，通过计算AC、BC、AB的平方，验证是否满足AC²+BC²=AB²，若满足则△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，即可证得垂直；第(2)问要比较两个方案的水管长度，八(1)班方案长度为AC+BC，八(2)班方案长度为CD+AD+BD，其中AD+BD=AB，因此需通过三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半与斜边乘斜边上高的一半）求出CD的长度，再计算八(2)班方案的总长度，与八(1)班的长度比较，选择更短的方案。
【解析】
(1) 证明：由题意得，AC=6m，BC=8m，AB=10m。
计算得：AC² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100，AB² = 10² = 100。
∴ AC² + BC² = AB²，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故AC⊥BC。
(2) 解：应选择八(1)班的铺设方案，理由如下：
∵ CD⊥AB，
∴ △ABC的面积S = 1/2 × AC × BC = 1/2 × AB × CD。
代入数值计算CD：CD = (AC × BC)/AB = (6×8)/10 = 24/5 (m)。
八(2)班方案的水管总长度为CD + AD + BD = CD + AB = 24/5 + 10 = 74/5 (m)。
八(1)班方案的水管总长度为AC + BC = 6 + 8 = 14 (m)。
∵ 14 ＜ 74/5，
∴ 八(1)班方案的水管长度更短，更节约，故选择八(1)班的铺设方案。
【答案】
(1) 证明成立，AC⊥BC；(2) 选择八(1)班的铺设方案，因为该方案的水管总长度更短，更节约。
【知识点】
勾股定理的逆定理，三角形面积公式
【点评】
本题结合实际铺设水管的问题，考查勾股定理及其逆定理的应用，通过面积法求直角三角形斜边上的高，进而比较线段长度，体现了数学知识在实际生活中的应用，是一道基础的几何应用题，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.6
本题分为两个小问，第(1)问需证明AC⊥BC，可利用勾股定理的逆定理，通过计算AC、BC、AB的平方，验证是否满足AC²+BC²=AB²，若满足则△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，即可证得垂直；第(2)问要比较两个方案的水管长度，八(1)班方案长度为AC+BC，八(2)班方案长度为CD+AD+BD，其中AD+BD=AB，因此需通过三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半与斜边乘斜边上高的一半）求出CD的长度，再计算八(2)班方案的总长度，与八(1)班的长度比较，选择更短的方案。
【解析】
(1) 证明：由题意得，AC=6m，BC=8m，AB=10m。
计算得：AC² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100，AB² = 10² = 100。
∴ AC² + BC² = AB²，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故AC⊥BC。
(2) 解：应选择八(1)班的铺设方案，理由如下：
∵ CD⊥AB，
∴ △ABC的面积S = 1/2 × AC × BC = 1/2 × AB × CD。
代入数值计算CD：CD = (AC × BC)/AB = (6×8)/10 = 24/5 (m)。
八(2)班方案的水管总长度为CD + AD + BD = CD + AB = 24/5 + 10 = 74/5 (m)。
八(1)班方案的水管总长度为AC + BC = 6 + 8 = 14 (m)。
∵ 14 ＜ 74/5，
∴ 八(1)班方案的水管长度更短，更节约，故选择八(1)班的铺设方案。
【答案】
(1) 证明成立，AC⊥BC；(2) 选择八(1)班的铺设方案，因为该方案的水管总长度更短，更节约。
【知识点】
勾股定理的逆定理，三角形面积公式
【点评】
本题结合实际铺设水管的问题，考查勾股定理及其逆定理的应用，通过面积法求直角三角形斜边上的高，进而比较线段长度，体现了数学知识在实际生活中的应用，是一道基础的几何应用题，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.6
