1. 如图, 在$△ ABC$中,$BC$的垂直平分线与$∠ BAC$的平分线相交于点$O$. 连接$OB$,$OC$,若$∠ OBC=α$,则$∠ BAC$的度数为（）


A.$2α$
B.$90-α$
C.$\dfrac{180-α}{2}$
D.$180-2α$

1. A 提示:如图,过点 O 作 $OF⊥ AB$ 于点 F,
$OE⊥ AC$,交 AC 的延长线于点 E,则$∠ AFO=∠ BFO=∠ E=90°$. 因为 BC 的垂直平分线与$∠ BAC$的平分线
相交于点 O,所以 $OB=OC$,$OF=OE$. 在$\mathrm{Rt}△ OFB$ 和
$\mathrm{Rt}△ OEC$ 中,$\begin{cases} OB=OC,\\ OF=OE, \end{cases}$ 所以 $\mathrm{Rt}△ OFB≌\mathrm{Rt}△ OEC$
(HL),所以$∠ BOF=∠ COE$. 因为$∠ OBC=∠ OCB=α$,所以$∠ BOC=180°-∠ OBC-∠ OCB=180°-2α$,所
以$∠ FOE=∠ COF+∠ COE=∠ COF+∠ BOF=∠ BOC=180°-2α$. 因为$∠ BAC+∠ AFO+∠ FOE+∠ E=360°$,所以$∠ BAC+90°+180°-2α+90°=360°$,
所以$∠ BAC=2α$.

2. 将一次函数 $y=kx+k+1$($k$ 为常数)的图象绕原点顺时针旋转 $90°,$ 所得图象与$y$ 轴交于点 $(0,m).$ 当 $m＞2$ 时,$k$ 的取值范围是.

2. $0＜k＜1$ 提示:易知当 $k=0$ 时,图象旋转
后与 $y$ 轴无交点,不符合题意. 令 $y=0$,则 $x=-\dfrac{k+1}{k}$,
所以直线 $y=kx+k+1$ 经过点 $(-\dfrac{k+1}{k},0)$. 将一次函
数 $y=kx+k+1$ 的图象绕原点顺时针旋转 $90°$,则点
$(-\dfrac{k+1}{k},0)$ 的对应点为点 $(0,\dfrac{k+1}{k})$. 由题意可知,$m=\dfrac{k+1}{k}$. 因为 $m＞2$,所以 $\dfrac{k+1}{k}＞2$. 当 $k＞0$ 时,$k+1＞2k$,
解得 $k＜1$,即 $0＜k＜1$; 当 $k＜0$ 时,$k+1＜2k$,解得 $k＞1$,与 $k＜0$ 矛盾,无解. 所以 $k$ 的取值范围是 $0＜k＜1$.

3. 甲、乙两车从同一地点出发，沿相同道路行驶. 甲车先出发，速度为 12 m/s，乙车出发后在离出发地 1 200 m 处遇到第一个信号灯，等待红灯 20 s 后继续行驶. 假设两车行驶速度保持不变，两车离出发地的距离$y(\mathrm{m})$与甲车出发后的时间$x(\mathrm{s})$的关系如图所示.
(1) 乙车的速度为 m/s.
(2) 求两车在未到达第一个信号灯前相遇时离出发地的距离.
(3) 通过第一个信号灯后，车进入城市主干道，每隔 400 m 有一个信号灯. 已知红灯持续 20 s，绿灯持续 40 s，且一处红灯转绿后 10 s，下一个信号灯恰好亮起红灯. 甲、乙两车通过第三个信号灯的时间相差 s.

3. (1) 20
(2) 解:由题意可知,甲车离出发地的距离
$y(\mathrm{m})$关于甲车出发后的时间 $x(\mathrm{s})$的函数表达
式为 $y_\mathrm{甲}=12x$. 设两车在未到达第一个信号灯前,乙车离出发地的距离 $y_\mathrm{乙}(\mathrm{m})$关于甲车出
发后的时间 $x(\mathrm{s})$的函数表达式为 $y_\mathrm{乙}=kx+b(k≠0)$,把点 $(10,0)$,$(70,1\ 200)$代入,得
$\begin{cases} 10k+b=0,\\ 70k+b=1\ 200, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=20,\\ b=-200, \end{cases}$ 所以该函数
表达式为 $y_\mathrm{乙}=20x-200(10≤ x＜70)$. 当两
车相遇时,$y_\mathrm{甲}=y_\mathrm{乙}$,即 $12x=20x-200$,解得
$x=25$,此时 $y_\mathrm{甲}=y_\mathrm{乙}=25×12=300$,所以两
车在未到达第一个信号灯前相遇时离出发地
的距离为 300 m.
(3) $\dfrac{50}{3}$ 提示:根据题意,得红灯持续时间为
20 s,且红灯转绿后 10 s,下一个信号灯恰好亮起红灯,
红灯继续持续 20 s,所以当第一个信号灯红灯结束后
30 s,下一个信号灯的红灯也结束. 由图可知第 70 s 时
第一个信号灯变红,持续 20 s,第 90 s 时结束红灯变绿,
所以第二个信号灯在第 $90+30=120$ s 时结束红灯变
绿,以此类推,第三个信号灯在第 $120+30=150$ s 时
结束红灯变绿. 因为在 1 200 m 处遇见第一个信号灯,且
每隔 400 m 有一个信号灯,所以分别在 1 600 m 和
2 000 m 的地方有信号灯. 甲车到达第一个信号灯的时
间为第 $\dfrac{1\ 200}{12}=100(\mathrm{s})$,此时第一个信号灯结束红灯变
绿的时间为 $100-90=10(\mathrm{s})$. 因为信号灯的绿灯持续时
间为 40 s,所以甲车没有等待直接通过第一个信号灯.
甲车到达第二个信号灯的时间为第 $\dfrac{1\ 600}{12}=\dfrac{400}{3}(\mathrm{s})$. 因
为 $\dfrac{400}{3}＞120$,所以第二个信号灯结束红灯变绿的时间为
$\dfrac{400}{3}-120=\dfrac{40}{3}(\mathrm{s})$,同样甲车没有等待直接通过第二个
信号灯. 甲车到达第三个信号灯的时间为第 $\dfrac{2\ 000}{12}=\dfrac{500}{3}(\mathrm{s})$,$\dfrac{500}{3}＞150$,此时第三个信号灯结束红灯变绿的
时间为 $\dfrac{500}{3}-150=\dfrac{50}{3}(\mathrm{s})$,同样甲车没有等待直接通过
第三个信号灯. 由图可知,乙车到达第一个信号灯的时
间为第 70 s,并在第一个信号灯处等待 20 s;乙车到达
第二个信号灯的时间为第 $90+\dfrac{400}{20}=110(\mathrm{s})$,此时距离
第二个信号灯结束红灯变绿的时间为 $120-110=10(\mathrm{s})$,所以乙车在第二个信号灯处等待 10 s;乙车到达
第三个信号灯的时间为第 $120+\dfrac{400}{20}=140(\mathrm{s})$,此时距离
第三个信号灯结束红灯变绿的时间为 $150-140=10(\mathrm{s})$,所以乙车在第三个信号灯处等待 10 s,在第 150 s
时通过第三个信号灯. 综上所述,甲、乙两车通过第三个
信号灯的时间相差 $\dfrac{500}{3}-150=\dfrac{50}{3}(\mathrm{s})$.