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13. 比较大小：$\sqrt{2}$______$\dfrac{3}{2}$.（填“$＞$”或“$＜$”）
答案
13. $＜$ 【点拨】本题考查实数的大小比较.
【解析】$\because (\sqrt{2})^2=2$,$(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}=2.25$,$2＜2.25$,$\therefore \sqrt{2}＜\dfrac{3}{2}$.故答案为$＜$.
【解析】$\because (\sqrt{2})^2=2$,$(\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{9}{4}=2.25$,$2＜2.25$,$\therefore \sqrt{2}＜\dfrac{3}{2}$.故答案为$＜$.
14. 已知$\begin{cases} x = -2, \\ y = 1 \end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases} 2x + 3y = m, \\ nx - y = 3 \end{cases}$的一组解，则$m - 2n$的值为________。
答案
14. 3 【点拨】本题考查二元一次方程组的解.
【解析】把$\begin{cases}x=-2,\\y=1\end{cases}$代入$\begin{cases}2x+3y=m,\\nx-y=3\end{cases}$,得$\begin{cases}-4+3=m,\\-2n-1=3\end{cases}$,解得$\begin{cases}m=-1,\\n=-2\end{cases}$,$\therefore m-2n=-1-2×(-2)=3$.故答案为3.
【解析】把$\begin{cases}x=-2,\\y=1\end{cases}$代入$\begin{cases}2x+3y=m,\\nx-y=3\end{cases}$,得$\begin{cases}-4+3=m,\\-2n-1=3\end{cases}$,解得$\begin{cases}m=-1,\\n=-2\end{cases}$,$\therefore m-2n=-1-2×(-2)=3$.故答案为3.
15. 在平面直角坐标系中,已知$A(-a,3a+2)$,$B(2a-3,a+2)$,$C(2a-3,a-2)$三个点,下列四个命题:
①若$AB// x$轴,则$a=0$;②若$AB// y$轴,则$a=1$;③若$a=-1$,则$A,B,C$三点在同一条直线上;④若$a＞1$,$△ ABC$的面积等于$8$,则点$C$的坐标为$(\dfrac{5}{3},\dfrac{1}{3})$.其中真命题有________.(填序号)
①若$AB// x$轴,则$a=0$;②若$AB// y$轴,则$a=1$;③若$a=-1$,则$A,B,C$三点在同一条直线上;④若$a＞1$,$△ ABC$的面积等于$8$,则点$C$的坐标为$(\dfrac{5}{3},\dfrac{1}{3})$.其中真命题有________.(填序号)
答案
15. ①②④ 【点拨】本题考查命题与定理,掌握点的坐标特征,三角形面积公式及真假命题的判断是解题的关键.
【解析】①$\because AB// x$轴,$\therefore 3a+2=a+2$,$\therefore a=0$,故①正确;②$\because AB// y$轴,$\therefore -a=2a-3$,$\therefore a=1$,故②正确;③$\because a=-1$,$\therefore A(1,-1)$,$B(-5,1)$,$C(-5,-3)$,$\therefore A,B,C$三点不在同一条直线上,故③错误;④$\because B(2a-3,a+2)$,$C(2a-3,a-2)$,$\therefore BC// y$轴,$\therefore BC=4$.$\because A(-a,3a+2)$,$a＞1$,$\therefore$点A到BC的距离为$2a-3-(-a)=3a-3$.$\because △ ABC$的面积等于8,$\therefore \dfrac{1}{2}×4×(3a-3)=6a-6=8$,$\therefore a=\dfrac{7}{3}$,$\therefore$点C的坐标为$(\dfrac{5}{3},\dfrac{1}{3})$,故④正确.综上所述,真命题为①②④.故答案为①②④.
【解析】①$\because AB// x$轴,$\therefore 3a+2=a+2$,$\therefore a=0$,故①正确;②$\because AB// y$轴,$\therefore -a=2a-3$,$\therefore a=1$,故②正确;③$\because a=-1$,$\therefore A(1,-1)$,$B(-5,1)$,$C(-5,-3)$,$\therefore A,B,C$三点不在同一条直线上,故③错误;④$\because B(2a-3,a+2)$,$C(2a-3,a-2)$,$\therefore BC// y$轴,$\therefore BC=4$.$\because A(-a,3a+2)$,$a＞1$,$\therefore$点A到BC的距离为$2a-3-(-a)=3a-3$.$\because △ ABC$的面积等于8,$\therefore \dfrac{1}{2}×4×(3a-3)=6a-6=8$,$\therefore a=\dfrac{7}{3}$,$\therefore$点C的坐标为$(\dfrac{5}{3},\dfrac{1}{3})$,故④正确.综上所述,真命题为①②④.故答案为①②④.
16. 如图,已知$AB// CD$,点$E,F$分别在直线$AB,CD$上,点$P$在$AB,CD$之间且在$EF$的左侧.若将射线$EA$沿$EP$折叠,射线$FC$沿$FP$折叠,折叠后的两条射线互相垂直,则$∠ EPF$的度数为________.
答案
16. $45°$或$135°$ 【点拨】本题考查折叠的性质及平行线的性质,正确添加辅助线是解题的关键.
