1.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$D$是$BC$的中点，$E$是$AD$的中点，过点$A$作$AF// BC$交$CE$的延长线于点$F$.
(1)求证:四边形$ADBF$是菱形.
(2)若$AB=8$，菱形$ADBF$的面积为$40$.求$AC$的长.

(1)证明:$\because AF// BC,\therefore ∠ AFC=∠ FCD,∠ FAE=∠ CDE.\because$ 点 E 是 AD 的中点,$\therefore AE=DE$,$\therefore △ FAE≌△ CDE(\mathrm{AAS}),\therefore AF=CD.\because$ 点 D 是 BC 的中点,$\therefore BD=CD,\therefore AF=BD,\therefore$ 四边形ADBF 是平行四边形,$\because ∠ BAC=90°$ ,D 是 BC 的中点,$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}BC,\therefore$ 四边形 ADBF 是菱形;
(2)解:$\because$ 四边形 ADBF 是菱形.$\therefore S_{\mathrm{菱形}ADBF}=2S_{△ ABD},\because$ 点 D 是 BC 的中点,$\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}$,$\therefore S_{\mathrm{菱形}ADBF}=S_{△ ABC}=40,\therefore \frac{1}{2}AB· AC=40,\because AB=8,\therefore AC=10$.

【分析】
(1)要证明四边形ADBF是菱形，遵循“先证平行四边形，再证邻边相等”的思路：首先利用AF//BC得到内错角相等，结合E是AD中点的条件，证明△FAE≌△CDE，得到AF=CD；再由D是BC中点得BD=CD，即可推出AF与BD平行且相等，得到平行四边形ADBF；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到AD=BD，即可证明该平行四边形为菱形。
(2)求AC的长度时，已知AB长和菱形面积，可通过面积关系转化：菱形ADBF的面积等于2倍△ABD的面积，而D是BC中点，△ABC的面积也等于2倍△ABD的面积，因此菱形面积等于Rt△ABC的面积，代入直角三角形面积公式即可求出AC的长度。
【解析】
(1)证明：$\because AF// BC$，$\therefore ∠ AFC=∠ FCD$，$∠ FAE=∠ CDE$。
$\because$ 点E是AD的中点，$\therefore AE=DE$，
$\therefore △ FAE≌△ CDE(\mathrm{AAS})$，$\therefore AF=CD$。
$\because$ 点D是BC的中点，$\therefore BD=CD$，$\therefore AF=BD$，
又$\because AF// BD$，$\therefore$ 四边形ADBF是平行四边形。
$\because ∠ BAC=90°$，D是BC的中点，$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore$ 平行四边形ADBF是菱形。
(2)解：$\because$ 四边形ADBF是菱形，$\therefore S_{\mathrm{菱形}ADBF}=2S_{△ ABD}$。
$\because$ 点D是BC的中点，$\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}$，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ADBF}=S_{△ ABC}=40$。
$\because △ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=40$，
将$AB=8$代入得：$\frac{1}{2}×8× AC=40$，解得$AC=10$。
【答案】
(1) 四边形ADBF是菱形，得证；
(2) $AC$的长为$\boxed{10}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法、特殊四边形的判定定理，以及直角三角形和中点相关的性质，能灵活转化线段关系和面积关系，是几何部分的常考典型题型。
【难度系数】
0.7

2.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线EF与AB,CD的延长线分别交于点E,F.
(1)探索线段OE和OF的大小关系并说明理由；
(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?请说明理由.

(1)$OE=OF$.理由:$\because$ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore OB=OD,AB// CD,\therefore ∠ E=∠ F,∠ EBO=∠ FDO,\therefore △ BOE≌△ DOF(\mathrm{AAS}),\therefore OE=OF$;
(2)当$EF⊥ AC$时,四边形 AECF 是菱形.理由:$\because$ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore OA=OC$.由(1)知 $OE=OF$,$\therefore$ 四边形 AECF 是平行四边形.又 $EF⊥ AC$,$\therefore$ 四边形 AECF 是菱形.

【分析】
(1)要判断OE和OF的大小关系，可先猜想OE=OF，考虑证明两条线段所在的三角形全等：首先利用矩形的性质可得对角线互相平分即OB=OD，且矩形对边平行可得AB//CD，进而得到两组对应角相等，即可证明△BOE和△DOF全等，从而得到OE=OF。
(2)要判断四边形AECF是菱形的条件，首先回忆菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。首先结合矩形性质得OA=OC，结合(1)的结论OE=OF，可得四边形AECF对角线互相平分，首先为平行四边形，因此只需添加EF⊥AC的条件，即可判定其为菱形。
【解析】
(1) $OE=OF$，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $OB=OD$，$AB// CD$，
∴ $∠ E=∠ F$，$∠ EBO=∠ FDO$，
在$△ BOE$和$△ DOF$中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ F\\ ∠ EBO=∠ FDO\\ OB=OD\end{array} $
∴ $△ BOE≌△ DOF(\mathrm{AAS})$，
∴ $OE=OF$。
(2) 当$EF⊥ AC$时，四边形AECF是菱形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $OA=OC$。
由(1)知$OE=OF$，
∴ 四边形AECF的对角线互相平分，即四边形AECF是平行四边形。
又
∵ $EF⊥ AC$，
∴ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即四边形AECF是菱形。
【答案】
(1) $OE=OF$，理由见解析；
(2) 当$EF⊥ AC$时，四边形AECF是菱形，理由见解析。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于基础的几何综合题，主要考查特殊四边形的性质与判定、三角形全等的证明，解题的关键是熟练掌握相关定理，能结合已知条件找到边角的等量关系，逐步推导结论。
【难度系数】
0.7