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三、画出下面三角形指定底边上的高。
底
底
底
底
底
底
答案
作图操作：
1. 第一个三角形：将三角板的一条直角边与指定底边重合，平移三角板使另一条直角边经过底边所对的顶点，从该顶点向底边画垂线段，在垂足处标注直角符号，这条垂线段就是指定底边上的高。
2. 第二个直角三角形：指定底边对应的高是三角形左侧的直角边，在两条直角边的夹角处标注直角符号即可。
3. 第三个钝角三角形：将指定底边向左侧适当延长，把三角板的一条直角边与该底边重合，平移三角板使另一条直角边经过底边所对的顶点，从该顶点向底边的延长线画垂线段，在垂足处标注直角符号，这条垂线段就是指定底边上的高。
1. 第一个三角形：将三角板的一条直角边与指定底边重合，平移三角板使另一条直角边经过底边所对的顶点，从该顶点向底边画垂线段，在垂足处标注直角符号，这条垂线段就是指定底边上的高。
2. 第二个直角三角形：指定底边对应的高是三角形左侧的直角边，在两条直角边的夹角处标注直角符号即可。
3. 第三个钝角三角形：将指定底边向左侧适当延长，把三角板的一条直角边与该底边重合，平移三角板使另一条直角边经过底边所对的顶点，从该顶点向底边的延长线画垂线段，在垂足处标注直角符号，这条垂线段就是指定底边上的高。
解析
【分析】
我们需要依据三角形高的定义来作图：从三角形指定底边相对的顶点，向这条底边（或底边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条底边上的高，作图要借助三角板的直角保证垂直，最后标注直角符号。三类三角形分别处理：第一个三角形的对顶点在底边正对面区域，可直接作垂线；第二个是直角三角形，指定底边为直角边，对应的高就是另一条直角边；第三个是钝角三角形，对顶点在底边外侧，需要先延长底边再作垂线。
【解析】
1. 第一个三角形：将三角板的一条直角边与指定的上方底边重合，平移三角板使另一条直角边经过底边所对的下方顶点，从该顶点向底边画垂线段，在垂足处标注直角符号，这条垂线段就是指定底边上的高。
2. 第二个直角三角形：指定底边是下方的直角边，它对应的高就是左侧的直角边，只需在两条直角边的夹角处标注直角符号即可。
3. 第三个钝角三角形：先将指定的下方底边向左侧适当延长，再把三角板的一条直角边与该底边重合，平移三角板使另一条直角边经过底边所对的上方顶点，从该顶点向底边的延长线画垂线段，在垂足处标注直角符号，这条垂线段就是指定底边上的高。
【答案】
按上述步骤完成作图即可：①第一个三角形作出过对顶点垂直于底边的垂线段，标注直角符号；②第二个直角三角形在对应直角夹角处标注直角符号；③第三个三角形先延长底边，再作出过对顶点垂直于底边延长线的垂线段，标注直角符号。
【知识点】
三角形高的认识，作三角形的高，垂线的画法
【点评】
本题考查不同类型三角形高的画法，需注意直角三角形的两条直角边互为底和高，钝角三角形的部分高会落在三角形外部，需要先延长对应底边再作垂线，作图时要标注直角符号确保高与底边垂直。
【难度系数】
0.7
我们需要依据三角形高的定义来作图：从三角形指定底边相对的顶点，向这条底边（或底边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条底边上的高，作图要借助三角板的直角保证垂直，最后标注直角符号。三类三角形分别处理：第一个三角形的对顶点在底边正对面区域，可直接作垂线；第二个是直角三角形，指定底边为直角边，对应的高就是另一条直角边；第三个是钝角三角形，对顶点在底边外侧，需要先延长底边再作垂线。
【解析】
1. 第一个三角形：将三角板的一条直角边与指定的上方底边重合，平移三角板使另一条直角边经过底边所对的下方顶点，从该顶点向底边画垂线段，在垂足处标注直角符号，这条垂线段就是指定底边上的高。
2. 第二个直角三角形：指定底边是下方的直角边，它对应的高就是左侧的直角边，只需在两条直角边的夹角处标注直角符号即可。
3. 第三个钝角三角形：先将指定的下方底边向左侧适当延长，再把三角板的一条直角边与该底边重合，平移三角板使另一条直角边经过底边所对的上方顶点，从该顶点向底边的延长线画垂线段，在垂足处标注直角符号，这条垂线段就是指定底边上的高。
【答案】
按上述步骤完成作图即可：①第一个三角形作出过对顶点垂直于底边的垂线段，标注直角符号；②第二个直角三角形在对应直角夹角处标注直角符号；③第三个三角形先延长底边，再作出过对顶点垂直于底边延长线的垂线段，标注直角符号。
【知识点】
三角形高的认识，作三角形的高，垂线的画法
