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1. （2025·连云港期中）甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示：
(1)某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台.
①请分别求在两家商场购买电暖气所需要的总费用，结果用含x的代数式表示(总费用=购买价+运费).
②若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？请说明理由.
(2)若需要在两家商场中购买A型电暖气40台，B型电暖气60台，还有更优惠的方案吗？请你为该公司设计一种方案.
(1)某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台.
①请分别求在两家商场购买电暖气所需要的总费用，结果用含x的代数式表示(总费用=购买价+运费).
②若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？请说明理由.
(2)若需要在两家商场中购买A型电暖气40台，B型电暖气60台，还有更优惠的方案吗？请你为该公司设计一种方案.
答案
①根据题意,A型电暖气需要买x台,则B型电暖气需要买(100-x)台,在甲商场购买电暖气所需要的总费用为200x + 300(100 - x) + 10x + 10(100 - x) = (- 100x + 31 000)元;在乙商场购买电暖气所需要的总费用为220x+290(100-x)+12(100-x)= (-82x+30 200)元.
②在乙商场购买划算,理由:当x=40时,在甲商场购买电暖气所需要的总费用为-100x+ 31 000 = - 100 × 40 + 31 000=27 000(元),在乙商场购买电暖气所需要的总费用为-82x+ 30 200 = - 82 × 40 + 30 200 = 26 920(元),因为27 000＞26 920,所以购买A型电暖气40台,在乙商场购买划算.
(2)根据表格数据,甲商场中的A型电暖气费用低,乙商场中的B型电暖气费用低,则同时在两家商场自由选择的较低费用为(200+10)×40+(290+12)×60=26 520(元).若可以同时在两家商场自由选择,还有更优惠的方案为:在甲商场中购买40台A型电暖气,在乙商场中购买60台B型电暖气.
②在乙商场购买划算,理由:当x=40时,在甲商场购买电暖气所需要的总费用为-100x+ 31 000 = - 100 × 40 + 31 000=27 000(元),在乙商场购买电暖气所需要的总费用为-82x+ 30 200 = - 82 × 40 + 30 200 = 26 920(元),因为27 000＞26 920,所以购买A型电暖气40台,在乙商场购买划算.
(2)根据表格数据,甲商场中的A型电暖气费用低,乙商场中的B型电暖气费用低,则同时在两家商场自由选择的较低费用为(200+10)×40+(290+12)×60=26 520(元).若可以同时在两家商场自由选择,还有更优惠的方案为:在甲商场中购买40台A型电暖气,在乙商场中购买60台B型电暖气.
2. （2025·靖江期中）【问题背景】如图①,有一长$BC=15$,宽$AB=10$的长方形电脑屏幕,动点$P$以每秒2个单位长度从$A$向$B$运动,同时点$Q$以每秒$a(0＜a＜5)$个单位长度从$B$向$C$运动,设点$P$的运动时间为$t$秒,连接$DP,DQ$.
【初步探究】(1)当$t=\frac{3}{2},a=4$时,求四边形$DPBQ$的面积；
(2)当$a$为何值时,四边形$DPBQ$的面积与$t$的取值无关；
【拓展提升】(3)如图②,若点$P$每运动1秒,电脑屏幕的$M$区显示的结果就会自动加上2,同时$N$区的结果会自动将整个代数式乘2,且均显示化简后的结果.已知$M,N$两区初始显示的分别是$x^2-2x$和$\frac{5}{24}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{7}{8}$,若$t=3$,试比较$M$区、$N$区显示的结果哪个大,并说明理由.
【初步探究】(1)当$t=\frac{3}{2},a=4$时,求四边形$DPBQ$的面积；
(2)当$a$为何值时,四边形$DPBQ$的面积与$t$的取值无关；
【拓展提升】(3)如图②,若点$P$每运动1秒,电脑屏幕的$M$区显示的结果就会自动加上2,同时$N$区的结果会自动将整个代数式乘2,且均显示化简后的结果.已知$M,N$两区初始显示的分别是$x^2-2x$和$\frac{5}{24}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{7}{8}$,若$t=3$,试比较$M$区、$N$区显示的结果哪个大,并说明理由.
答案
(1)当$t=\frac{3}{2},a=4$时,$AP=2×\frac{3}{2}=3$,$BQ=4×\frac{3}{2}=6$,所以$CQ=BC-BQ=9$,所以$S_{四边形DPBQ}=S_{长方形ABCD}-S_{△ ADP}-S_{△ CDQ}=15×10-\frac{1}{2}×3×15-\frac{1}{2}×9×10=82.5$.
(2)由题意得,$AP=2t$,$BQ=at$,所以$CQ=BC-BQ=15-at$,所以$S_{四边形DPBQ}=S_{长方形ABCD}-S_{△ ADP}-S_{△ CDQ}=15×10-\frac{1}{2}×15·2t-\frac{1}{2}×10·(15-at)=150-15t-75+5at=(5a-15)t+75$.因为四边形$DPBQ$的面积与$t$的取值无关,所以$5a-15=0$,所以$a=3$.
(3)$N$区显示的结果大,理由:由题意得,当$t=3$时,$M=x^2-2x+3×2=x^2-2x+6$,$N=2×2×2(\frac{5}{24}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{7}{8})=\frac{5}{3}x^2-2x+7$,所以$M-N=x^2-2x+6-(\frac{5}{3}x^2-2x+7)=x^2-2x+6-\frac{5}{3}x^2+2x-7=-\frac{2}{3}x^2-1$.因为$x^2≥0$,所以$-\frac{2}{3}x^2≤0$,所以$-\frac{2}{3}x^2-1≤-1$,所以$M-N＜0$,即$M＜N$,所以$N$区显示的结果大.
(2)由题意得,$AP=2t$,$BQ=at$,所以$CQ=BC-BQ=15-at$,所以$S_{四边形DPBQ}=S_{长方形ABCD}-S_{△ ADP}-S_{△ CDQ}=15×10-\frac{1}{2}×15·2t-\frac{1}{2}×10·(15-at)=150-15t-75+5at=(5a-15)t+75$.因为四边形$DPBQ$的面积与$t$的取值无关,所以$5a-15=0$,所以$a=3$.
(3)$N$区显示的结果大,理由:由题意得,当$t=3$时,$M=x^2-2x+3×2=x^2-2x+6$,$N=2×2×2(\frac{5}{24}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{7}{8})=\frac{5}{3}x^2-2x+7$,所以$M-N=x^2-2x+6-(\frac{5}{3}x^2-2x+7)=x^2-2x+6-\frac{5}{3}x^2+2x-7=-\frac{2}{3}x^2-1$.因为$x^2≥0$,所以$-\frac{2}{3}x^2≤0$,所以$-\frac{2}{3}x^2-1≤-1$,所以$M-N＜0$,即$M＜N$,所以$N$区显示的结果大.
