1.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$.若$AB=6$，则$BC$的长为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

1.C

【分析】
解题时首先观察图形，△ABC是直角三角形，已知一个锐角为30°、斜边AB的长度，要求BC的长，可调用含30°角的直角三角形的性质求解：首先确定30°角∠A所对的直角边是BC，斜边为AB，直接通过“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质计算即可。
【解析】
解：
∵在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
∴BC是30°角∠A对应的直角边，根据含30°角的直角三角形的性质可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$，
又
∵$AB=6$，
∴$BC=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
C
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查对基础几何性质的直接应用，解题关键是准确对应30°角、其对边和斜边的关系，牢记性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 新考向 情境题 如图，某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB，BC两段构成，若$∠ ACB=60°$，BC段的长度为8 cm，则点A，C之间的距离为 cm.

2.16

【分析】
首先根据AB水平、BC竖直的条件，可判断△ABC为直角三角形，∠B=90°；接下来结合已知∠ACB=60°，利用三角形内角和算出∠BAC=30°；最后回忆含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半，找到30°角对应的直角边BC，即可求出斜边AC的长度。
【解析】
解：
∵AB是水平方向，BC是竖直方向，
∴∠ABC=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-90°-60°=30°。
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，其中∠BAC对的直角边为BC=8cm，
∴$BC=\frac{1}{2}AC$，
∴$AC=2BC=2×8=16$（cm）。
【答案】
16
【知识点】
直角三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际情境考查特殊直角三角形性质的应用，解题关键是先从题干描述中得到直角，再利用角度关系和对应边的数量关系求解，难度较低，侧重基础知识的应用。
【难度系数】
0.8

3. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$.若$AB=10$，则$BC$的长为.

3.5

【分析】
解题可按两步思考：第一步，利用三角形内角和为180°，结合三个内角的比例关系，计算出各内角的度数，判断三角形的类型，确认是否存在特殊角；第二步，找到30°角对应的对边和直角三角形的斜边，运用含30°角的直角三角形的性质计算边长。
【解析】
设$∠ A=x$，则$∠ B=2x$，$∠ C=3x$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$x + 2x + 3x = 180°$
解得$x=30°$
因此$∠ A=30°$，$∠ C=3×30°=90°$，即$△ ABC$是直角三角形，斜边为$AB$（直角所对的边为斜边）。
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ A=30°$，它所对的直角边为$BC$，因此：
$BC=\frac{1}{2}AB$
代入$AB=10$，得$BC=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形内角和定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是特殊直角三角形性质的基础应用题型，核心是通过角度比例推导特殊角和三角形形状，再对应性质求解，侧重考查对基础定理的理解和简单应用能力。
【难度系数】
0.8

4. 新考向 开放性问题 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ B = 30°$，$AC = 3$，$P$是$BC$边上的动点，则$AP$的长可能是。

4.4(答案不唯一)

【分析】
解题时先利用含30°角的直角三角形的性质求出斜边AB的长度，再结合点P在BC上的位置特征，根据垂线段最短的原理确定AP的取值范围，最后在范围内任选一个数值即可。首先回忆直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，先算出AB=6，再分析AP的最值：最短为AC=3（P和C重合时），最长为AB=6（P和B重合时），因此只要填3到6之间的数都符合要求。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AB=2AC=2×3=6$。
∵点P是BC边上的动点，根据垂线段最短可知，AP的长度最小等于AC的长3（当P与C重合时取最小值），最大等于AB的长6（当P与B重合时取最大值），
∴AP的取值范围为$3≤AP≤6$，取该范围内任意一个数即可，例如4。
【答案】
4（答案不唯一，大于等于3且小于等于6的数均可）
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；垂线段最短
【点评】
本题为开放性试题，核心是结合几何性质确定未知线段的取值范围，再选取符合范围的数值作答，侧重对基础性质的理解和灵活运用，难度不大。
【难度系数】
0.7

5.[2025·南通中考]南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC.若$AC=4.8\ \mathrm{m}$，$∠ C=30°$，则EF的长为 m.

5.1.2

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先E是AC中点，可先求出EC的长度；再由EF垂直于BC可知△EFC是直角三角形，结合已知∠C=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出EF的长度，思路直接清晰。
【解析】
解：
∵E是AC的中点，AC=4.8 m
∴$EC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4.8=2.4\ \mathrm{m}$
∵EF⊥BC
∴∠EFC=90°，即△EFC是直角三角形
又
∵∠C=30°，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，EF为∠C对的直角边
∴$EF=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}×2.4=1.2\ \mathrm{m}$
【答案】
1.2
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、线段中点的定义
【点评】
本题结合建筑实际场景考查几何基础性质，属于基础题型，解题核心是准确找到30°角对应的直角三角形，明确边角关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8

6.[2026·合肥长丰县期末]如图，在△ABC中，∠A = ∠B = 30°，AC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE。若AE = 3，则BE = 。

