10. 在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=30°$，尺规作图痕迹如图所示.若$AB=15$，则点$D$到$AC$边的距离为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

10.C

【分析】
首先识别尺规作图的类型：图中痕迹是作∠ACB的角平分线，因此CD平分∠ACB。根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到AC的距离等于点D到BC的距离，即BD的长度。接下来先利用直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，得到角平分线分出的∠BCD的度数，再结合Rt△ABC的边长求出BC的长度，最后在Rt△BCD中利用特殊角的边长关系求出BD的长度即可。
【解析】
解：由尺规作图痕迹可知，CD是∠ACB的角平分线。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到AC边的距离等于点D到BC边的距离，即等于BD的长。
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=90°-∠A=60°，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°。
在Rt△ABC中，$\tan A=\frac{BC}{AB}$，已知AB=15，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$BC=AB·\tan30°=15×\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$。
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，$\tan∠BCD=\frac{BD}{BC}$，
∴$BD=BC·\tan30°=5\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=5$。
即点D到AC边的距离为5。
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 直角三角形的性质
3. 尺规作图识别
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、角平分线性质以及特殊直角三角形的相关计算，解题的核心是先判断出CD为角平分线，将求点D到AC的距离转化为求BD的长度，再结合特殊角的边长关系求解，是基础性质的综合应用题型。
【难度系数】
0.7

11. [2025·合肥蜀山区期末]如图，$△ ABC$是等边三角形，点$D$在边$AC$上，点$E$在$AB$的延长线上.若$ED⊥ AC$交$BC$于点$P$，且$AD=4$，$BP=2$，则$CP=\_\_\_\_\_\_$.

11.4

【分析】
首先利用等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=60°，结合ED⊥AC的条件，在Rt△ADE中运用含30°角的直角三角形的性质求出AE的长度；再通过平角定义求出∠EBP的度数，在△EBP中推导得出∠E=∠BPE，利用等角对等边得到BE=BP，进而求出等边三角形的边长BC，最后用BC减去BP即可得到CP的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC。
∵ED⊥AC，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，∠E=90°-∠A=90°-60°=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE=2AD。
∵AD=4，
∴AE=2×4=8。
∵∠ABC+∠EBP=180°，
∴∠EBP=180°-60°=120°，
在△EBP中，∠BPE=180°-∠E-∠EBP=180°-30°-120°=30°，
∴∠E=∠BPE，
∴BE=BP=2，
∴AB=AE-BE=8-2=6，
∴BC=AB=6，
∴CP=BC-BP=6-2=4。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何应用类题目，解题的关键是通过角度推导得到边的等量关系，将已知条件逐步转化为待求线段相关的边长，能够有效考查对三角形基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 90°$,$∠ C = 60°$,点$E$,$F$分别在边$BC$,$AC$上,将$△ CEF$沿$EF$折叠,点$C$恰好落在边$AB$上的点$D$处.若$ED$平分$∠ BEF$,$CE = 2$,则$AC$的长为.

12.6

【分析】
解题时先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，再结合角平分线的定义推出∠BED、∠DEF、∠CEF三个角相等，根据平角为180°求出∠BED的度数；随后在Rt△BED中利用含30°角的直角三角形的性质求出BE的长度，进而得到BC的长；最后在Rt△ABC中再次利用含30°角的直角三角形的性质即可求出AC的长度。
【解析】
∵将△CEF沿EF折叠，点C落在AB上的D处，
∴△CEF≌△DEF，可得$CE=DE=2$，$∠DEF=∠CEF$。
∵ED平分$∠BEF$，
∴$∠BED=∠DEF$，
∴$∠BED=∠DEF=∠CEF$。
又
∵$∠BED+∠DEF+∠CEF=180°$，
∴$3∠BED=180°$，解得$∠BED=60°$。
在$Rt△BED$中，$∠B=90°$，$∠BED=60°$，
∴$∠BDE=90°-60°=30°$，
∴$BE=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×2=1$，
∴$BC=BE+CE=1+2=3$。
在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，$∠C=60°$，
∴$∠A=30°$，
∴$BC=\frac{1}{2}AC$，
∴$AC=2BC=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何综合类基础题，将折叠变换、角平分线定义和特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过角度关系推导出直角三角形中30°的角，再利用对应性质求解线段长度，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.65

13.如图,一艘轮船以20 n mile/h的速度由西向东航行,早上8时,在A处测得小岛P在北偏东75°方向上,轮船继续向东航行,早上10时到达B处,并测得小岛P在北偏东60°方向上.已知小岛P周围22 n mile内有暗礁,若轮船仍向东航行,则有无触礁危险?(通过计算说明)

13.解:如图,过点P作PC⊥AB于点C.
∵∠PAB=90°-75°=15°,∠PBC=90°-60°=30°,∠PBC=∠PAB+∠APB,
∴∠APB=15°=∠PAB.
∴BP=AB=20×(10-8)=40(n mile).
在Rt△PBC中,
∵∠PBC=30°,
∴$CP=\frac{1}{2}BP=20$ n mile.
∵20＜22,
∴若轮船仍向东航行,则有触礁危险.

