三、综合运用
16. 如图，建立平面直角坐标系，使点A，E的坐标分别为$(-4,0),(3,0)$，写出点B，C，D，F，G的坐标，并指出它们所在的象限.

16.解:建立平面直角坐标系如图，$B(-2,-3),C(2,-3),D(4,-2),F(1,-1),G(-1,2)$.点G在第二象限,点B在第三象限,点C,D,F在第四象限.

【分析】
解题首先要根据已知点A、E的坐标确定平面直角坐标系的坐标轴位置和单位长度：已知A(-4,0)、E(3,0)，说明两点都在x轴上，因此过A、E的水平直线为x轴，向右为正方向；再根据A的横坐标为-4，可推出原点在A点右侧4个小格的位置，过原点作垂直于x轴的直线为y轴，向上为正方向，每个小格代表1个单位长度。接下来读取各点坐标：横坐标是点到y轴的距离，y轴左侧为负、右侧为正；纵坐标是点到x轴的距离，x轴下方为负、上方为正。最后根据各点横纵坐标的正负判断所在象限即可。
【解析】
步骤1：确定坐标系：根据A(-4,0)、E(3,0)，可知x轴为过A、E的水平直线，原点O在A右侧4个单位长度处，y轴过原点垂直x轴，向上为y轴正方向，每个小方格边长为1个单位长度。
步骤2：读取各点坐标：
点B：在y轴左侧2个单位，x轴下方3个单位，坐标为$(-2,-3)$
点C：在y轴右侧2个单位，x轴下方3个单位，坐标为$(2,-3)$
点D：在y轴右侧4个单位，x轴下方2个单位，坐标为$(4,-2)$
点F：在y轴右侧1个单位，x轴下方1个单位，坐标为$(1,-1)$
点G：在y轴左侧1个单位，x轴上方2个单位，坐标为$(-1,2)$
步骤3：判断象限：
象限判断规则：第二象限横坐标为负、纵坐标为正；第三象限横、纵坐标均为负；第四象限横坐标为正、纵坐标为负。
因此点G在第二象限，点B在第三象限，点C、D、F在第四象限。
【答案】
建立平面直角坐标系如图，$B(-2,-3),C(2,-3),D(4,-2),F(1,-1),G(-1,2)$.点G在第二象限,点B在第三象限,点C,D,F在第四象限.

【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标，象限判断
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，核心是先根据已知点的坐标确定坐标轴位置和单位长度，再依据坐标的定义读取未知点坐标，结合象限的分类规则判断各点所属象限，掌握基础概念就能快速解答。
【难度系数】
0.8

17.思考:在如图所示的平面直角坐标系中描出点$A(-2,3),B(1,3)$,画直线$AB$,那么直线$AB$与坐标轴有怎样的位置关系?如果点$C$是直线$AB$上的一点,那么点$C$的坐标有什么特点?

规律总结:(1)如果直线$A'B'// y$轴,那么直线$A'B'$上所有点的相同;
(2)如果直线$A'B'// x$轴,那么直线$A'B'$上所有点的相同.
问题解决:利用以上规律完成下题.
已知$A'(3,2),A'B'=5$,如果$A'B'// x$轴,那么点$B'$的坐标为;
如果$A'B'// y$轴,那么点$B'$的坐标为.

17.解:思考:如图,直线AB与x轴平行,与y轴垂直.点C不管在直线AB上的哪个位置,纵坐标都为3.