【点评】
本题考查不同类型三角形高的画法，需注意直角三角形的两条直角边互为底和高，钝角三角形的部分高会落在三角形外部，需要先延长对应底边再作垂线，作图时要标注直角符号确保高与底边垂直。
【难度系数】
0.7
四、求下面各角的度数。
1. 已知∠1=24°,∠4=50°,求∠2的度数。
1. 已知∠1=24°,∠4=50°,求∠2的度数。
答案
1. $180° - 50° = 130°$
$180° - 130° - 24° = 26°$ $∠ 2 = 26°$
$180° - 130° - 24° = 26°$ $∠ 2 = 26°$
解析
【分析】
解题时先观察角的位置关系：首先∠4和三角形中相邻的内角组成平角，平角为180°，因此可以先求出这个内角的度数；再根据三角形内角和为180°，已知∠1和刚求出的内角度数，用内角和减去这两个角的度数，就能算出∠2的度数。
【解析】
1. 先计算与∠4相邻的三角形内角的度数：
平角为180°，所以该角的度数 = $180° - 50° = 130°$
2. 再根据三角形内角和是180°计算∠2：
$∠2 = 180° - 130° - 24° = 26°$
【答案】
$∠2=26°$
【知识点】
平角的特征，三角形内角和
【点评】
本题主要考查平角性质和三角形内角和的实际应用，解题的关键是准确识别图形中角的组成关系，按照先求未知内角、再算目标角的顺序计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先观察角的位置关系：首先∠4和三角形中相邻的内角组成平角，平角为180°，因此可以先求出这个内角的度数；再根据三角形内角和为180°，已知∠1和刚求出的内角度数，用内角和减去这两个角的度数，就能算出∠2的度数。
【解析】
1. 先计算与∠4相邻的三角形内角的度数：
平角为180°，所以该角的度数 = $180° - 50° = 130°$
2. 再根据三角形内角和是180°计算∠2：
$∠2 = 180° - 130° - 24° = 26°$
【答案】
$∠2=26°$
【知识点】
平角的特征，三角形内角和
【点评】
本题主要考查平角性质和三角形内角和的实际应用，解题的关键是准确识别图形中角的组成关系，按照先求未知内角、再算目标角的顺序计算即可。
【难度系数】
0.8
2. 一个等腰三角形的一个底角是$55°$,它的另一个底角和顶角分别是多少度？
答案
2. 另一个底角是$55°$,顶角是$180° - 55° - 55° = 70°$。
解析
【分析】
解题时首先回忆两个基础知识点：一是等腰三角形的两个底角度数相等，二是任意三角形的内角和都是180°。第一步，根据等腰三角形底角相等的性质，已知一个底角是55°，就能直接得出另一个底角的度数；第二步，用三角形内角和减去两个底角的度数，就可以算出顶角的度数。
【解析】
1. 计算另一个底角的度数：
等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为55°，因此另一个底角也是55°。
2. 计算顶角的度数：
三角形内角和为180°，因此顶角度数为内角和减去两个底角的度数：
$180° - 55° - 55° = 70°$
【答案】
另一个底角是$55°$，顶角是$70°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考察等腰三角形的特征和三角形内角和的应用，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆两个基础知识点：一是等腰三角形的两个底角度数相等，二是任意三角形的内角和都是180°。第一步，根据等腰三角形底角相等的性质，已知一个底角是55°，就能直接得出另一个底角的度数；第二步，用三角形内角和减去两个底角的度数，就可以算出顶角的度数。
【解析】
1. 计算另一个底角的度数：
等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角为55°，因此另一个底角也是55°。
2. 计算顶角的度数：
三角形内角和为180°，因此顶角度数为内角和减去两个底角的度数：
$180° - 55° - 55° = 70°$
【答案】
另一个底角是$55°$，顶角是$70°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考察等腰三角形的特征和三角形内角和的应用，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 在一个直角三角形中,一个锐角是$35°$,另一个锐角是多少度？
