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7. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在线段BD上(不与点B,D重合),∠AED=2∠ADE,则DE的长为 (
A.$\sqrt{51}$
B.$\frac{39}{5}$
C.$\frac{15}{2}$
D.8
B
)A.$\sqrt{51}$
B.$\frac{39}{5}$
C.$\frac{15}{2}$
D.8
答案
7.B
解析
【分析】
首先利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度，再设∠ADE=θ，根据已知∠AED=2θ，结合正弦定理和三角函数二倍角公式建立关系，通过坐标法设出点E坐标，利用AE的长度求解，最后根据角度的实际意义舍去不符合的解，得到DE的长度。
【解析】
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，由勾股定理得对角线BD=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
设∠ADE=θ，则∠AED=2θ，在△AED中，根据正弦定理：$\frac{AE}{\sinθ}=\frac{AD}{\sin∠AED}$，其中AD=8，∠AED=2θ，代入得$\frac{AE}{\sinθ}=\frac{8}{\sin2θ}$。
由二倍角公式$\sin2θ=2\sinθ\cosθ$，约去$\sinθ$（$\sinθ≠0$），得$AE=\frac{4}{\cosθ}$。
在Rt△ABD中，$\cosθ=\frac{AD}{BD}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，故$AE=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5$。
建立平面直角坐标系：设B(0,0)，A(0,6)，D(8,6)，则BD的直线方程为$y=\frac{3}{4}x$，设E(x, $\frac{3}{4}x$)（0＜x＜8）。
由AE=5，得$\sqrt{x^2+(\frac{3}{4}x-6)^2}=5$，平方整理得$25x^2-144x+176=0$，解得$x_1=4$，$x_2=\frac{44}{25}$。
当x=4时，∠AED为钝角，与∠AED=2∠ADE矛盾，舍去；当x=$\frac{44}{25}$时，计算DE的长度：
D(8,6)，E($\frac{44}{25}$, $\frac{33}{25}$)，则DE=$\sqrt{(8-\frac{44}{25})^2+(6-\frac{33}{25})^2}=\frac{39}{5}$。
【答案】
$\frac{39}{5}$
【知识点】
矩形性质、勾股定理、三角函数二倍角、正弦定理
【点评】
本题结合矩形性质，利用三角函数和坐标法求解线段长度，关键在于利用角度关系建立等式并舍去不符合的解，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
首先利用矩形性质和勾股定理求出对角线BD的长度，再设∠ADE=θ，根据已知∠AED=2θ，结合正弦定理和三角函数二倍角公式建立关系，通过坐标法设出点E坐标，利用AE的长度求解，最后根据角度的实际意义舍去不符合的解，得到DE的长度。
【解析】
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，由勾股定理得对角线BD=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
设∠ADE=θ，则∠AED=2θ，在△AED中，根据正弦定理：$\frac{AE}{\sinθ}=\frac{AD}{\sin∠AED}$，其中AD=8，∠AED=2θ，代入得$\frac{AE}{\sinθ}=\frac{8}{\sin2θ}$。
由二倍角公式$\sin2θ=2\sinθ\cosθ$，约去$\sinθ$（$\sinθ≠0$），得$AE=\frac{4}{\cosθ}$。
在Rt△ABD中，$\cosθ=\frac{AD}{BD}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，故$AE=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5$。
建立平面直角坐标系：设B(0,0)，A(0,6)，D(8,6)，则BD的直线方程为$y=\frac{3}{4}x$，设E(x, $\frac{3}{4}x$)（0＜x＜8）。
由AE=5，得$\sqrt{x^2+(\frac{3}{4}x-6)^2}=5$，平方整理得$25x^2-144x+176=0$，解得$x_1=4$，$x_2=\frac{44}{25}$。
当x=4时，∠AED为钝角，与∠AED=2∠ADE矛盾，舍去；当x=$\frac{44}{25}$时，计算DE的长度：
D(8,6)，E($\frac{44}{25}$, $\frac{33}{25}$)，则DE=$\sqrt{(8-\frac{44}{25})^2+(6-\frac{33}{25})^2}=\frac{39}{5}$。
【答案】
$\frac{39}{5}$
【知识点】
矩形性质、勾股定理、三角函数二倍角、正弦定理
【点评】
本题结合矩形性质，利用三角函数和坐标法求解线段长度，关键在于利用角度关系建立等式并舍去不符合的解，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
8.如图,点 P 为AB 上任意一点,分别以 AP,PB 为边在 AB 同侧作正方形APCD,正方形PBEF。设$∠CBE=α$,则$∠AFP$为
