20.(9分)如图7-3-10,已知AB // CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,FG平分∠DFE,EP平分∠BEF,FG与EP相交于点P,过点P作PM ⊥ CD,垂足为点M.
(1)补全图形(用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)当PE = 5,PF = 12时,求线段PM的长.

图7-3-10

20. 解:(1) 角平分线EP与垂线PM如图所示.
(2)
∵ EP平分$∠BEF$,FP平分$∠DFE$,
∴ $∠PEF = \frac{1}{2}∠BEF$, $∠PFE = \frac{1}{2}∠DFE$.
∵ $AB // CD$,
∴ $∠BEF + ∠DFE = 180°$.
∴ $∠PEF + ∠PFE = 90°$.
∴ $∠EPF = 90°$, 即$△PEF$为直角三角形.
∵ $PE = 5,PF = 12$,
∴ $EF = \sqrt{PE^2 + PF^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$.
过P作$PN ⊥ EF$,垂足为点N.
∵ FP平分$∠DFE$,$PM ⊥ CD$,垂足为点M,
∴ $PM = PN$.
由面积公式可得$\frac{1}{2}PE · PF = \frac{1}{2}EF · PN$.
∴ $PN = \frac{5 × 12}{13} = \frac{60}{13}$, 即PM的长为$\frac{60}{13}$.

21.(9分)我们利用数形结合的思想方法探索了整式乘法的一些运算法则和乘法公式.类似地,我们借助一个棱长为a的大正方体进行如下探索.
(1)在大正方体的一角切去一个棱长为b(b ＜ a)的小正方体,如图7-3-11所示,得到的几何体的体积为.

图7-3-11 图7-3-12
(2)将图7-3-11中的几何体分割成三个长方体①②③,如图7-3-12所示,
在长方体①中,AB = a,CD = b,BC = a - b,
长方体①的体积为ab(a - b).
类似地,可以得到长方体②的体积为,长方体③的体积为.
(结果不必化简)
(3)将表示长方体①②③的体积的三个代数式相加,并将得到的多项式分解因式:
.
(4)用不同的方法表示图7-3-11中几何体的体积,可以得到的等式为:
.
(5)若a - b = 2,ab = 1,求a³ - b³的值.

21. (1) $a^3 - b^3$.
(2) $b^2(a - b)$, $a^2(a - b)$.
(3) $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
(4) $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
(5)
∵ $a - b = 2,ab = 1$,
∴ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 4$.
∴ $a^2 + ab + b^2 = 7$.
∴ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 2 × 7 = 14$.