5.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,过点D作∠ADC的平分线交AB于点E,连接AC交DE于点O,AD//CE.
(1)求证:四边形AECD是菱形.
(2)若AD=10,△ACD的周长为36,求菱形AECD的面积.

(1)证明:$\because AB// CD,AD// CE$,$\therefore$ 四边形 AECD 是平行四边形,$∠ CDE=∠ AED$,$\because DE$ 平分$∠ ADC$,$\therefore ∠ CDE=∠ ADE$,$\therefore ∠ AED=∠ ADE$,$\therefore AD=AE$,$\therefore$ 四边形 AECD 是菱形;
(2)解:由(1)可知,四边形 AECD 是菱形,$\therefore OA=OC,CD=AD=10,OD=OE,AC⊥ DE$,$\because △ ACD$ 的周长为 36,$\therefore AC=36-AD-CD=36-10-10=16$,$\therefore OA=OC=8$, 在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中,由勾股定理得$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,$\therefore DE=2OD=12$,$\therefore S_{\mathrm{菱形}AECD}=\frac{1}{2}AC· DE=\frac{1}{2}×16×12=96$.

【分析】
(1)证明菱形的常见思路是先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等。首先根据题目给出的两组对边平行，可直接判定四边形AECD是平行四边形；再结合角平分线的性质和平行线的内错角相等，推导出∠AED=∠ADE，利用等角对等边得到AD=AE，即可证明平行四边形AECD是菱形。
(2)菱形的面积可通过“对角线乘积的一半”计算，因此需要先求出两条对角线的长度。首先根据菱形四边相等的性质，结合△ACD的周长算出对角线AC的长；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，在直角三角形中用勾股定理求出另一条对角线DE一半的长度，进而得到DE的总长，最后代入面积公式即可求出结果。
【解析】
(1)证明：$\because AB// CD,AD// CE$，$\therefore$ 四边形 AECD 是平行四边形，$∠ CDE=∠ AED$，
$\because DE$ 平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ CDE=∠ ADE$，
$\therefore ∠ AED=∠ ADE$，$\therefore AD=AE$，
$\therefore$ 四边形 AECD 是菱形；
(2)解：由(1)可知，四边形 AECD 是菱形，
$\therefore OA=OC,CD=AD=10,OD=OE,AC⊥ DE$，
$\because △ ACD$ 的周长为 36，$\therefore AC=36-AD-CD=36-10-10=16$，
$\therefore OA=OC=8$， 在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中，由勾股定理得$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
$\therefore DE=2OD=12$，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}AECD}=\frac{1}{2}AC· DE=\frac{1}{2}×16×12=96$。
【答案】
(1)四边形AECD是菱形，得证；
(2)96
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，围绕特殊四边形的判定与性质设计，解题时需理清平行四边形和菱形的逻辑关联，结合角平分线、勾股定理等知识点求解线段长度，熟练掌握各类几何性质和判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,连接DE交AC于点F.
(1)求证:四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC还满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.
(3)在(2)的条件下,若AB=AC=2√2,求正方形ADCE的边长.

(1)证明:$\because AB=AC,AD⊥ BC$,$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$.$\because AN$ 是 $△ ABC$ 外角 $∠ CAM$ 的平分线,$\therefore ∠ CAE=\frac{1}{2}∠ CAM$.$\therefore ∠ DAE=∠ CAD+∠ CAE=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ CAM)=90°$.$\because AD⊥ BC$,$CE⊥ AN$,$\therefore ∠ ADC=∠ CEA=90°$,$\therefore$ 四边形 ADCE 为矩形;
(2)解:$∠ BAC=90°$时,四边形 ADCE 是一个正方形.证明:$\because AB=AC,AD⊥ BC$,$\therefore BD=CD$,$\because ∠ BAC=90°$,$\therefore AD=CD=\frac{1}{2}BC$.$\because$ 四边形 ADCE 为矩形,$\therefore$ 四边形 ADCE 为正方形;
(3)由勾股定理,得 $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=4$,$\therefore AD=CD=\frac{1}{2}BC=2$,$\therefore$ 正方形 ADCE 的边长为 2.

【分析】
(1)要证明四边形ADCE为矩形，可通过证明该四边形有三个内角为直角推导：首先利用等腰三角形三线合一的性质，得AD平分∠BAC，再结合AN是外角∠CAM的平分线，可推出∠DAE=90°，再结合已知AD⊥BC、CE⊥AN得到的两个直角，即可证明矩形。
(2)矩形变为正方形需要满足邻边相等，即AD=CD。结合等腰三角形三线合一可知D是BC中点，若∠BAC=90°，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得AD=CD，即可推出矩形ADCE为正方形。
(3)在∠BAC=90°的条件下，已知AB、AC的长度，先用勾股定理求出斜边BC的长度，再根据直角三角形斜边中线的性质求出AD的长度，即为正方形ADCE的边长。
【解析】
(1)证明：$\because AB=AC,AD⊥ BC$，
$\therefore ∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC$。
$\because AN$是$△ ABC$外角$∠CAM$的平分线，
$\therefore ∠CAE=\frac{1}{2}∠CAM$。
$\therefore ∠DAE=∠CAD+∠CAE=\frac{1}{2}(∠BAC+∠CAM)=\frac{1}{2}×180°=90°$。
又$\because AD⊥BC,CE⊥AN$，
$\therefore ∠ADC=∠CEA=90°$，
$\therefore$四边形$ADCE$为矩形。
(2)解：当$∠BAC=90°$时，四边形$ADCE$是正方形。
证明：$\because AB=AC,AD⊥BC$，
$\therefore BD=CD$。
$\because ∠BAC=90°$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}BC=CD$。
$\because$四边形$ADCE$为矩形，
$\therefore$矩形$ADCE$为正方形。
(3)解：在$Rt△ ABC$中，$AB=AC=2\sqrt{2}$，$∠BAC=90°$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}BC=2$，即正方形$ADCE$的边长为2。
【答案】
(1)四边形ADCE为矩形，证明成立；
(2)当$∠BAC=90°$时，四边形ADCE是正方形，证明成立；
(3)正方形ADCE的边长为2。
【知识点】
矩形的判定；正方形的判定；勾股定理
【点评】
本题综合考察了等腰三角形性质、角平分线定义、特殊四边形的判定和勾股定理的应用，解题时需结合已知条件逐步推导，理清图形性质之间的关联，属于几何基础综合题。
【难度系数】
0.7