18.(8分)如图,在$□ ABCD$中,$CA=CD$,E是AD的中点,连结CE并延长,交BA的延长线于点F,连结DF。
(1)求证:四边形AFDC是菱形;
(2)若$BC=8$,$AB=5$,求四边形DFBC的面积。

18.(1)因为AC=CD,E是AD的中点,所以∠ACE=∠DCE。因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB//CD,即AF//CD,所以∠DCF=∠AFC,所以∠ACE=∠AFE,所以AC=AF,所以AF=CD,所以四边形AFDC是平行四边形。因为AC=CD,所以四边形AFDC是菱形；
(2)因为四边形ABCD是平行四边形,所以CD=AB=5,AD=BC=8。因为四边形AFDC是菱形,所以CF⊥AD。所以$DE=\frac{1}{2}AD=4$,所以$CE=\sqrt{CD^2-DE^2}=3$,所以CF=2CE=6,所以$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AD·CE=\frac{1}{2}×8×3=12$,所以四边形DFBC的面积=$3×S_{△ACD}=36$。

【分析】
第(1)问要证明四边形AFDC是菱形，先利用平行四边形ABCD的对边平行性质得到AF//CD，结合E是AD中点、CA=CD的条件，通过角的关系或全等三角形证明AF=CD，进而得到AFDC是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形完成证明；第(2)问先利用平行四边形对边相等得到边长，再结合菱形对角线垂直的性质，用勾股定理求出高，最后通过三角形面积关系计算四边形DFBC的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，即AF//CD，
∴ ∠DCF = ∠AFC。
∵ E是AD的中点，CA=CD，
∴ CE平分∠ACD，即∠ACE=∠DCE。
又
∵ ∠DCF=∠AFC，
∴ ∠ACE=∠AFE，
∴ AC=AF。
∵ AC=CD，
∴ AF=CD，
又
∵ AF//CD，
∴ 四边形AFDC是平行四边形。
∵ AC=CD，
∴ 平行四边形AFDC是菱形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB=5，AD=BC=8。
∵ 四边形AFDC是菱形，
∴ CF⊥AD，E为AD中点，
∴ DE=1/2 AD=4。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CE=√(CD² - DE²)=√(5² - 4²)=3，
∴ CF=2CE=6。
∵ S△ACD=1/2 × AD × CE=1/2×8×3=12，
∴ 四边形DFBC的面积=3S△ACD=3×12=36。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 36
【知识点】
平行四边形性质、菱形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的性质与判定，解题时需熟练运用相关定理，结合图形特征进行推理计算，第(2)问需利用菱形对角线垂直的性质求高，进而计算面积，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5

19.(8分)如图,在菱形ABCD中,过顶点D作$DE⊥AB,DF⊥BC$,垂足分别为E,F,连结EF。
(1)求证:$△ DEF$为等腰三角形;
(2)若$∠DEF=66°$,求$∠A$的度数。

19.(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AD=CD,∠A=∠C。因为DE⊥BA,DF⊥CB,所以∠AED=∠CFD=90°。在$△ ADE$和$△ CDF$中,$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠A=∠C, \\ ∠AED=∠CFD=90°, \end{cases}$所以$△ ADE ≌ △ CDF$(AAS),所以DE=DF,所以$△ DEF$是等腰三角形；
(2)48°。

