例1 (义乌市)下列计算中,正确的是 ()

A.$a^{3}×a^{3}=2a^{3}$
B.$s^{3}÷s=s^{2}$
C.$(m^{4})^{2}=m^{6}$
D.$(-x^{2})^{3}=x^{6}$

B

【分析】
本题考查幂的运算性质，需逐一回忆同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则，对每个选项进行计算判断，找出正确选项。
【解析】
根据幂的运算法则逐一分析：
选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^3×a^3=a^{3+3}=a^6≠2a^3$，故A错误；
选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$s^3÷s=s^{3-1}=s^2$，故B正确；
选项C：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(m^4)^2=m^{4×2}=m^8≠m^6$，故C错误；
选项D：积的乘方，先把各因式分别乘方，再相乘，即$(-x^2)^3=(-1)^3×(x^2)^3=-x^6≠x^6$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的运算、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题为基础的幂运算判断题，核心是掌握各类幂运算的法则，属于整式运算的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

例2 (宁波市鄞州区)若$x^m=3,x^n=-2$,则$x^{m+2n}=$。

12

【分析】要计算$x^{m+2n}$，需运用幂的运算性质的逆用：首先，利用同底数幂乘法的逆运算公式$a^{p+q}=a^p· a^q$，将$x^{m+2n}$拆分为$x^m· x^{2n}$；再利用幂的乘方的逆运算公式$a^{pq}=(a^p)^q$，将$x^{2n}$转化为$(x^n)^2$，最后代入已知的$x^m=3$、$x^n=-2$即可计算结果。
【解析】根据幂的运算性质：
1. 同底数幂乘法逆运算：$x^{m+2n}=x^m· x^{2n}$；
2. 幂的乘方逆运算：$x^{2n}=(x^n)^2$；
将已知$x^m=3$，$x^n=-2$代入得：
原式$=x^m· (x^n)^2=3×(-2)^2=3×4=12$。
【答案】12
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】本题考查幂的运算性质的逆用，是初中整式运算的基础题型，核心是熟练掌握并灵活运用同底数幂乘法和幂的乘方的公式，难度较低，属于基础必拿分题。
【难度系数】0.7

1.(绍兴市)下列计算中,正确的是 ()

A.$(a^{2})^{3}=a^{5}$
B.$2a - a = 2$
C.$(3a)^{2}=6a$
D.$a· a^{3}=a^{4}$

D

【分析】
本题考查整式的基本运算，需逐一依据幂的运算法则和合并同类项法则判断每个选项的正确性，核心是区分不同幂运算的指数规则，以及合并同类项的计算方法。
【解析】
选项A：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，$(a^2)^3 = a^{2×3} = a^6 ≠ a^5$，故A错误；
选项B：合并同类项时，系数相加减，字母和指数不变，$2a - a = a ≠ 2$，故B错误；
选项C：根据积的乘方法则，每个因式分别乘方再相乘，$(3a)^2 = 3^2 · a^2 = 9a^2 ≠ 6a$，故C错误；
选项D：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，$a · a^3 = a^{1+3} = a^4$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的运算、合并同类项
【点评】
本题为整式运算的基础题，考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘及合并同类项的基本法则，需准确记忆各运算法则，避免混淆指数运算规则，属于学生易掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

2.(杭州市西湖区)若$(a+b)^{2017}=-1,(a-b)^{2018}=1$,则$a^{2019}+b^{2019}$等于 ()

A.2
B.1
C.0
D.−1

D

【分析】
要解决这道题，需利用幂的奇偶次幂的性质确定$a+b$和$a-b$的取值，再通过解方程组求出$a$、$b$的值，最后代入代数式计算结果。首先明确：负数的奇数次幂为负数，正数的任何次幂为正数，负数的偶数次幂为正数；据此先确定$a+b$和$a-b$的可能值，再分情况求解$a$、$b$，进而计算目标式。
【解析】
1. 根据幂的奇偶次幂性质：因为2017是奇数，且$(a+b)^{2017}=-1$，所以$a+b=-1$；
2. 因为2018是偶数，且$(a-b)^{2018}=1$，所以$a-b=1$或$a-b=-1$；
3. 分两种情况解方程组：
情况1：$\begin{cases}a+b=-1 \\ a-b=1\end{cases}$，两式相加得$2a=0$，解得$a=0$，代入$a+b=-1$得$b=-1$；
情况2：$\begin{cases}a+b=-1 \\ a-b=-1\end{cases}$，两式相加得$2a=-2$，解得$a=-1$，代入$a+b=-1$得$b=0$；
4. 计算$a^{2019}+b^{2019}$：
情况1：$0^{2019}+(-1)^{2019}=0+(-1)=-1$；
情况2：$(-1)^{2019}+0^{2019}=-1+0=-1$；
两种情况结果均为$-1$，故答案为D。
【答案】
D
【知识点】
幂的运算性质；二元一次方程组解法；代数式求值
【点评】
本题结合幂的奇偶次幂性质考查代数式求值，核心是根据幂的结果确定底数的可能值，通过分类讨论简化计算，步骤清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

