1. 如图,在锐角三角形 ABC 中,$∠ B=45°$,D 是边 AC 上一点. 作点 D 关于 AB,BC的对称点 E,F,连接 EF. 在点 D 从点 A到点 C 的运动过程中,线段 EF 的长度（）


A.一直变大
B.一直变小
C.先变小再变大
D.先变大再变小

1. C 提示:如图,连接 BD,BE,BF. 由对称的性质,得∠ABD=∠ABE,∠CBD=∠CBF,BD=BE=BF,所以∠EBF=2∠ABC=90°,所以△BEF 是等腰直角三角形,所以 EF=√2 BE=√2 BD. 因为点 D从点 A 到点 C 的运动过程中,线段 BD 的长是先变小再变大,所以线段 EF 的长也是先变小再变大.

2. 如图，$∠ AOB=60°$，点$C,D$分别在射线$OA,OB$上，连接$CD$，$M$是$CD$的中点.若$OC+OD=4$，则$OM$长的取值范围为
.

2. √3≤OM＜2 提示:如图1,延长 OM 到点E,使 EM=OM,连接 DE,CE,易得 OE=EM+OM=2OM. 因为 M 是 CD 的中点,所以 $CM=DM=\frac{1}{2}CD$.
在 $△ CEM$ 和 $△ DOM$ 中, $\begin{cases} EM=OM, \\ ∠ CME=∠ DMO, \\ CM=DM, \end{cases}$ 所以 $△ CEM≌△ DOM(\mathrm{SAS})$, 所以 $EC=OD,∠ CEM=∠ DOM$. 因为 $OC+OD=4$, 所以 $OC+EC=4$. 根据三角形三边之间的关系,得 $OE＜OC+EC$, 所以 $2OM＜4$, 所以 $OM＜2$. 因为 $∠ CEM=∠ DOM$, 所以 $CE// OB$, 所以 $∠ OCE+∠ AOB=180°$. 因为 $∠ AOB=60°$, 所以 $∠ OCE=120°$. 根据“垂线段最短”可知, 当 $OM⊥ CD$时,OM 的长有最小值,如图 2 所示. 因为 $EM=OM$,$OM⊥ CD$, 所以 $CD$ 垂直平分线段 $OE$, 所以 $OC=EC$, 所以 $△ COE$ 是等腰三角形, 所以 $∠ OCD=\frac{1}{2}∠ OCE=60°$, 所以 $∠ OCD=∠ AOB=60°$, 所以 $△ OCD$ 是等边三角形, 所以 $OC=OD=CD$. 因为 $OC+OD=4$, 所以$OC=OD=CD=2$, 所以 $CM=\frac{1}{2}CD=1$. 在 $\mathrm{Rt}△ OCM$中,由勾股定理,得 $OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$, 所以 $OM$ 长的最小值为$\sqrt{3}$. 综上所述,$OM$ 长的取值范围为$\sqrt{3}≤ OM＜2$.

3. 如图 1, 在四边形 $ABCD$ 中, $AD // BC$,
$AD=2,BC=8,∠ C=30°$, 点 $E$ 从点 $B$ 出发, 沿着 $B \to C \to D$ 匀速运动, 到点 $D$ 停止. $△ ABE$ 的面积 $S$ 随点 $E$ 的运动路程 $x$ 变化的部分函数图象如图 2 所示.
(1) 点 $A$ 到 $BC$ 的距离是.
(2) 求$△ ABE$ 的面积 $S$ 关于点 $E$ 的运动路程 $x$ 的函数表达式, 并写出对应的自变量的取值范围.
(3) 在图 2 中画出剩余的函数图象(标出必要的数据).

3. 解:(1) 3
(2) 如图 1,过点 $D$ 作 $DH⊥ BC$ 于点 $H$,由(1),得 $DH=3$. 当 $0＜x≤8$ 时,$S=\frac{1}{2}BE· DH=\frac{1}{2}×3x=\frac{3}{2}x$. 易知 $CD=6$,当 $8＜x≤14$ 时,如图 2,过点 $E$ 作 $EM⊥ BC$ 于点 $M$,延长 $ME$,交 $AD$ 的延长线于点 $N$,则 $MN⊥ AD$. 因为 $∠ C=30°$,$CE=x-8$, 所以 $EM=\frac{1}{2}x-4$, 所以 $EN=3-(\frac{1}{2}x-4)=7-\frac{1}{2}x$, 所以 $S=S_{\mathrm{梯形}ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ BCE}=\frac{1}{2}(AD+BC)· MN-\frac{1}{2}AD· EN-\frac{1}{2}BC· EM=\frac{1}{2}×(2+8)×3-\frac{1}{2}×2×(7-\frac{1}{2}x)-\frac{1}{2}×8×(\frac{1}{2}x-4)=-\frac{3}{2}x+24$.
综上所述,$S=\begin{cases} \frac{3}{2}x(0＜x≤8), \\ -\frac{3}{2}x+24(8＜x≤14). \end{cases}$


(3) 函数图象如图 3 所示.