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【典例1】已知一张$△ ABC$的纸片(如图1)，其中$AB＝AC$.将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD.再将纸片沿过点E的直线折叠，使点A恰好与点D重合，折痕为EF.原$△ ABC$的纸片中，$∠ A$的度数为
36°
.答案
36°
提示:AE=DE=CD,设∠A=α,
∴∠ADE=α,∠C=2α,
∴α+2α+2α=180°,α=36°.
提示:AE=DE=CD,设∠A=α,
∴∠ADE=α,∠C=2α,
∴α+2α+2α=180°,α=36°.
变式.如图2,在$△ ABC$中,$AB=AC$,将图形沿着$BD$折叠,点$C$落在$AC$上的点$F$处,再将图形沿$FE$折叠,点$A$正好落在$AB$的点$G$处,此时$GB=GF$,则$∠ BAC$的度数为
45°
.答案
45°
提示:设∠GBF=α,则∠AGF=∠A=2α,∠C=3α,
∴3α+3α+2α=180°,α=22.5°,
∴∠A=45°.
提示:设∠GBF=α,则∠AGF=∠A=2α,∠C=3α,
∴3α+3α+2α=180°,α=22.5°,
∴∠A=45°.
【典例2】如图3，某同学用直尺与圆规用此方法作∠AOB的平分线，试说明理由。
答案
解:
∵∠ACP=∠AOB,
∴CP//OB,
∴∠CPO=∠POB,又
∵OC=CP,
∴∠COP=∠CPO,
∴∠AOP=∠BOP.
∵∠ACP=∠AOB,
∴CP//OB,
∴∠CPO=∠POB,又
∵OC=CP,
∴∠COP=∠CPO,
∴∠AOP=∠BOP.
变式1.如图4,以点A为圆心画弧,交直线l于B,C两点,再分别以A,B为圆心大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧交于M,N两点,直线MN交直线l于点D,若$∠ BAC=40°$,则$∠ CAD$的度数为(
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
C
)A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
1.C
提示:
∵AB=AC,
∴∠ABC=70°,
∴∠DAB=70°,
∴∠CAD=30°.
提示:
∵AB=AC,
∴∠ABC=70°,
∴∠DAB=70°,
∴∠CAD=30°.
变式2.(2026·沈阳)如图5,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以点A为圆心,任意长为半径作弧交AB,AC于点M,N,以点N为圆心,以MN长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP与BC交于点D,若$∠ ADB=39°$,则$∠ BAC=$
34°
.答案
2.34°
解:设∠BAC=α,∠ACB=α+39°,
在△ABC中,α+α+39°+α+39°=180°,α=34°.
解:设∠BAC=α,∠ACB=α+39°,
在△ABC中,α+α+39°+α+39°=180°,α=34°.
变式3.如图6，$AB// CD$，由如下尺规作图，则$∠ A$的度数为（
A.$4α - 180°$
B.$90° - \frac{1}{2}α$
C.$180° - 4α$
D.$2α$
A
）A.$4α - 180°$
B.$90° - \frac{1}{2}α$
C.$180° - 4α$
D.$2α$
答案
3.A
提示:
∵CD//AB,
∴∠GEB=α,
由作图知∠GEC=α,∠AEC=180°−2α,
∵AC=AE,
∴∠ACE=180°−2α,
∴∠A=4α−180°.
提示:
∵CD//AB,
∴∠GEB=α,
由作图知∠GEC=α,∠AEC=180°−2α,
∵AC=AE,
∴∠ACE=180°−2α,
∴∠A=4α−180°.