3.(慈溪市)我们知道下面的结论:若$a^{m}=a^{n}(a＞0,且a≠1)$,则$m=n$。利用这个结论解决下列问题:设$2^{m}=3,2^{n}=6,2^{p}=12$。现给出$m,n,p$三者之间的三个关系式:
①$m+p=2n$;②$m+n=2p-3$;③$n^{2}-mp=1$。其中正确的是(填序号)。

①②③

【分析】首先根据题目给出的“若$a^m=a^n(a＞0,且a≠1)$，则$m=n$”的结论，结合同底数幂的乘法法则，将$2^n$、$2^p$转化为与$2^m$相关的指数形式，推导出$n$、$p$与$m$的关系，再代入三个关系式逐一验证即可。
【解析】
已知$2^m=3$，$2^n=6$，$2^p=12$，
根据同底数幂的乘法法则：$2^n=6=2×3=2×2^m=2^{m+1}$，结合题目结论得$n=m+1$；
同理，$2^p=12=2×6=2×2^n=2^{n+1}$，结合结论得$p=n+1$；
将$n=m+1$代入$p=n+1$，得$p=m+2$。
逐一验证三个关系式：
① 左边$m+p=m+(m+2)=2m+2$，右边$2n=2(m+1)=2m+2$，故$m+p=2n$，①正确；
② 左边$m+n=m+(m+1)=2m+1$，右边$2p-3=2(m+2)-3=2m+1$，故$m+n=2p-3$，②正确；
③ 左边$n^2 - mp=(m+1)^2 - m(m+2)=m^2+2m+1 - m^2-2m=1$，右边为$1$，故$n^2 - mp=1$，③正确。
【答案】①②③
【知识点】同底数幂的乘法、指数的性质
【点评】本题核心是利用同底数幂的乘法法则推导指数间的关系，再代入验证关系式，属于基础中档题，需熟练掌握指数的性质应用。
【难度系数】0.5

例3 计算：
(1)(义乌市)$2a^{2}b· (-3b^{2}c)÷(4ab^{3})$。
(2)(绍兴市)$4x^{3}÷(-2x)^{2}-(2x^{2}-x)÷(\dfrac{1}{2}x)$。

(1)原式=$-6a^{2}b^{3}c÷(4ab^{3})=-\dfrac{3}{2}ac$。
(2)原式=$4x^{3}÷4x^{2}-4x+2=x-4x+2=-3x+2$。

【分析】
整式的乘除混合运算需遵循从左到右的顺序，有乘方先算乘方；单项式乘除时，系数与系数运算，同底数幂按指数运算法则计算；多项式除以单项式时，需将多项式每一项分别除以单项式，再合并结果。
【解析】
(1) 先计算单项式乘法：
$2a^{2}b· (-3b^{2}c) = (2×-3)·a^{2}·(b·b^{2})·c = -6a^{2}b^{3}c$
再计算单项式除法：
$-6a^{2}b^{3}c÷(4ab^{3}) = (-6÷4)·(a^{2}÷a)·(b^{3}÷b^{3})·c = -\dfrac{3}{2}ac$
(2) 先算乘方：$(-2x)^{2}=4x^{2}$
再算单项式除法：$4x^{3}÷4x^{2} = (4÷4)·(x^{3}÷x^{2}) = x$
然后算多项式除以单项式：
$(2x^{2}-x)÷(\dfrac{1}{2}x) = 2x^{2}÷(\dfrac{1}{2}x) - x÷(\dfrac{1}{2}x) = 4x - 2$
最后合并：原式$=x - (4x -2) = x -4x +2 = -3x +2$
【答案】
(1)$-\dfrac{3}{2}ac$；(2)$-3x+2$
【知识点】
整式的乘除运算、单项式乘单项式、多项式除以单项式
【点评】
本题考查整式乘除的基础运算，需熟练掌握相关运算法则，注意运算顺序和符号处理，避免指数运算错误或漏项。
【难度系数】
0.6