6. 新素养 应用意识 为了提升居民生活质量,完善社区公共区域配套设施,今年夏天某市在多个城区实施了旧城改造工程.已知某工程队在开始施工的7月份为某小区翻新道路$12\ 000\ \mathrm{m}^{2}$,为了在入冬前完成道路翻新工程,之后加快了工程进度,结果9月份为该小区翻新道路$14\ 520\ \mathrm{m}^{2}$.
(1)求这两个月该工程队工作效率的月平均增长率;
(2)若10月份该工程队的工作效率按此增长率增长,则估计到10月末该工程队能否完成该小区共$55\ 000\ \mathrm{m}^{2}$的道路翻新任务?
上分秘籍

(1) 设这两个月该工程队工作效率的月平均增长率为x. 由题意，得12000(1+x)²=14520，解得x₁=0.1=10%，x₂=-2.1(不合题意，舍去). 故这两个月该工程队工作效率的月平均增长率为10%.
(2) 由题意，得12000+12000×(1+10%)+14520+14520×(1+10%)=55692(m²). 因为55692＞55000，所以估计到10月末该工程队能完成该小区共55000 m²的道路翻新任务.

7. 某工程队采用 A,B 两种设备同时对长度为4 800 m 的公路进行施工改造. 原计划 A 型设备每小时铺设路面比 B 型设备的 2 倍多30 m,则 32 h 恰好完成改造任务.
(1) 求 A 型设备每小时铺设的路面长度;
(2) 通过勘察,此工程的实际施工里程比最初的 4 800 m 多了 1 000 m. 在实际施工中,B 型设备在铺路效率不变的情况下,时间比原计划增加了$(a+25)\mathrm{h}$,同时 A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了$3a\ \mathrm{m}$,而使用时间增加了$a\ \mathrm{h}(a≠0)$,求$a$的值.

(1) 设B型设备每小时铺设的路面长度为x m，则A型设备每小时铺设的路面长度为(2x+30)m. 由题意，得32[x+(2x+30)]=4800，解得x=40，则2x+30=110. 故A型设备每小时铺设的路面长度为110 m.
(2) 由题意，得40(a+25+32)+(110-3a)(32+a)=4800+1000. 整理，得a²-18a=0，解得a₁=18，a₂=0(不合题意，舍去). 故a的值为18.

8. (2026·江苏连云港期中)如图,在矩形 $ABCD$ 中, $DC=14\ \mathrm{cm},AD=6\ \mathrm{cm}$,点 $P$ 从点 $A$ 出发,沿 $AB$ 以$4\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $B$ 运动; 同时点 $Q$ 从点 $C$出发, 沿 $CD$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $D$ 运动. 连接 $PQ$. 当其中一点到达终点时, 另一点也停止运动. 设运动的时间为 $t\ \mathrm{s}$.
(1) 当 $t$ 为何值时, $PQ$ 将矩形 $ABCD$ 的面积分成 $2:5$ 两部分?
(2) 当 $t$ 为何值时, $P,Q$ 两点之间的距离为$10\ \mathrm{cm}$?

(1) 由题意，得AP=4t cm，CQ=t cm. 因为四边形ABCD是矩形，所以AB=DC=14 cm，BC=AD=6 cm，所以BP=AB-AP=(14-4t)cm，所以S梯形BCQP=1/2(CQ+BP)·BC=(42-9t)cm². 因为4t≤14，所以t≤7/2. 因为S矩形ABCD=DC·AD=84 cm²，所以当PQ将矩形ABCD的面积分成2：5两部分时，分类讨论如下：① 若S梯形ADQP：S梯形BCQP=2：5，则S梯形BCQP=5/7 S矩形ABCD=60 cm²，所以42-9t=60，解得t=-2，不合题意，舍去；② 若S梯形BCQP：S梯形ADQP=2：5，则S梯形BCQP=2/7 S矩形ABCD=24 cm²，所以42-9t=24，解得t=2. 综上所述，当t的值为2时，PQ将矩形ABCD的面积分成2：5两部分.
(2) 过点Q作QE⊥AB于点E，则∠BEQ=∠PEQ=90°. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，所以四边形BCQE是矩形，所以QE=BC=6 cm，BE=CQ=t cm. 因为BP=(14-4t)cm，所以PE=|BP-BE|=|14-5t| cm. 因为PE²+QE²=PQ²，PQ=10 cm，所以|14-5t|²+6²=10²，解得t₁=6/5，t₂=22/5(不合题意，舍去). 故当t的值为6/5时，P，Q两点之间的距离为10 cm.