3. （2025·泰州期中）为了书写简便，数学家欧拉引进了求和符号“$\sum$”（西格玛）。
如记$\sum\limits_{k=1}^{5}k=1+2+3+4+5$；$\sum\limits_{k=4}^{9}k=4+5+6+7+8+9$；$\sum\limits_{k=1}^{n}k=1+2+3+··· +(n-1)+n$；$\sum\limits_{k=5}^{n}(x+k)=(x+3)+(x+4)+··· +(x+n)$。
(1)求$\sum\limits_{k=1}^{10}k$的值；
(2)求$\sum\limits_{k=3}^{8}(3x+k)$与$\sum\limits_{k=2}^{7}(2x+k)$的差；
(3)若对于任意$x$都存在$\sum\limits_{k=2}^{n}[x^2+k(x-a)]=4x^2 -bx+20$，请分别求出$a,b$的值。

(1) $\sum\limits_{k=1}^{10}k=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55$.
(2) $\sum\limits_{k=3}^{8}(3x+k)=(3x+3)+(3x+4)+(3x+5)+(3x+6)+(3x+7)+(3x+8)=18x+33$,$\sum\limits_{k=2}^{7}(2x+k)=(2x+2)+(2x+3)+(2x+4)+(2x+5)+(2x+6)+(2x+7)=12x+27$,$\sum\limits_{k=3}^{8}(3x+k)-\sum\limits_{k=2}^{7}(2x+k)=(18x+33)-(12x+27)=6x+6$.
(3) $\sum\limits_{k=2}^{n}[x^2+k(x-a)]=[x^2+2(x-a)]+[x^2+3(x-a)]+\dots+[x^2+n(x-a)]=(n-1)x^2+(2+3+\dots+n)x-(2a+3a+\dots+na)=4x^2-bx+20$,所以$n-1=4$,$n=5$,$b=-(2+3+4+5)=-14$,且$-(2a+3a+4a+5a)=-14a=20$,$a=-\frac{10}{7}$.

4. （2025·淮安期中）将$n$个0或1排列在一起组成一个数组，记为$A=(t_1,t_2,···,t_n)$，其中$t_1,t_2,···,t_n$都取0或1，称$A$是一个$n$元完美数组（$n≥2$且$n$为整数）。
例如：$(0,1),(1,1)$都是2元完美数组，$(0,0,1,1),(1,0,0,1)$都是4元完美数组，但$(3,2)$不是任何完美数组。定义以下两个新运算：
新运算1：对于$x$和$y$，$x*y=(x+y)-|x-y|$，
新运算2：对于任意两个$n$元完美数组$M=(x_1,x_2,···,x_n)$和$N=(y_1,y_2,···,y_n)$，$M\otimes N=\frac{1}{2}(x_1*y_1+x_2*y_2+···+x_n*y_n)$。
例如：对于3元完美数组$M=(1,1,1)$和$N(0,0,1)$，有$M\otimes N=\frac{1}{2}×(0+0+2)=1$。
(1)在$(0,0,0),(2,0,1),(1,1,1,1)$中，是3元完美数组的为________；
(2)设$A=(1,0,1),B=(1,1,1)$，则$A\otimes B=\_\_\_\_\_\_$；
(3)已知完美数组$M=(1,1,1,1)$，求出所有4元完美数组$N$，使得$M\otimes N=3$；
(4)对于$m$个不同的2024元完美数组中任意两个完美数组$P,Q$，都有$P\otimes Q=0$，则$m$的最大值为________。

(1) (0,0,0) 【解析】在(0,0,0),(2,0,1),(1,1,1,1)中,(2,0,1)不是完美数组,(1,1,1,1)是4元完美数组。
(2) 2 【解析】A=(1,0,1),B=(1,1,1),$A\otimes B=\frac{1}{2}(1 * 1+0 * 1+1 * 1)=\frac{1}{2}×(2+0+2)=2$.
(3) $x * y = (x+y)-|x-y|$,当$x=y=1$时,$x * y=2$,当$x=y=0$时,$x * y=0$,当$x=0,y=1$或$x=1,y=0$时,$x * y=0$,综上,只有当$x=y=1$时,$x * y=2$,其他情况下$x * y=0$。因为$M\otimes N=3$,所以$x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 + x_4 * y_4 = 6$,又已知$M=(1,1,1,1)$,所以$N=(1,1,0,1)$或$(1,0,1,1)$或$(0,1,1,1)$或$(1,1,1,0)$。
(4) 2025 【解析】由$P\otimes Q=0$和(3)中结论可知,P,Q中对应位置的元不能同时为1,又因为每个数组有2024个元,1可以出现在2024个位置,或者全部为0,所以m的最大值为2025。