【解析】
如图1,过点M作$MN// AB$.$\because AB// CD$,$\therefore AB// CD// MN$,$\therefore ∠ AEM=∠ EMN$,$∠ NMF=∠ MFC$.$\because ∠ EMF=90°$,$\therefore ∠ AEM+∠ CFM=90°$.同理可得$∠ P=∠ AEP+∠ CFP$.由折叠可得$∠ AEP=∠ PEM=\dfrac{1}{2}∠ AEM$,$∠ PFC=∠ PFM=\dfrac{1}{2}∠ CFM$,$\therefore ∠ P=\dfrac{1}{2}(∠ AEM+∠ CFM)=45°$.如图2,过点M作$MN// AB$.$\because AB// CD$,$\therefore AB// CD// MN$,$\therefore ∠ AEM+∠ EMN=180°$,$∠ NMF+∠ MFC=180°$,$\therefore ∠ AEM+∠ EMF+∠ CFM=360°$.$\because ∠ EMF=90°$,$\therefore ∠ AEM+∠ CFM=360°-90°=270°$.由折叠可得$∠ AEP=∠ PEM=\dfrac{1}{2}∠ AEM$,$∠ PFC=∠ PFM=\dfrac{1}{2}∠ CFM$,$\therefore ∠ P=270°×\dfrac{1}{2}=135°$.综上所述,$∠ EPF$的度数为$45°$或$135°$.故答案为$45°$或$135°$.
17. (8分)计算.
(1) $\sqrt{16} + \sqrt{(-3)^2} - \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$；
(2) $|\sqrt{2} - \sqrt{3}| - (2\sqrt{3} - \sqrt{2})$.
(1) $\sqrt{16} + \sqrt{(-3)^2} - \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$；
(2) $|\sqrt{2} - \sqrt{3}| - (2\sqrt{3} - \sqrt{2})$.
答案
17. 【点拨】本题考查实数的混合运算.
【解析】(1)$\sqrt{16}+\sqrt{(-3)^2}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$
$=4+3-\dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{13}{2}$.
(2)$|\sqrt{2}-\sqrt{3}|-(2\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=\sqrt{3}-\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{2}$
$=-\sqrt{3}$.
【解析】(1)$\sqrt{16}+\sqrt{(-3)^2}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$
$=4+3-\dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{13}{2}$.
(2)$|\sqrt{2}-\sqrt{3}|-(2\sqrt{3}-\sqrt{2})$
$=\sqrt{3}-\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{2}$
$=-\sqrt{3}$.
18. (8分)解方程.
(1)$x^2 - 2 = \dfrac{1}{4}$;
(2)$(x + 2)^3 = -8$.
(1)$x^2 - 2 = \dfrac{1}{4}$;
(2)$(x + 2)^3 = -8$.
答案
18. 【点拨】本题考查解方程,掌握平方根和立方根的定义是解题的关键.
【解析】(1)$x^2-2=\dfrac{1}{4}$
$x^2=\dfrac{1}{4}+2$
$x^2=\dfrac{9}{4}$,
$x=-\dfrac{3}{2}$或$x=\dfrac{3}{2}$.
(2)$(x+2)^3=-8$
$x+2=-2$
$x=-4$.
【解析】(1)$x^2-2=\dfrac{1}{4}$
$x^2=\dfrac{1}{4}+2$
$x^2=\dfrac{9}{4}$,
$x=-\dfrac{3}{2}$或$x=\dfrac{3}{2}$.
(2)$(x+2)^3=-8$
$x+2=-2$
$x=-4$.
19. (8分)如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)若∠BOD=45°,则OE与CD的位置关系是
(2)若∠EOD=3∠AOE,求∠DOB的度数.
(1)若∠BOD=45°,则OE与CD的位置关系是
$OE⊥ CD$
;(2)若∠EOD=3∠AOE,求∠DOB的度数.
答案
19. 【点拨】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线的定义,掌握邻补角的概念及对顶角相等是解题的关键.
【解析】(1)$\because ∠ BOD=45°$,$\therefore ∠ AOC=45°$.
$\because OA$平分$∠ EOC$,$\therefore ∠ COE=2∠ AOC=90°$,$\therefore OE⊥ CD$.
故答案为$OE⊥ CD$.
(2)$\because OA$平分$∠ EOC$,$\therefore ∠ AOC=∠ AOE$.
$\because ∠ DOB=∠ AOC$,$\therefore ∠ DOB=∠ AOC=∠ AOE$.
$\because ∠ EOD=3∠ AOE$,$∠ AOE+∠ EOD+∠ DOB=180°$,
$\therefore 5∠ DOB=180°$,$\therefore ∠ DOB=36°$.
【解析】(1)$\because ∠ BOD=45°$,$\therefore ∠ AOC=45°$.
$\because OA$平分$∠ EOC$,$\therefore ∠ COE=2∠ AOC=90°$,$\therefore OE⊥ CD$.
故答案为$OE⊥ CD$.
(2)$\because OA$平分$∠ EOC$,$\therefore ∠ AOC=∠ AOE$.
$\because ∠ DOB=∠ AOC$,$\therefore ∠ DOB=∠ AOC=∠ AOE$.
$\because ∠ EOD=3∠ AOE$,$∠ AOE+∠ EOD+∠ DOB=180°$,
$\therefore 5∠ DOB=180°$,$\therefore ∠ DOB=36°$.
