3.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且AE=AF.
(1)求证:CE=CF.
(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点G,使OG=OA,连接EG,FG,四边形AEGF是什么特殊四边形?请证明你的结论.

(1)证明:$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AB=BC=CD=AD,∠ B=∠ D=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和$\mathrm{Rt}△ ADF$中,$\because \begin{cases} AE=AF, \\ AB=AD, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}),\therefore BE=DF,\therefore BC-BE=CD-DF$,即$CE=CF$;
(2)解:四边形 AEGF 是菱形.证明:$\because AE=AF$,由(1)知 $CE=CF$,$\therefore AC$ 垂直平分线段 $EF$,$\therefore AC⊥ EF,OE=OF$.又 $OA=OG$,$\therefore$ 四边形 AEGF 是平行四边形.$\because AG⊥ EF$,$\therefore □ AEGF$ 是菱形.

【分析】
(1) 要证CE=CF，可先利用正方形的性质得到AB=AD，∠B=∠D=90°，结合已知AE=AF，用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△ADF，得到BE=DF，再根据正方形边长BC=CD，用BC减去BE、CD减去DF，即可推出CE=CF。
(2) 判断四边形AEGF的形状时，首先由AE=AF和(1)得到的CE=CF，可知AC是EF的垂直平分线，得到AC⊥EF且OE=OF；再结合OG=OA，可先判定四边形AEGF是对角线互相平分的平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 和$\mathrm{Rt}△ADF$中，$\because \begin{cases} AE=AF, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABE≌\mathrm{Rt}△ADF(\mathrm{HL})$，$\therefore BE=DF$，
$\therefore BC-BE=CD-DF$，即$CE=CF$。
(2) 四边形AEGF是菱形，证明如下：
$\because AE=AF$，由(1)知 $CE=CF$，
$\therefore AC$ 垂直平分线段$EF$，$\therefore AC⊥ EF,OE=OF$。
又 $OA=OG$，$\therefore$ 四边形AEGF的对角线互相平分，是平行四边形。
$\because AG⊥ EF$，$\therefore □AEGF$ 是菱形。
【答案】
(1) 证明成立，$CE=CF$；
(2) 四边形AEGF是菱形。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，将正方形、全等三角形、特殊四边形的判定结合考查，解题时需从已知条件出发逐步推导线段关系，再结合相关判定定理得到结论，熟练掌握基础几何性质和判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

4.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE//BD,AE与CB的延长线交于点E,DE交AB于点F.
(1)求证:BC=BE.
(2)连接CF,若∠ADF=∠BCF且AD=2AF,求证:四边形ABCD是正方形.

(1)证明:$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore AD// BC,AD=BC.\because AE// BD,\therefore$ 四边形 AEBD 是平行四边形,$\therefore AD=EB,\therefore BC=BE$;
(2)由(1)知:四边形 AEBD 是平行四边形,$\therefore AF=BF=\frac{1}{2}AB,EF=FD,\because AD=2AF,\therefore AB=AD$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是菱形.$\because AD// EC$,$\therefore ∠ ADF=∠ FEC.\because ∠ ADF=∠ BCF$,$\therefore ∠ FEC=∠ BCF$,$\therefore EF=FC=FD$,$\therefore △ ADF≌△ BCF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ DAF=∠ CBF.\because ∠ DAF+∠ CBF=180°$,$\therefore ∠ DAF=90°$,$\therefore$ 四边形 ABCD 是正方形.

【分析】
(1)要证BC=BE，可通过等量代换证明两条线段都等于AD。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合AE//BD判定四边形AEBD是平行四边形，得到AD=BE，即可推出BC=BE。
(2)要证四边形ABCD是正方形，需先证它是菱形，再证明存在直角。首先由平行四边形AEBD的性质得AB=2AF，结合AD=2AF推出AD=AB，即平行四边形ABCD是菱形；再利用平行线性质和已知等角推出EF=FC=FD，证明△ADF≌△BCF得到∠DAF=∠CBF，结合平行线同旁内角互补得∠DAF=90°，即可证明菱形ABCD是正方形。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD=BC。
∵ AE//BD，
∴ 四边形AEBD是平行四边形，
∴ AD=EB，
∴ BC=BE。
(2)证明：
由(1)知四边形AEBD是平行四边形，
∴ AF=BF=$\frac{1}{2}$AB，EF=FD。
∵ AD=2AF，
∴ AB=AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
∵ AD//EC，
∴ ∠ADF=∠FEC。
∵ ∠ADF=∠BCF，
∴ ∠FEC=∠BCF，
∴ EF=FC=FD。
在△ADF和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ ∠ ADF=∠ BCF\\ DF=CF\end{array} $
∴ △ADF≌△BCF（SAS），
∴ ∠DAF=∠CBF。
∵ AD//BC，
∴ ∠DAF+∠CBF=180°，
∴ ∠DAF=90°，
∴ 菱形ABCD是正方形。
【答案】
(1)BC=BE得证；
(2)四边形ABCD是正方形得证。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题是特殊四边形的综合证明题，解题需层层递进，先利用平行四边形性质推导边的关系，再结合角的条件证明全等得到直角，既考查了基础性质的应用，也能锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6