规律总结:(1)横坐标
(2)纵坐标
问题解决:$(-2,2)$或$(8,2)$ $(3,-3)$或$(3,7)$

【分析】
解题思路如下：1. 先观察点A(-2,3)和B(1,3)的坐标特征，发现两点纵坐标相等、横坐标不等，由此判断直线AB和坐标轴的位置关系，进而得到直线AB上所有点的坐标特点；2. 结合实例推导规律：平行于y轴的直线上点的横坐标相同，平行于x轴的直线上点的纵坐标相同；3. 应用规律求解B'的坐标：当直线平行x轴时，B'纵坐标与A'相同，再根据两点距离为5，分点在A'左侧、右侧两种情况计算横坐标；当直线平行y轴时，B'横坐标与A'相同，分点在A'上方、下方两种情况计算纵坐标，注意不要漏解。
【解析】
思考部分：
描出点A(-2,3)、B(1,3)后连接得到直线AB，观察可得：直线AB与x轴平行，与y轴垂直；因为直线AB上所有点的纵坐标都等于3，所以点C是直线AB上的点时，它的纵坐标恒为3。
规律总结：
(1) 若直线平行于y轴，直线上所有点到y轴的距离相等，即横坐标相同；
(2) 若直线平行于x轴，直线上所有点到x轴的距离相等，即纵坐标相同。
问题解决：
1. 当$A'B'//x$轴时：
根据规律，点$B'$的纵坐标与$A'(3,2)$相同，为2；
已知$A'B'=5$，即两点横坐标的差的绝对值为5，设$B'$的横坐标为$x$，则$|x-3|=5$，
解得$x=3+5=8$或$x=3-5=-2$，因此$B'$坐标为$(-2,2)$或$(8,2)$。
2. 当$A'B'//y$轴时：
根据规律，点$B'$的横坐标与$A'(3,2)$相同，为3；
已知$A'B'=5$，即两点纵坐标的差的绝对值为5，设$B'$的纵坐标为$y$，则$|y-2|=5$，
解得$y=2+5=7$或$y=2-5=-3$，因此$B'$坐标为$(3,-3)$或$(3,7)$。
【答案】
思考:如图,直线AB与x轴平行,与y轴垂直.点C不管在直线AB上的哪个位置,纵坐标都为3.

规律总结:(1)横坐标
(2)纵坐标
问题解决:$(-2,2)$或$(8,2)$；$(3,-3)$或$(3,7)$
【知识点】
点的坐标特征；平行于坐标轴的直线性质；两点间距离计算
【点评】
本题核心考察平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，解题时需注意两点距离为定值时，存在两种位置情况，避免漏解，该规律是后续平面坐标系相关问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

18. 如图所示，已知 $ OA = 2 \ \mathrm{km} $，$ OB = 3.5 \ \mathrm{km} $，$ OP = 4 \ \mathrm{km} $，$ C $ 为 $ OP $ 的中点，回答下列问题.
(1) 图中到小明家距离相等的地方有哪些？
(2) 请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置.

18.解:(1)
∵ C 为OP 的中点，
∴ $OC=\dfrac{1}{2}OP=\dfrac{1}{2}×4=2(\mathrm{km})$.
∵ $OA=2 \ \mathrm{km}$,
∴ $OA=OC$,
∴ 图中到小明家距离相等的地方是学校和公园.
(2)学校在小明家北偏东 $45°$(或东北)方向上,且到小明家的距离为 2 km;商场在小明家北偏西 $30°$方向上,且到小明家的距离为3.5 km;停车场在小明家南偏东 $60°$方向上,且到小明家的距离为 4 km.

【分析】
(1) 要找出到小明家距离相等的地点，首先需计算各地点到小明家（点O）的距离：已知OA、OB、OP的长度，C是OP中点，先根据中点定义算出OC的长度，再和其余线段长度对比，长度相等的对应地点就是所求。
(2) 描述地点位置需以小明家为观测点，先计算各地点与正北、正南、正东或正西方向的夹角确定方位，再结合对应地点到O点的距离，即可完整描述位置。
【解析】
(1) 已知C为OP的中点，根据线段中点的定义：
$OC=\dfrac{1}{2}OP=\dfrac{1}{2}×4=2(\mathrm{km})$
又已知$OA=2\ \mathrm{km}$，因此$OA=OC$，说明学校和公园到小明家的距离相等。
(2) 以小明家为观测点：
① 学校A和正东方向夹角为45°向北，即北偏东45°（东北方向），到小明家的距离为2 km；
② 商场B和正西方向夹角为60°向北，与正北方向夹角为$90°-60°=30°$，即北偏西30°方向，到小明家的距离为3.5 km；
③ 停车场P和正东方向夹角为30°向南，与正南方向夹角为$90°-30°=60°$，即南偏东60°方向，到小明家的距离为4 km。
【答案】
(1) 到小明家距离相等的地方是学校和公园。
(2) 学校在小明家北偏东$45°$(或东北)方向上，且到小明家的距离为2 km；商场在小明家北偏西$30°$方向上，且到小明家的距离为3.5 km；停车场在小明家南偏东$60°$方向上，且到小明家的距离为4 km。
【知识点】
线段中点、方向角、方位描述
【点评】
本题结合生活场景考查基础的方位判断和线段中点计算，解题时需明确观测点，正确换算方位夹角，结合距离即可确定位置，侧重对基础概念的应用考察。
【难度系数】
0.8