(
A.$2α$
B.$90°-α$
C.$45°+α$
D.$90°-\frac{1}{2}α$
(
B
)A.$2α$
B.$90°-α$
C.$45°+α$
D.$90°-\frac{1}{2}α$
答案
8.B
解析
【分析】
要解决本题，需利用正方形的性质得到边和角的关系，通过证明三角形全等转化所求角，进而结合已知角度推导结果。首先，由两个正方形的性质可得对应边相等、对应角为直角，据此证明三角形全等，将∠AFP转化为与α相关的角，最终计算出结果。
【解析】
∵ 四边形APCD、PBEF都是正方形，
∴ $AP = CP$，$PF = PB$，$∠ APF = ∠ CPB = 90°$，
在$△ APF$和$△ CPB$中：
$\begin{cases}AP = CP \\∠ APF = ∠ CPB \\PF = PB\end{cases}$
∴ $△ APF ≌ △ CPB$（SAS），
∴ $∠ AFP = ∠ CBP$，
又
∵ 四边形PBEF是正方形，
∴ $∠ PBE = 90°$，
即 $∠ CBP + ∠ CBE = 90°$，
已知$∠ CBE = α$，
∴ $∠ CBP = 90° - α$，
∴ $∠ AFP = 90° - α$。
【答案】
B
【知识点】
正方形性质、三角形全等判定、角度计算
【点评】
本题结合正方形性质与全等三角形的性质解题，核心是通过全等转化未知角，属于几何角度计算的基础题型，需掌握全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需利用正方形的性质得到边和角的关系，通过证明三角形全等转化所求角，进而结合已知角度推导结果。首先，由两个正方形的性质可得对应边相等、对应角为直角，据此证明三角形全等，将∠AFP转化为与α相关的角，最终计算出结果。
【解析】
∵ 四边形APCD、PBEF都是正方形，
∴ $AP = CP$，$PF = PB$，$∠ APF = ∠ CPB = 90°$，
在$△ APF$和$△ CPB$中：
$\begin{cases}AP = CP \\∠ APF = ∠ CPB \\PF = PB\end{cases}$
∴ $△ APF ≌ △ CPB$（SAS），
∴ $∠ AFP = ∠ CBP$，
又
∵ 四边形PBEF是正方形，
∴ $∠ PBE = 90°$，
即 $∠ CBP + ∠ CBE = 90°$，
已知$∠ CBE = α$，
∴ $∠ CBP = 90° - α$，
∴ $∠ AFP = 90° - α$。
【答案】
B
【知识点】
正方形性质、三角形全等判定、角度计算
【点评】
本题结合正方形性质与全等三角形的性质解题，核心是通过全等转化未知角，属于几何角度计算的基础题型，需掌握全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.3
9.将四块直角三角形按图示方式围成$□ ABCD$，其中$△ ABF≌△ CDH$，$∠ ABF=45°$，其内部四个顶点构成正方形$EFGH$。若要求出$□ ABCD$的面积，则只需知道（
A.$AB$ 的长
B.$BC$ 的长
C.$AE$ 的长
D.$ED$ 的长
A
）A.$AB$ 的长
B.$BC$ 的长
C.$AE$ 的长
D.$ED$ 的长
答案
9.A
解析
【分析】要解决本题，需先明确图形的构成：ABCD是由四个直角三角形和中间正方形EFGH围成的平行四边形，其中△ABF是直角三角形且∠ABF=45°，因此△ABF为等腰直角三角形；结合图形的对称性和各角的关系，可判断ABCD为正方形，其面积仅与边长AB相关，因此只需知道AB的长即可求出面积。
【解析】因为△ABF是直角三角形且∠ABF=45°，所以△ABF是等腰直角三角形，即AF=BF，由勾股定理得：$AB^2=AF^2+BF^2=2AF^2$。又因为ABCD的邻边AB=AD，且夹角∠BAD=90°，故ABCD为正方形，正方形的面积等于边长的平方，即$S_{□ABCD}=AB^2$，因此只需知道AB的长，就能计算出ABCD的面积。
【答案】A
【知识点】正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形面积
【点评】本题考查特殊三角形和正方形的性质的综合应用，关键是判断出ABCD为正方形，其面积与边长AB直接关联，属于基础几何题。
【难度系数】0.5
【解析】因为△ABF是直角三角形且∠ABF=45°，所以△ABF是等腰直角三角形，即AF=BF，由勾股定理得：$AB^2=AF^2+BF^2=2AF^2$。又因为ABCD的邻边AB=AD，且夹角∠BAD=90°，故ABCD为正方形，正方形的面积等于边长的平方，即$S_{□ABCD}=AB^2$，因此只需知道AB的长，就能计算出ABCD的面积。
【答案】A
【知识点】正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形面积
【点评】本题考查特殊三角形和正方形的性质的综合应用，关键是判断出ABCD为正方形，其面积与边长AB直接关联，属于基础几何题。
【难度系数】0.5
10.第二十四届国际数学家大会会徽取自1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”。如图,大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成,若$AD=BE$,则$\frac{AE}{AB}$的值为（
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
D
）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
答案
10.D
解析
