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9. (2026·江苏盐城期中)A,B两名射击运动员进行了相同次数的射击.下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中,能说明A成绩较好且更稳定的是（
A.$\overline{x}_{\mathrm{A}}＞\overline{x}_{\mathrm{B}}$且$s^{2}_{\mathrm{A}}＞s^{2}_{\mathrm{B}}$
B.$\overline{x}_{\mathrm{A}}＞\overline{x}_{\mathrm{B}}$且$s^{2}_{\mathrm{A}}＜s^{2}_{\mathrm{B}}$
C.$\overline{x}_{\mathrm{A}}＜\overline{x}_{\mathrm{B}}$且$s^{2}_{\mathrm{A}}＞s^{2}_{\mathrm{B}}$
D.$\overline{x}_{\mathrm{A}}＜\overline{x}_{\mathrm{B}}$且$s^{2}_{\mathrm{A}}＜s^{2}_{\mathrm{B}}$
B
）A.$\overline{x}_{\mathrm{A}}＞\overline{x}_{\mathrm{B}}$且$s^{2}_{\mathrm{A}}＞s^{2}_{\mathrm{B}}$
B.$\overline{x}_{\mathrm{A}}＞\overline{x}_{\mathrm{B}}$且$s^{2}_{\mathrm{A}}＜s^{2}_{\mathrm{B}}$
C.$\overline{x}_{\mathrm{A}}＜\overline{x}_{\mathrm{B}}$且$s^{2}_{\mathrm{A}}＞s^{2}_{\mathrm{B}}$
D.$\overline{x}_{\mathrm{A}}＜\overline{x}_{\mathrm{B}}$且$s^{2}_{\mathrm{A}}＜s^{2}_{\mathrm{B}}$
答案
9. B 解析:因为A成绩较好且更稳定,所以$\overline{x}_A＞\overline{x}_B$且$s^2_A＜s^2_B$.
10. 在 4,5,6,6,9 这组数据中,去掉一个数后,余下的数据的中位数不变,方差减小,则去掉的数是（
A.4
B.5
C.6
D.9
A
）A.4
B.5
C.6
D.9
答案
10. A 解析:因为中位数不变,所以去掉的数是4或5.再通过计算可知去掉的数是4.
11. 若一组数据 1,2,x,4 的中位数是 2,则这组数据的方差是
$\frac{19}{16}$
.答案
11. $\frac{19}{16}$ 解析:由题意,得$\frac{1}{2}(2+x)=2$,解得$x=2$,所以这组数据的平均数是$\frac{1}{4}×(1+2+2+4)=\frac{9}{4}$,所以这组数据的方差为$\frac{1}{4}×[(1-\frac{9}{4})^2+(2-\frac{9}{4})^2×2+(4-\frac{9}{4})^2]=\frac{19}{16}$.
12. 已知一组数据$0,x,1,9$的平均数是4,另一组数据$3,5,6,y$的众数是5,则数据$0,1,2,3,4,x,y$的平均数是
3
,离差平方和是28
,方差是4
.答案
12. 3 28 4 解析:由题意,得$\frac{1}{4}(0+x+1+9)=4$,$y=5$,解得$x=6$,则数据0,1,2,3,4,5,6的平均数是$\frac{1}{7}×(0+1+2+3+4+5+6)=3$,所以离差平方和是$(0-3)^2+(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2+(6-3)^2=28$,所以方差是$\frac{1}{7}×28=4$.
13. 已知一组数据 $x_1,x_2,x_3$ 的方差为 3 , 则另一组数据 $2x_1+10,2x_2+10,2x_3+10$ 的方差为
12
.答案
13. 12 解析:根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$可知:将一组数据中每一个数都乘2后,方差变为原来的$2^2=4$倍;将一组数据中每一个数都加上或减去同一个数,方差不变.因为$x_1,x_2,x_3$的方差为3,所以$2x_1,2x_2,2x_3$的方差为$3×4=12$,所以$2x_1+10,2x_2+10,2x_3+10$的方差为12.
归纳总结
若数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差为$s^2$,则数据$kx_1+b$,$kx_2+b,\dots,kx_n+b$的方差为$k^2s^2$.
归纳总结
若数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差为$s^2$,则数据$kx_1+b$,$kx_2+b,\dots,kx_n+b$的方差为$k^2s^2$.
14. 新素养 推理能力 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计. 由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39 人的平均分为 90 分，方差为 41 分². 后来小亮进行了补测，成绩为 90 分. 关于该班40 人的测试成绩，下列说法正确的是（
A.平均数不变，方差变大
B.平均数不变，方差变小
C.平均数和方差都不变
D.平均数和方差都改变
B
）A.平均数不变，方差变大
B.平均数不变，方差变小
C.平均数和方差都不变
D.平均数和方差都改变
答案
14. B 解析:由题意,得该班40人测试成绩的平均数为$\frac{1}{40}×(90×39+90)=90$(分),方差为$\frac{1}{40}×[41×39+(90-90)^2]=39\frac{39}{40}$(分²),所以平均数不变,方差变小.
