【典例1】已知$PC=AC=BC$.如图，$∠ ACB=60°$,点$P$在$∠ ACB$内，求$∠ APB$的度数.

解:设$∠ CAP=∠ CPA=α$,
$∠ CPB=∠ CBP=β$,
$2α+2β+60°=360°$,
$\thereforeα+β=150°$,
$\therefore∠ APB=150°$.

变式.已知 $PC=AC=BC$.如图，$∠ ACB=60°$,点 $P$ 在 $AC$ 下方时，求 $∠ APB$ 的度数.

解:设$∠ ACP=α$,
$\because AC=CP$,
$\therefore∠ CPA=\dfrac{180°-α}{2}$,
又$\because CB=CP$,
$\therefore∠ CPB=\dfrac{180°-(60°+α)}{2}$,
$\therefore∠ APB=30°$.

【典例2】已知$PC=AC=BC$.如图，$∠ ACB=90°$，点$P$在$∠ ACB$内，求$∠ APB$的度数.

解:设$∠ A=α,∠ B=β$,
$\therefore 2β+2α+90°=360°$,
$\thereforeα+β=135°$,
$\therefore∠ APB=135°$.

变式.已知 $PC=AC=BC$.如图，$∠ ACB=90°$,点 $P$ 在 $AC$ 下方，求 $∠ APB$ 的度数.

解:设$∠ ACP=α$,
$\because CB=CP$,
$\therefore∠ BPC=\dfrac{180°-(90°+α)}{2}=45°-\dfrac{α}{2}$,
又$\because CA=CP$,
$\therefore∠ CPA=\dfrac{180°-α}{2}$,
$\therefore∠ APB=45°$.

【典例3】已知$OA=OB=OC$.如图，若$∠ ACB=20°$，求$∠ AOB$的度数.
变式.如图，已知$OA=OB=OC$，若$∠ BOC=α$，用含$α$的代数式表示$∠ BAC$的大小.

【典例3】解:设$∠ ACO=α$,
$\because OA=OC$,
$\therefore∠ AOC=180°-2α$.
又$\because OB=OC$,
$\therefore∠ BOC=180°-2(α+20°)$,
$\therefore∠ AOB=180°-2α-[180°-2(α+20°)]=40°$.
变式.解:设$∠ AOB=β$,
$\because OA=OC$,
$\therefore∠ OAC=\dfrac{180°-(α+β)}{2}$.
又$\because OA=OB⇒∠ OAB=\dfrac{180°-β}{2}$,
$\therefore∠ BAC=\dfrac{180°-β}{2}-\dfrac{180°-(α+β)}{2}=\dfrac{α}{2}$.