13.如图,在菱形ABCD中,对角形AC,BD相交于点O。过点D作$DE⊥AB$于点E,点F是边AD的中点。若$BD=6$,菱形ABCD的面积为24,则EF的长为。

13.$\frac{5}{2}$

【分析】
要解决本题，需分步骤推导：首先利用菱形面积公式求出对角线AC的长度；再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，用勾股定理算出菱形的边长AD；最后根据直角三角形斜边中线定理，由F是AD中点，得出EF等于AD的一半，进而求出EF的长。
【解析】
1. 菱形面积公式为：面积 = $\frac{1}{2}×AC×BD$，已知菱形面积为24，BD=6，代入得：
$24 = \frac{1}{2}×AC×6$，解得 $AC = 8$。
2. 菱形的对角线互相垂直且平分，因此 $OA = \frac{1}{2}AC = 4$，$OB = \frac{1}{2}BD = 3$，且 $AC⊥BD$，故△AOB是直角三角形。
根据勾股定理，菱形边长 $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，所以 $AD = AB = 5$（菱形四边相等）。
3. 因为 $DE⊥AB$，所以△ADE是直角三角形，又F是AD的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此 $EF = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}×5 = \frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
菱形的性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形的性质与直角三角形的性质，需熟练掌握菱形面积公式、对角线性质，以及直角三角形斜边中线的性质，解题思路清晰，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5

14.我们知道:四边形具有不稳定性。如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),B的坐标为(3,0),AD=4,固定点A,B,把矩形沿x轴正方向推,使点D落在y轴正半轴上点D'处,则点C的对应点C'的坐标为________。

14.$(5,2\sqrt{3})$

【分析】
要解决本题，需利用矩形变形时边长不变的性质，结合勾股定理求出点D'的坐标，再根据变形后图形对边平行且相等的特点，确定点C'的坐标。步骤如下：1. 确定AO的长度，利用AD'=AD=4，在直角三角形AOD'中用勾股定理算出OD'，得到D'的坐标；2. 变形后D'C'平行且等于AB，AB长度可求，由此推出C'的坐标。
【解析】
1. 计算AO的长度：点A坐标为(-2,0)，原点O为(0,0)，故AO=| -2 - 0 | = 2。
2. 由矩形性质，变形后AD'=AD=4，在Rt△AOD'中，根据勾股定理：OD' = √(AD'² - AO²) = √(4² - 2²) = √(16 - 4) = 2√3，因此点D'的坐标为(0, 2√3)。
3. 矩形变形后，D'C'平行且等于AB，AB的长度为|3 - (-2)| = 5，且D'C'平行于x轴，故点C'的横坐标为0 + 5 = 5，纵坐标与D'相同为2√3，因此点C'的坐标为(5, 2√3)。
【答案】
(5,2√3)
【知识点】
勾股定理；坐标与图形性质；矩形的性质
【点评】
本题结合矩形的不稳定性，考查勾股定理与坐标的应用，关键是利用边长不变和对边平行相等的性质求解，需注意坐标的计算方法。
【难度系数】
0.5

15.如图,正方形ABCD中,点E为对角线AC上一点,连结DE,过点E作$EF⊥DE$,交射线BC于点F。当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是$25°$时,则$∠EFC$的度数是。