【分析】
第(1)问要证明△DEF为等腰三角形，需证明其两条边相等，即DE=DF。结合菱形的性质，菱形的对边相等、对角相等，可得AD=CD，∠A=∠C，再利用DE⊥AB、DF⊥BC得到两个直角，通过AAS证明△ADE≌△CDF，即可推出DE=DF，从而得证；第(2)问已知∠DEF=66°，由(1)中DE=DF可知△DEF是等腰三角形，先求出∠EDF的度数，再结合四边形内角和与菱形邻角互补的性质，计算出∠A的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD=CD，∠A=∠C。
∵ DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ ∠AED=∠CFD=90°。
在△ADE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠AED=∠CFD, \\∠A=∠C, \\AD=CD,\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CDF（AAS），
∴ DE=DF，
∴ △DEF为等腰三角形。
(2) 解：
由(1)知DE=DF，
∴ △DEF是等腰三角形，
∴ ∠DFE=∠DEF=66°，
∴ ∠EDF=180° - ∠DEF - ∠DFE = 180° - 66°×2 = 48°。
∵ DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ ∠DEB=∠DFB=90°，
在四边形DEBF中，∠B + ∠DEB + ∠EDF + ∠DFB = 360°，
∴ ∠B = 360° - 90° - 90° - 48° = 132°。
又
∵ 菱形ABCD中，∠A + ∠B = 180°（菱形邻角互补），
∴ ∠A = 180° - 132° = 48°。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 48°
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查菱形、全等三角形与等腰三角形的相关性质，需熟练运用几何定理进行推导，逻辑要求清晰，是中等难度的几何证明与计算题。
【难度系数】
0.5

20.(8分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,E$分别是$AB,BC$的中点。延长$ED$至点$F$,使得$DF=ED$,连结$AE,AF,BF$。
(1)求证:四边形$AEBF$是矩形。
(2)若$AB$平分$∠ FAC$,$AF=1$,求四边形$ACEF$的面积。

20.(1)证明:因为点D是AB的中点,所以AD=BD。因为DF=ED,所以四边形AEBF是平行四边形。因为AB=AC,点E是BC的中点,所以AE⊥BC,所以∠AEB=90°,所以平行四边形AEBF是矩形；
(2)因为点D,E分别是AB,BC的中点,所以DE是$△ ABC$的中位线,所以$DE// AC$,$DE=\frac{1}{2}AC$。由(1)可知,四边形AEBF是矩形,所以$AF// BE$,所以四边形ACEF是平行四边形,∠BAF=∠ABC,所以CE=AF=1,所以BC=2CE=2。因为AB平分∠FAC,所以∠BAF=∠BAC,所以∠ABC=∠BAC,所以AC=BC=2。由(1)可知,AE⊥BC,所以∠AEC=90°,所以$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,所以平行四边形ACEF的面积=$CE·AE=1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。

【分析】
本题分为两小问，(1)需先利用对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再结合等腰三角形三线合一的性质证明有一个直角，从而判定为矩形；(2)需结合三角形中位线定理、角平分线性质、等腰三角形性质求出相关线段长度，进而计算平行四边形的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 点D是AB的中点，
∴ AD=BD，
又
∵ DF=ED，
∴ 四边形AEBF的对角线互相平分，
∴ 四边形AEBF是平行四边形。
∵ AB=AC，点E是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，
∴ ∠AEB=90°，
∴ 平行四边形AEBF是矩形。
(2) 解：
∵ 点D、E分别是AB、BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//AC，DE=½AC，
由(1)知四边形AEBF是矩形，
∴ AF//BE，
又
∵ BE与CE共线，
∴ AF//CE，
∴ 四边形ACEF是平行四边形，
∴ CE=AF=1，故BC=2CE=2。
∵ AB平分∠FAC，
∴ ∠BAF=∠BAC，
又
∵ 矩形AEBF中AF//BE，
∴ ∠BAF=∠ABC，
∴ ∠ABC=∠BAC，
∴ AC=BC=2。
由(1)知AE⊥BC，
∴ ∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，AE=√(AC² - CE²)=√(2² - 1²)=√3，
∴ 平行四边形ACEF的面积=CE·AE=1×√3=√3。
【答案】
√3
【知识点】
矩形的判定、等腰三角形性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是几何综合题，综合考查了矩形的判定、等腰三角形性质、三角形中位线定理及平行四边形面积计算，解题时需逐步推导线段和角的关系，逻辑要求较高，是典型的几何中档题型。
【难度系数】
0.6