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1. 如图, 已知直线 $y_{1}=k_{1}x+b$ 经过点$B(-2,0)$, 且与直线 $y_{2}=k_{2}x$ 交于点$A(-1,2)$, 当 $0＜y_{1}＜y_{2}$ 时, 自变量 $x$ 的取值范围是（
A.$x＜-1$
B.$x＞-1$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
C
）A.$x＜-1$
B.$x＞-1$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
答案
1. C 提示:观察图象,当 $x＜-1$ 时,满足 $y_1＜y_2$;当 $x＞-2$ 时,满足 $0＜y_1$;当 $x＜0$ 时,满足 $0＜y_2$.
综上所述,当 $-2＜x＜-1$ 时,满足 $0＜y_1＜y_2$.
综上所述,当 $-2＜x＜-1$ 时,满足 $0＜y_1＜y_2$.
2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=40^{\circ }$,$BC=2$,点$D$在边$AC$上,且$∠ ABD=20^{\circ }$,则$AD$的长等于
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
.答案
2. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ 提示:过点 A 作 $AE⊥ BC$,交 BC 于点E,交 BD 于点 F,过点 A 作 $AK⊥ BD$,交 BD 的延长线于点 K,如图所示. 因为 $AB=AC,AE⊥ BC$,所以 AE平分 $∠ BAC$,且 E 为边 BC 的中点,所以 $∠ BAE=∠ CAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC=20°,BE=EC=1$,所以 $∠ BAF=∠ ABD=20°$,所以 $AF=BF$. 因为 $∠ FEB=∠ FKA=90°,∠ BFE=∠ AFK$,所以 $△ BFE≌△ AFK(\mathrm{AAS})$,所以 $AK=BE=1$. 因为 $∠ ADK=∠ ABD+∠ BAD=60°$,所以 $∠ DAK=30°$,所以 $AD=2DK$. 由勾股定理,得 $AK^2+DK^2=AD^2$,解得 $DK=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,所以 $AD=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
3. 机器人小智和小安在一条笔直的道路上进行行走测试. 小智以 $v_1$ 的速度由甲地匀速前往乙地；小安由乙地匀速前往甲地，先以$v_2$ 的速度匀速行走了 1 min，因故障停止行走，经技术人员排除故障后，降低速度继续匀速前往甲地. 已知甲、乙两地相距300 m，两机器人同时出发且同时到达各自的目的地. 两个机器人之间的距离$y(\mathrm{m})$关于测试时间 $x(\mathrm{min})$ 的函数关系如图所示，请解答下列问题：
(1) 小智的初始速度 $v_1$ 为
(2) 求线段 $BC$ 所表示的 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式.
(3) 当 $x$ 为何值时，两机器人之间的距离恰好为 120 m？
(1) 小智的初始速度 $v_1$ 为
30
$\mathrm{m/min}$，小安的初始速度 $v_2$ 为40
$\mathrm{m/min}$.(2) 求线段 $BC$ 所表示的 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式.
(3) 当 $x$ 为何值时，两机器人之间的距离恰好为 120 m？
答案
3. 解:(1) 30 40
(2) 设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=kx+b$. 由 5～10 min 的图象可知,二者速度和为 $300÷5=60(\mathrm{m/min})$,故在 BC 段二者速度和也为 60 m/min,故 $k=-60$. 将点 $C(5,0)$ 代入 $y=-60x+b$,得 $0=-60×5+b$,解得 $b=300$,故线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=-60x+300$. 设线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$. 因为 AB 段仅有小智运动,故 $k_1=-30$. 将点 $A(1,230)$ 代入 $y=-30x+b_1$,得 $230=-30+b_1$,解得 $b_1=260$,故线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=-30x+260$. 联立 $y=-60x+300$ 与 $y=-30x+260$,解得 $x=\dfrac{4}{3}$,故线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=-60x+300(\dfrac{4}{3}≤ x≤5)$.
(3) 解法 1:第 5 min 时,两机器人相遇,二者速度和为 60 m/min,故相距 120 m 时,时间差为 $120÷60=2(\mathrm{min})$,所以 $5-2=3,5+2=7$,故当 $x=3$ 或 $x=7$ 时,两机器人之间的距离恰好为 120 m.
解法 2:当两机器人之间的距离恰好为120 m 时,根据函数图象可判断时间在 BC 段和 CD 段. 因为 BC 段的函数表达式为 $y=-60x+300(\dfrac{4}{3}≤ x≤5)$,令 $y=120$,得到方程$120=-60x+300$,解得 $x=3$. 因为 CD 段的速度和也为 60 m/min,所以设 CD 段的函数表达式为 $y=60x+b_2$,将 $(5,0)$ 代入,得 $0=60×5+b_2$,解得 $b_2=-300$,所以 CD 段的函数表达式为 $y=60x-300(5＜x≤10)$. 令 $y=120$,得到方程 $120=60x-300$,解得 $x=7$. 综上所述,当 $x=3$ 或 $x=7$ 时,两机器人之间的距离恰好为 120 m.
(2) 设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=kx+b$. 由 5～10 min 的图象可知,二者速度和为 $300÷5=60(\mathrm{m/min})$,故在 BC 段二者速度和也为 60 m/min,故 $k=-60$. 将点 $C(5,0)$ 代入 $y=-60x+b$,得 $0=-60×5+b$,解得 $b=300$,故线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=-60x+300$. 设线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=k_1x+b_1$. 因为 AB 段仅有小智运动,故 $k_1=-30$. 将点 $A(1,230)$ 代入 $y=-30x+b_1$,得 $230=-30+b_1$,解得 $b_1=260$,故线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=-30x+260$. 联立 $y=-60x+300$ 与 $y=-30x+260$,解得 $x=\dfrac{4}{3}$,故线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=-60x+300(\dfrac{4}{3}≤ x≤5)$.
(3) 解法 1:第 5 min 时,两机器人相遇,二者速度和为 60 m/min,故相距 120 m 时,时间差为 $120÷60=2(\mathrm{min})$,所以 $5-2=3,5+2=7$,故当 $x=3$ 或 $x=7$ 时,两机器人之间的距离恰好为 120 m.
解法 2:当两机器人之间的距离恰好为120 m 时,根据函数图象可判断时间在 BC 段和 CD 段. 因为 BC 段的函数表达式为 $y=-60x+300(\dfrac{4}{3}≤ x≤5)$,令 $y=120$,得到方程$120=-60x+300$,解得 $x=3$. 因为 CD 段的速度和也为 60 m/min,所以设 CD 段的函数表达式为 $y=60x+b_2$,将 $(5,0)$ 代入,得 $0=60×5+b_2$,解得 $b_2=-300$,所以 CD 段的函数表达式为 $y=60x-300(5＜x≤10)$. 令 $y=120$,得到方程 $120=60x-300$,解得 $x=7$. 综上所述,当 $x=3$ 或 $x=7$ 时,两机器人之间的距离恰好为 120 m.