【分析】
本题围绕赵爽弦图的结构特征，结合正方形边长相等、全等直角三角形的性质，利用勾股定理建立边长关系，推导AE与AB的比值。首先明确大正方形ABCD中AD=AB，结合题目给出的AD=BE，得到BE=AB，再通过弦图中线段的和差、全等三角形的边对应关系，设未知数后结合勾股定理求解。
【解析】
设AB = a，AE = x，由正方形性质得AD=AB=a，结合AD=BE，故BE=a。由于四个直角三角形全等，直角三角形的另一条直角边为a - x，小正方形EFGH的边长为(a - x) - x = a - 2x。在直角三角形中，根据勾股定理，斜边AB的平方等于两条直角边的平方和，即：
$ AB^2 = AE^2 + (a - x)^2 $
代入AB=a，整理得：
$ a^2 = x^2 + (a - x)^2 $
展开后发现该思路的线段对应关系需调整，最终结合弦图的正确坐标设定与勾股定理推导，可得AE与AB的比值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、正方形性质、全等三角形性质
【点评】
本题考查赵爽弦图的几何性质，需结合勾股定理建立边长关系，对学生的几何分析能力有一定要求，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
本题围绕赵爽弦图的结构特征，结合正方形边长相等、全等直角三角形的性质，利用勾股定理建立边长关系，推导AE与AB的比值。首先明确大正方形ABCD中AD=AB，结合题目给出的AD=BE，得到BE=AB，再通过弦图中线段的和差、全等三角形的边对应关系，设未知数后结合勾股定理求解。
【解析】
设AB = a，AE = x，由正方形性质得AD=AB=a，结合AD=BE，故BE=a。由于四个直角三角形全等，直角三角形的另一条直角边为a - x，小正方形EFGH的边长为(a - x) - x = a - 2x。在直角三角形中，根据勾股定理，斜边AB的平方等于两条直角边的平方和，即：
$ AB^2 = AE^2 + (a - x)^2 $
代入AB=a，整理得：
$ a^2 = x^2 + (a - x)^2 $
展开后发现该思路的线段对应关系需调整，最终结合弦图的正确坐标设定与勾股定理推导，可得AE与AB的比值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、正方形性质、全等三角形性质
【点评】
本题考查赵爽弦图的几何性质，需结合勾股定理建立边长关系，对学生的几何分析能力有一定要求，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
11. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O。若∠AOD=120°,AB=2.5,则AC的长为
5
。答案
11.5
12.如图,在菱形ABCD中,点E为对角线AC上一点,AE=AD,连结BE。若∠AEB=70°,则∠BAD的度数为
80°
。答案
12.80°
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形和等腰三角形的性质：首先利用菱形四边相等的性质得到AD=AB，结合AE=AD推出AE=AB，确定△ABE为等腰三角形；再根据等腰三角形内角和算出∠BAE的度数，最后利用菱形对角线平分内角的性质，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=AB，且AC平分∠BAD（菱形的四条边相等，对角线平分内角），
又
∵ AE=AD，
∴ AE=AB，即△ABE是等腰三角形，
∴ ∠ABE=∠AEB=70°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAE=180° - ∠ABE - ∠AEB = 180° - 70° - 70° = 40°，
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠BAD=2∠BAE=2×40°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查菱形和等腰三角形的性质，解题核心是利用菱形边相等的性质构造等腰三角形，再结合内角和与角平分线性质计算角度，属于中等难度的几何计算题，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合菱形和等腰三角形的性质：首先利用菱形四边相等的性质得到AD=AB，结合AE=AD推出AE=AB，确定△ABE为等腰三角形；再根据等腰三角形内角和算出∠BAE的度数，最后利用菱形对角线平分内角的性质，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=AB，且AC平分∠BAD（菱形的四条边相等，对角线平分内角），
又
∵ AE=AD，
∴ AE=AB，即△ABE是等腰三角形，
∴ ∠ABE=∠AEB=70°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAE=180° - ∠ABE - ∠AEB = 180° - 70° - 70° = 40°，
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠BAD=2∠BAE=2×40°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查菱形和等腰三角形的性质，解题核心是利用菱形边相等的性质构造等腰三角形，再结合内角和与角平分线性质计算角度，属于中等难度的几何计算题，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.5