6.6

【分析】
解题时先从已知条件“DE是AC的垂直平分线”入手，首先回忆线段垂直平分线的性质，得到CE与AE相等、∠ACE与∠A相等；再结合△ABC的两个内角都是30°，利用三角形内角和求出∠ACB的度数，进而推出∠BCE为直角，得到Rt△BCE；最后利用含30°角的直角三角形的性质，即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴CE = AE = 3，∠ACE = ∠A = 30°。
在△ABC中，∠A = ∠B = 30°，
∴∠ACB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 30° = 120°，
∴∠BCE = ∠ACB - ∠ACE = 120° - 30° = 90°，即△BCE是直角三角形。
又
∵∠B = 30°，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴BE = 2CE = 2×3 = 6。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握相关几何性质，逐步推导得到直角三角形后利用特殊角的性质求解，考查了学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

7.[2025·合肥肥西县期末]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=30°$,点$D$在$BC$上,$AD ⊥ AB$,求$\frac{CD}{BC}$的值.

7.解:
∵AB=AC,
∴∠C=∠B=30°.
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°.
∵AD⊥AB,
∴∠BAD=90°.
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°,
∴∠C=∠CAD.
∴AD=CD.
∵∠BAD=90°,∠B=30°,
∴BD=2AD,
∴BD=2CD,
∴BC=BD+CD=3CD.
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$.

【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形等边对等角的性质求出∠C和∠BAC的度数；再结合AD⊥AB的垂直条件，计算出∠CAD的度数，发现∠CAD=∠C，根据等角对等边得到AD=CD；接下来在Rt△BAD中，利用含30°角的直角三角形的性质得到BD和AD的数量关系，进而推出BD和CD的关系，最后结合BC=BD+CD即可求出比值。
【解析】
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠C=∠CAD，
∴AD=CD，
∵在Rt△BAD中，∠BAD=90°，∠B=30°，
∴BD=2AD，
∴BD=2CD，
∴BC=BD+CD=2CD+CD=3CD，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{CD}{3CD}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
等腰三角形性质；含30°角的直角三角形性质；等角对等边
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是通过角度推导得到线段之间的等量关系，需要熟练掌握等腰三角形和特殊直角三角形的相关性质，是单元测试和期末考的常考题型。
【难度系数】
0.7

8. 新考向 情境题 如图①是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图②，双翼边缘的端点A，B之间的水平距离为10 cm，双翼的边缘AC=BD=54 cm，且与闸机侧立面的夹角∠ACP=∠BDQ=30°.求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.

8.解:如图②,过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于点F.
在Rt△ACE中,
∵∠ACE=30°,
∴$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×54=27$(cm).
同理可得BF=27 cm.
又
∵点A,B之间的水平距离为10 cm,
∴点E,F之间的水平距离为27+10+27=64(cm).
答:当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为64 cm.

【分析】
要求可以通过闸机的物体的最大宽度，实际是求两个闸机侧立面之间的水平距离。我们可以将该距离拆分为AE、A和B的水平距离、BF三部分之和。首先通过作垂线构造含30°角的直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质分别求出AE、BF的长度，再加上A、B之间的水平距离，即可得到最终的最大宽度。
【解析】
如图②，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F。
在Rt△ACE中，
∵∠ACE=30°，
∴$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×54=27$(cm)。
同理可得BF=27 cm。
又
∵点A,B之间的水平距离为10 cm，
∴可以通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64(cm)。
【答案】
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为64 cm。

【知识点】
含30°角的直角三角形性质；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题以地铁站闸机为生活情境，将实际问题转化为几何计算问题，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，灵活运用含30°角的直角三角形的性质求解，体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8

9.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=8$.
若点$D$在直线$AB$上（不与点$A$，$B$重合），且$∠ BCD=30°$，则$AD$的长为________.

9.6或12

【分析】
首先从已知的$\mathrm{Rt}△ ABC$的角度和边长条件，先求出基础边长$BC$和$∠ B$的度数。由于点D在直线AB上（而非线段AB），因此需分两种情况讨论：①D在线段AB上；②D在AB的延长线上。再结合$∠ BCD=30°$的条件，分别利用直角三角形的角的关系、含30°角直角三角形的性质、等腰三角形的判定计算对应AD的长度即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=8$，
∴ $BC=\frac{1}{2}AB=4$，$∠ ABC=90°-∠ A=60°$。
分两种情况讨论：
1. 当点D在线段AB上时：
∵ $∠ BCD=30°$，$∠ ABC=60°$，
∴ $∠ BDC=180°-60°-30°=90°$，即$CD⊥ AB$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=30°$，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$，
∴ $AD=AB-BD=8-2=6$。
2. 当点D在AB的延长线上时：
$∠ CBD=180°-∠ ABC=180°-60°=120°$，
又
∵ $∠ BCD=30°$，
∴ $∠ BDC=180°-120°-30°=30°$，
∴ $∠ BCD=∠ BDC$，
∴ $BD=BC=4$，
∴ $AD=AB+BD=8+4=12$。
综上，AD的长为6或12。
【答案】
6或12
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；等腰三角形的判定；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“点D在直线AB上”的条件，仅考虑D在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意区分“直线”和“线段”的范围，结合几何性质分情况讨论求解。
【难度系数】
0.6