13. (2024·苏州吴江区二模)已知点 $P(2a-2,a+5)$.
(1)若点 $P$ 在 $y$ 轴上,求出点 $P$ 的坐标;
(2)若点 $P$ 在第二象限,且它到 $x$ 轴、$y$ 轴的距离相等,求 $a^{2024}+2024$ 的值.

(1)$\because$点 P 在 y 轴上,$\therefore 2a-2=0$,解得$a=1$,
$\therefore a+5=6,\therefore P(0,6).$
(2)$\because$点 P 到 x 轴和 y 轴距离相等,$\therefore |2a-2|=|a+5|$.
$\because$点 P 在第二象限,$\therefore 2a-2＜0,a+5＞0$,
$\therefore |2a-2|=2-2a,|a+5|=a+5$,
$\therefore 2-2a=a+5$,
解得$a=-1,\therefore a^{2024}+2024=(-1)^{2024}+2024=2025.$

14. 教材 P118 习题 T3·变式 在平面直角坐标系中，点$A(-3,2),B(3,5),C(x,y)$，若$AC// x$轴，求线段 BC 的最小值及此时点 C 的坐标.

如图所示.

$\because AC// x$轴,$A(-3,2).\therefore y=2$,
根据垂线段最短,当$BC⊥ AC$于点 C 时,
点 B 到 AC 的距离最短,即 BC 的最小值$=5-2=3$,
此时点 C 的坐标为$(3,2).$

15. 分类讨论思想 中考新考法 新定义问题 ［了解概念］
在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 若 $P(a,b)$,$Q(c,d)$, 式子 $|a-c|+|b-d|$ 的值就叫作线段 $PQ$ 的“勾股距”, 记作 $d_{PQ}=|a-c|+$ $|b-d|$, 同时, 我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫作“等距三角形”.
［理解运用］
在平面直角坐标系 $xOy$ 中, $A(2,3),B(4,$ $2),C(m,n).$
(1)线段 $OA$ 的“勾股距”$d_{OA}=$;
(2)若点 $C$ 在第三象限, 且 $d_{OC}=2d_{AB}$, 求$d_{AC}$ 并判断$△ ABC$ 是否为“等距三角形”;
［拓展提升］
(3)若点 $C$ 在 $x$ 轴上, $△ ABC$ 是“等距三角形”, 请直接写出 $m$ 的取值范围.
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精题详解

(1)5 解析由“勾股距”的定义知,
$d_{OA}=|0-2|+|0-3|=2+3=5.$
(2)$\because d_{AB}=|2-4|+|3-2|=2+1=3$,
$\therefore d_{OC}=2d_{AB}=6.$
$\because$点 C 在第三象限,$\therefore m＜0,n＜0,d_{OC}=|m-0|+|n-0|=|m|+|n|=-m-n=-(m+n)$,
$\therefore -(m+n)=6$,即$m+n=-6,\therefore d_{AC}=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-(m+n)=5+6=11,d_{BC}=|4-m|+|2-n|=4-m+2-n=6-(m+n)=6+6=12.$
$\because 3+11≠12,11+12≠3,12+3≠11$,
$\therefore △ ABC$不是“等距三角形”.
(3)当点 C 在 x 轴上时,设点$C(m,0)$,
则$d_{AC}=|2-m|+3,d_{BC}=|4-m|+2.$
①当$m＜2$时,$d_{AC}=2-m+3=5-m,d_{BC}=4-m+2=6-m$. 若$△ ABC$是“等距三角形”,则$5-m+6-m=11-2m=3$,解得$m=4$(不合题意). 又$5-m+3=8-m≠6-m,6-m+3=9-m≠5-m$,
$\therefore$当$m＜2$时,$△ ABC$不是“等距三角形”;
②当$2≤ m＜4$时,$d_{AC}=m-2+3=m+1,d_{BC}=4-m+2=6-m$. 若$△ ABC$是“等距三角形”,则$m+1+6-m=7≠3$(舍去),$6-m+3=m+1$,解得$m=4$(不合题意),$m+1+3=6-m$,解得$m=1$(不合题意),$\therefore$当$2≤ m＜4$时,$△ ABC$不是“等距三角形”;
③当$m≥4$时,$d_{AC}=m+1,d_{BC}=m-2$. 若$△ ABC$是“等距三角形”,则$m+1+m-2=3$,解得$m=2$(不合题意),$m+1+3=m+4≠ m-2$(舍去),$m-2+3=m+1$恒成立,$\therefore$当$m≥4$时,$△ ABC$是“等距三角形”.
当$m=8$时,点 A,B,C 在同一直线上,无法构成三角形,$\therefore m≠8.$
综上所述,当$△ ABC$是“等距三角形”时,m 的取值范围为$m≥4$且$m≠8.$
归纳总结 本题考查坐标与图形的性质,关键是对“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解,运用“勾股距”和“等距三角形”解题.