15. (2025·江苏淮安二模)某次化学测验满分为60分,某班成绩的平均数为43分,方差为9 分$^{2}$. 若把每名同学的成绩按 100 分进行换算,则换算后该班化学测验成绩的方差为
25
分$^{2}$.答案
15. 25 解析:设这个班有$n$名同学. 由题意,得$\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=9$(分²).把每一名同学的成绩按100分换算后,每一名同学的成绩和班级平均成绩都变为原来的$\frac{5}{3}$,则换算后该班化学测验成绩的方差为$\frac{1}{n}[(\frac{5}{3}x_1-\frac{5}{3}\overline{x})^2+\dots+(\frac{5}{3}x_n-\frac{5}{3}\overline{x})^2]=\frac{25}{9}×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=\frac{25}{9}×9=25$(分²).
16. 新趋势 情境素材 某厂生产 A,B 两种产品，其单价随市场变化而做相应调整.营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表及不完整的折线统计图：
A,B 产品单价变化统计表
A,B 产品单价变化折线统计图
并求得了 A 产品三次单价的平均数和方差：
$\overline{x}_{A}=5.9$ 元/件；$s^{2}_{A}=\dfrac{1}{3}×[(6-5.9)^{2}+(5.2-5.9)^{2}+(6.5-5.9)^{2}]=\dfrac{43}{150}$(元$^{2}/$件$^{2}$).
(1) 补全折线统计图；
(2) B 产品第三次的单价比上一次的单价降低了
(3) 求 B 产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；
(4) 该厂决定第四次调价，A 产品的单价仍为 6.5 元/件，B 产品的单价在 3 元/件的基础上上调 $m\%(m＞0)$，使得 A 产品四次单价的中位数比 B 产品四次单价中位数的 2 倍少 1 元/件，求 $m$ 的值.
A,B 产品单价变化统计表
A,B 产品单价变化折线统计图
并求得了 A 产品三次单价的平均数和方差：
$\overline{x}_{A}=5.9$ 元/件；$s^{2}_{A}=\dfrac{1}{3}×[(6-5.9)^{2}+(5.2-5.9)^{2}+(6.5-5.9)^{2}]=\dfrac{43}{150}$(元$^{2}/$件$^{2}$).
(1) 补全折线统计图；
(2) B 产品第三次的单价比上一次的单价降低了
25
%；(3) 求 B 产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；
(4) 该厂决定第四次调价，A 产品的单价仍为 6.5 元/件，B 产品的单价在 3 元/件的基础上上调 $m\%(m＞0)$，使得 A 产品四次单价的中位数比 B 产品四次单价中位数的 2 倍少 1 元/件，求 $m$ 的值.
答案
16. (1) 图略.
(2) 25
(3) 由题意,得$\overline{x}_B=\frac{1}{3}×(3.5+4+3)=3.5$(元/件),所以$s^2_B=\frac{1}{3}×[(3.5-3.5)^2+(4-3.5)^2+(3-3.5)^2]=\frac{1}{6}$(元²/件²).故B产品三次单价的方差为$\frac{1}{6}$元²/件².因为$\frac{1}{6}＜\frac{43}{150}$,所以B产品的单价波动小.
(4) 由题意,得第四次调价后,A产品四次单价的中位数为$\frac{1}{2}×(6+6.5)=6.25$(元/件).因为$m＞0$,所以B产品第四次的单价大于3元/件.因为$\frac{1}{2}×(3.5+4)×2-1=6.5＞6.25$,所以B产品第四次的单价小于4元/件,所以$\frac{1}{2}[3(1+m\%)+3.5]×2-1=6.25$,解得$m=25$.
(2) 25
(3) 由题意,得$\overline{x}_B=\frac{1}{3}×(3.5+4+3)=3.5$(元/件),所以$s^2_B=\frac{1}{3}×[(3.5-3.5)^2+(4-3.5)^2+(3-3.5)^2]=\frac{1}{6}$(元²/件²).故B产品三次单价的方差为$\frac{1}{6}$元²/件².因为$\frac{1}{6}＜\frac{43}{150}$,所以B产品的单价波动小.
(4) 由题意,得第四次调价后,A产品四次单价的中位数为$\frac{1}{2}×(6+6.5)=6.25$(元/件).因为$m＞0$,所以B产品第四次的单价大于3元/件.因为$\frac{1}{2}×(3.5+4)×2-1=6.5＞6.25$,所以B产品第四次的单价小于4元/件,所以$\frac{1}{2}[3(1+m\%)+3.5]×2-1=6.25$,解得$m=25$.