【分析】
要判断轮船向东航行是否有触礁危险，本质是比较小岛P到轮船航行路线（正东方向直线）的最短距离与22n mile的大小：若最短距离小于22n mile，则有触礁危险，反之则没有。解题思路如下：①过P作PC⊥AB于C，PC就是所求的最短距离；②根据轮船的航行速度和时间计算AB的长度；③结合方向角求出∠PAB和∠PBC的度数，利用三角形外角的性质推出∠APB=∠PAB，得到BP=AB；④在Rt△PBC中利用含30°角的直角三角形的性质求出PC的长度，最后比较PC和22的大小即可得到结论。
【解析】
过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C。
由方向角的定义可得：$∠ PAB=90°-75°=15°$，$∠ PBC=90°-60°=30°$。
∵$∠ PBC$是$△ ABP$的外角，
∴$∠ PBC=∠ PAB+∠ APB$，
代入角度得$30°=15°+∠ APB$，解得$∠ APB=15°$，
∴$∠ APB=∠ PAB$，
∴$BP=AB$。
轮船从A到B的航行时间为$10-8=2\mathrm{h}$，速度为$20\mathrm{n\ mile/h}$，
∴$AB=20×2=40(\mathrm{n\ mile})$，
∴$BP=40\mathrm{n\ mile}$。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$∠ PBC=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$CP=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}×40=20(\mathrm{n\ mile})$。
∵$20＜22$，
∴若轮船仍向东航行，有触礁危险。
【答案】
若轮船仍向东航行，则有触礁危险。

【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定、方向角的应用
【点评】
本题属于特殊三角形性质的实际应用题，解题的核心是将实际的触礁问题转化为几何中的垂线段长度比较问题，通过作辅助线构造直角三角形，结合三角形外角性质、等腰三角形判定即可求解，注重考查基础知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7

1.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=15°$,斜边AB的垂直平分线交AC于点E,交AB于点D.若$AE=10\ \mathrm{cm}$,则BC的长度为cm.

1.5

【分析】
解题时先观察到DE是AB的垂直平分线，首先利用线段垂直平分线的性质，连接辅助线BE，可得BE=AE，进而推出∠A=∠ABE；再利用三角形外角的性质求出∠BEC的度数；最后在Rt△BCE中，结合30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求出BC的长度。
【解析】
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE=10 cm，
∴∠ABE=∠A=15°，
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=15°+15°=30°，
又
∵∠C=90°，即△BCE是直角三角形，
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴BC=½BE=½×10=5 cm。
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的特殊角构造类几何题，解题核心是通过连接辅助线构造出含30°角的直角三角形，灵活结合多个基础几何性质求解，难度不大，重在对辅助线构造思路的掌握。
【难度系数】
0.7

2.如图,在四边形ABCD中,AD=8,BC=2,
∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,则CD
的长为.

2.4

【分析】
本题是不规则四边形求边长的问题，已知多个特殊角，可通过延长边构造特殊三角形求解：首先延长AD、BC交于点E，可得到含30°角的Rt△ABE，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质得到边的数量关系；再结合∠ADC=120°可推出△EDC为等边三角形，得到CD与DE、CE的等量关系，最后设未知数建立方程即可求出CD的长度。
【解析】
解：延长AD、BC交于点E。
∵在Rt△ABE中，∠A=30°，∠B=90°，
∴∠E=60°，$AE=2BE$。
∵∠ADC=120°，
∴∠EDC=$180°-∠ ADC=60°$，
∴△EDC中，$∠ E=∠ EDC=60°$，
∴△EDC是等边三角形，
设$CD=x$，则$CD=DE=CE=x$。
∵$AD=8$，$BC=2$，
∴$AE=AD+DE=8+x$，$BE=BC+CE=2+x$，
代入$AE=2BE$得：
$8+x=2(2+x)$
解得$x=4$，即CD的长为4。
【答案】
4
【知识点】
含30°角的直角三角形性质、等边三角形的判定与性质、补角的性质
【点评】
本题的核心解题思路是通过延长对边将不规则四边形转化为熟悉的特殊三角形，利用特殊角的边角性质建立方程求解，是特殊角在几何求边长问题中的典型应用。
【难度系数】
0.6

3.如图,在$△ ABC$中,$AB=a$,$AC=b$,$∠ BAC=150°$,则$S_{△ ABC}=$ ______(用含$a$,$b$的式子表示).

3.$\frac{1}{4}ab$

【分析】
要求△ABC的面积，已知两边AB=a、AC=b和夹角∠BAC=150°，我们可以通过作辅助线构造含30°角的直角三角形求解。因为150°的邻补角是30°，我们可过点C作BA延长线的垂线得到直角三角形，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出三角形的高，再代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D。
∵∠BAC=150°，
∴∠CAD=180°-∠BAC=180°-150°=30°。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=b，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$b（30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×a×\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab$。
【答案】
$\frac{1}{4}ab$
【知识点】
三角形面积计算，含30°角的直角三角形的性质，邻补角的定义
【点评】
本题的解题核心是通过作高构造含30°角的直角三角形，将已知的钝角条件转化为可利用的特殊角，结合三角形面积公式求解，熟练掌握特殊直角三角形的性质能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7

4.如图，$∠ ABC=60°$，点$P$在边$AB$上，$BP=10$，点$E$，$F$在边$BC$上，$PE=PF$.若$BE=2$，则$EF$的长为.

4.6

【分析】
解题时先观察图形特征：已知PE=PF，可得△PEF是等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线；同时已知∠ABC=60°，适合构造含30°角的直角三角形，利用特殊直角三角形的边长性质求解。具体思路如下：①过点P作BC的垂线，既作为等腰△PEF底边上的高得到EF的中点，也构造出含60°角的Rt△BPD；②利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BD的长度；③计算ED的长度，再结合“三线合一”的性质即可求出EF的长。
【解析】
解：过点P作PD⊥BC于点D。
∵PE=PF，PD⊥EF，
∴D是EF的中点，即EF=2ED（等腰三角形三线合一）。
在Rt△BPD中，∠PDB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BPD=30°，
∴BD=½BP（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
∵BP=10，
∴BD=½×10=5，
又
∵BE=2，
∴ED=BD-BE=5-2=3，
∴EF=2ED=2×3=6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算类题目，核心是利用等腰三角形和特殊直角三角形的性质解题，正确作出辅助线是解题的突破口，熟练掌握相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7