19. 在平面直角坐标系中,已知$O(0,0),B(1,3)$.
(1)若点A在x轴上,且$S_{\mathrm{三角形}OAB}=3$,求满足条件的点A的坐标;
(2)若点A在y轴上,且$S_{\mathrm{三角形}OAB}=3$,求满足条件的点A的坐标;
(3)若点A在坐标轴上,且$S_{\mathrm{三角形}OAB}=2$,直接写出点A的坐标.

19.解:(1)
∵ 点 A 在 x 轴上，
∴ $S_{\mathrm{三角形}OAB}=\dfrac{1}{2}×OA×3=3$，
解得 $OA=2$，
∴ 点 A 的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$.
(2)
∵ 点 A 在 y 轴上，
∴ $S_{\mathrm{三角形}OAB}=\dfrac{1}{2}×OA×1=3$，
解得 $OA=6$，
∴ 点 A 的坐标为$(0,6)$或$(0,-6)$.
(3)点 A 的坐标为$(\dfrac{4}{3},0)$或$(-\dfrac{4}{3},0)$或$(0,4)$或$(0,-4)$.

【分析】
这是平面直角坐标系中结合三角形面积求点坐标的问题，解题思路如下：1. 先明确坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，可先设出点A的坐标；2. 确定三角形的底和高：若A在x轴上，以OA为底，高为点B到x轴的距离即B点纵坐标的绝对值；若A在y轴上，以OA为底，高为点B到y轴的距离即B点横坐标的绝对值；3. 代入三角形面积公式求出OA的长度，注意点A在坐标轴正半轴、负半轴两种情况，避免漏解；4. 第三问需分别讨论A在x轴、y轴上的两类情况，按上述方法计算即可。
【解析】
(1) 设点A的坐标为$(x,0)$，
∵ 点A在x轴上，$△ OAB$以OA为底时，高为点B到x轴的距离，即B点纵坐标的绝对值3，
∴ $S_{\mathrm{三角形}OAB}=\dfrac{1}{2}×|OA|×3=3$，
解得$|OA|=2$，即$|x|=2$，$x=\pm2$，
∴ 点A的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。
(2) 设点A的坐标为$(0,y)$，
∵ 点A在y轴上，$△ OAB$以OA为底时，高为点B到y轴的距离，即B点横坐标的绝对值1，
∴ $S_{\mathrm{三角形}OAB}=\dfrac{1}{2}×|OA|×1=3$，
解得$|OA|=6$，即$|y|=6$，$y=\pm6$，
∴ 点A的坐标为$(0,6)$或$(0,-6)$。
(3) 分两种情况讨论：
① 若A在x轴上，设$A(x,0)$，则$S_{\mathrm{三角形}OAB}=\dfrac{1}{2}×|x|×3=2$，解得$|x|=\dfrac{4}{3}$，即$A(\dfrac{4}{3},0)$或$(-\dfrac{4}{3},0)$；
② 若A在y轴上，设$A(0,y)$，则$S_{\mathrm{三角形}OAB}=\dfrac{1}{2}×|y|×1=2$，解得$|y|=4$，即$A(0,4)$或$(0,-4)$。
综上可得满足条件的点A坐标。
【答案】
(1) $(2,0)$或$(-2,0)$；
(2) $(0,6)$或$(0,-6)$；
(3) $(\dfrac{4}{3},0)$或$(-\dfrac{4}{3},0)$或$(0,4)$或$(0,-4)$
【知识点】
坐标轴点坐标特征，三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题将平面直角坐标系中点的性质与三角形面积计算相结合，解题时需注意坐标轴上的点可位于正半轴或负半轴，要全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

若在方格(每个小方格的边长为1 m)纸上沿着网格线平移,规定:沿水平方向平移的数量为a(向右为正,向左为负,平移$|a|$个单位长度),沿竖直方向平移的数量为b(向上为正,向下为负,平移$|b|$个单位长度),则把有序数对$(a,b)$叫做这一平移的“平移量”.
如图,从点A按“平移量”$(1,4)$可平移至点B.

(1)从点C按“平移量”可平移到点B.
(2)若点B依次按“平移量”$(2,-2),(-3,2)$平移至点D.
①请在图中标出点D.
②如果每平移1 m需要2.5 s,那么按此方法从点B移动至点D需要多少秒?
③观察点D的位置,其实点B也可按“平移量”直接平移至点D.
观察这两种平移的“平移量”,猜想:点E依次按“平移量”$(2,3),(-5,1),(1,-5)$平移至点F,则相当于点E按“平移量”直接平移至点F.
【答案】
(1)$(-2,-1)$
(2)解:①如图,点D即所求.

②从点B移动至点D需要$(2+2+3+2)×2.5=22.5(s)$.
③$(-1,0)$ $(-2,-1)$

(1)$(-2,-1)$
(2)解:①如图,点D即所求.
②从点B移动至点D需要$(2+2+3+2)×2.5=22.5(s)$.
③$(-1,0)$ $(-2,-1)$

【分析】
本题是基于新定义“平移量”的平移类问题，解题核心是先准确理解平移量$(a,b)$的含义：$a$表示水平方向平移量（右正左负），$b$表示竖直方向平移量（上正下负）。
(1) 要找C到B的平移量，只需分别数出两点水平、竖直方向的格子数，结合方向确定$a$、$b$的符号和数值即可。
(2) ①标注D点时，按照给出的两个平移量依次对B点进行平移即可；②计算总时间需要先算出总平移路程，注意不管平移方向，每次移动的路程是对应平移量的绝对值之和，再乘每米所需时间即可；③多次平移的总平移量，可将每次平移的水平分量$a$相加得到总$a$，竖直分量$b$相加得到总$b$，后续的猜想也用同样的方法计算即可。
【解析】
(1) 观察点C到点B的位置：水平方向向左平移2个单位，故$a=-2$；竖直方向向下平移1个单位，故$b=-1$，因此平移量为$(-2,-1)$。
(2) ①将点B先向右平移2个单位、向下平移2个单位，再向左平移3个单位、向上平移2个单位，标记最终得到的点即为D。
②计算总平移路程：每次平移的长度为对应平移量两个分量的绝对值之和，第一次平移量$(2,-2)$的移动长度为$|2|+|-2|=4\ \mathrm{m}$，第二次平移量$(-3,2)$的移动长度为$|-3|+|2|=5\ \mathrm{m}$，总路程为$4+5=9\ \mathrm{m}$。
所需总时间为：$9×2.5=22.5\ \mathrm{s}$。
③两次平移的总水平分量：$2+(-3)=-1$，总竖直分量：$-2+2=0$，故直接平移的平移量为$(-1,0)$。
猜想部分：三个平移量的总水平分量为$2+(-5)+1=-2$，总竖直分量为$3+1+(-5)=-1$，故对应的平移量为$(-2,-1)$。
【答案】
(1) $\boxed{(-2,-1)}$
(2) ①见图标注；②$\boxed{22.5\ \mathrm{s}}$；③$\boxed{(-1,0)}$，$\boxed{(-2,-1)}$
【知识点】
平移的坐标表示，有理数加减运算，路程计算
【点评】
本题以新定义“平移量”为载体，考查平移的基本性质和有理数运算的实际应用，解题的关键是准确理解平移量的含义，区分平移量的符号意义和实际移动路程的计算方法，多次平移的总平移量可通过分别累加水平、竖直方向的分量快速得到，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7