15.115°或25°

【分析】
本题需结合正方形的性质，利用对角线平分内角、全等三角形及垂直的条件，分两种情况讨论：当DE与正方形的边AD夹角为25°，或DE与边CD夹角为25°，分别推导∠EFC的度数，注意射线BC的延伸性，避免漏解。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=45°，∠ADC=∠BCD=90°，
又
∵E在AC上，
∴△ADE≌△CDE（SAS：AD=CD，∠DAE=∠DCE，DE=DE），故∠ADE=∠CDE。
分两种情况：
1. 当DE与边AD的夹角为25°，即∠ADE=25°，则∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90°-25°=65°，
在△DEC中，∠DEC=180°-∠DCE-∠CDE=180°-45°-65°=70°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠CEF=∠DEF - ∠DEC=90°-70°=20°，
在△EFC中，∠EFC=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-20°=115°；
2. 当DE与边CD的夹角为25°，即∠CDE=25°，
∵∠DEF=∠DCF=90°，
∴D、E、C、F四点共圆，
∴∠EFC=∠EDC=25°（同弧所对圆周角相等）；
综上，∠EFC的度数为115°或25°。
【答案】
115°或25°
【知识点】
正方形性质、角度计算、四点共圆
【点评】
本题考查正方形中的角度问题，核心是利用正方形的性质和垂直条件，分情况讨论是解题关键，需注意射线BC的不同位置，避免漏解，难度适中。
【难度系数】
0.4

16. 如图,在矩形ABCD中,E为CD中点,连结BE,G为边BC上一点,将$△ CDG$沿DG折叠,使点C刚好落在线段BE的中点F处,则$\frac{BC}{CD}=$。

16.$\frac{\sqrt{7}}{2}$

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过建立平面直角坐标系，结合矩形性质、折叠性质和两点间距离公式求解。步骤如下：
1. 设定矩形边长，建立坐标系确定各点坐标；
2. 利用中点坐标公式求出BE中点F的坐标；
3. 根据折叠性质得DF=DC，结合两点间距离公式列方程；
4. 解方程求出BC与CD的比值。
【解析】
设矩形ABCD中，$CD=a$，$BC=b$，建立平面直角坐标系：$A(0,0)$，$B(a,0)$，$C(a,b)$，$D(0,b)$。
因为E为CD中点，所以E点坐标为$(\frac{a}{2},b)$。
BE的中点F的坐标为：$(\frac{a+\frac{a}{2}}{2},\frac{0+b}{2})=(\frac{3a}{4},\frac{b}{2})$。
由折叠性质，折叠后点C落在F处，故$DF=DC=a$。
根据两点间距离公式，$DF=\sqrt{(0-\frac{3a}{4})^2+(b-\frac{b}{2})^2}=\sqrt{\frac{9a^2}{16}+\frac{b^2}{4}}$。
令$DF=a$，则：
$\sqrt{\frac{9a^2}{16}+\frac{b^2}{4}}=a$，
两边平方得：$\frac{9a^2}{16}+\frac{b^2}{4}=a^2$，
整理得：$\frac{b^2}{4}=\frac{7a^2}{16}$，即$b^2=\frac{7a^2}{4}$，
所以$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，即$\frac{BC}{CD}=\frac{\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
矩形性质、折叠性质、两点间距离公式
【点评】
本题将几何问题转化为代数计算，关键是利用折叠对应边相等的性质，结合中点坐标和距离公式建立方程，考查几何性质应用与运算能力，属于中等难度题。
【难度系数】
0.4

三、解答题(共72分)
17.(8分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE//AC,CE//BD。求证:四边形OCED是矩形。

17.证明:因为DE//AC,CE//BD,所以四边形OCED是平行四边形。因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,所以∠COD=90°,所以四边形OCED是矩形。

【分析】
要证明四边形OCED是矩形，需先利用两组对边平行的条件证明它是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质，得到平行四边形有一个内角为直角，进而根据矩形的判定定理完成证明。
【解析】
1. 由已知DE//AC，CE//BD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形OCED是平行四边形。
2. 因为四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直”，所以AC⊥BD，即∠COD=90°。
3. 又因为四边形OCED是平行四边形，且有一个内角∠COD为90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可证得四边形OCED是矩形。
【答案】
证明:因为DE//AC,CE//BD,所以四边形OCED是平行四边形。因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,所以∠COD=90°,所以四边形OCED是矩形。
【知识点】
矩形的判定、菱形的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的性质与判定，结合菱形对角线垂直的特性，通过平行四边形的判定推导，再利用矩形的判定定理完成证明，属于基础几何证明题，侧重对基础知识点的应用。
【难度系数】
0.6