答案
3. $90° - 35° = 55°$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的是直角三角形，先回忆相关知识：任意三角形的内角和是180°，直角三角形里有一个角是90°的直角，因此直角三角形剩下的两个锐角相加的和是90°。现在已知其中一个锐角是35°，求另一个锐角，直接用两个锐角的和减去已知锐角的度数就可以得到结果。
【解析】
因为三角形内角和为180°，直角三角形存在一个90°的直角，所以直角三角形的两个锐角之和为：
$180°-90°=90°$
已知其中一个锐角是35°，则另一个锐角的度数为：
$90°-35°=55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
三角形内角和、直角三角形特征、角度计算
【点评】
本题属于基础的几何计算类题目，主要考察对三角形内角和以及直角三角形性质的掌握，牢记直角三角形两个锐角和为90°就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目给出的是直角三角形，先回忆相关知识：任意三角形的内角和是180°，直角三角形里有一个角是90°的直角，因此直角三角形剩下的两个锐角相加的和是90°。现在已知其中一个锐角是35°，求另一个锐角，直接用两个锐角的和减去已知锐角的度数就可以得到结果。
【解析】
因为三角形内角和为180°，直角三角形存在一个90°的直角，所以直角三角形的两个锐角之和为：
$180°-90°=90°$
已知其中一个锐角是35°，则另一个锐角的度数为：
$90°-35°=55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
三角形内角和、直角三角形特征、角度计算
【点评】
本题属于基础的几何计算类题目，主要考察对三角形内角和以及直角三角形性质的掌握，牢记直角三角形两个锐角和为90°就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
五、小博士乐园。
1. 数一数，下图中有多少个三角形？
1. 数一数，下图中有多少个三角形？
答案
1. 10个
解析
【分析】
我们可以用分类计数的方法数三角形，避免重复或遗漏：先将图形拆为左侧独立区域、中间长方形区域、右侧独立区域三部分，先数两侧独立的三角形，再按“单个小三角形、两个小三角形组合的大三角形”的顺序数中间长方形内的三角形，最后将所有数量求和即可得到总个数。
【解析】
1. 数长方形两侧独立的三角形：左侧有1个，右侧有1个，共$1+1=2$个；
2. 数长方形内部单个小三角形：长方形两条对角线相交，将长方形分成4个互不重叠的小三角形，共4个；
3. 数长方形内部由2个相邻小三角形拼成的大三角形：分别以长方形的上、下、左、右四条边为底，每2个相邻小三角形可拼成1个大三角形，这类大三角形共4个；
4. 总个数：$2+4+4=10$（个）。
【答案】
10个
【知识点】
三角形的认识、图形计数、有序计数
【点评】
本题考查有序计数的能力，按照拆分区域、按组合大小分层计数的方法解题，能有效避免计数时出现重复或遗漏的问题，帮助培养有条理思考的习惯。
【难度系数】
0.7
我们可以用分类计数的方法数三角形，避免重复或遗漏：先将图形拆为左侧独立区域、中间长方形区域、右侧独立区域三部分，先数两侧独立的三角形，再按“单个小三角形、两个小三角形组合的大三角形”的顺序数中间长方形内的三角形，最后将所有数量求和即可得到总个数。
【解析】
1. 数长方形两侧独立的三角形：左侧有1个，右侧有1个，共$1+1=2$个；
2. 数长方形内部单个小三角形：长方形两条对角线相交，将长方形分成4个互不重叠的小三角形，共4个；
3. 数长方形内部由2个相邻小三角形拼成的大三角形：分别以长方形的上、下、左、右四条边为底，每2个相邻小三角形可拼成1个大三角形，这类大三角形共4个；
4. 总个数：$2+4+4=10$（个）。
【答案】
10个
【知识点】
三角形的认识、图形计数、有序计数
【点评】
本题考查有序计数的能力，按照拆分区域、按组合大小分层计数的方法解题，能有效避免计数时出现重复或遗漏的问题，帮助培养有条理思考的习惯。
【难度系数】
0.7
2. 根据三角形的内角和是$180°$,试着分别求出下面两个四边形的内角和。
答案
2. 两个四边形的内角和都是$360°$。
解析
【分析】
要计算四边形的内角和，我们可以利用已经学过的三角形内角和知识，用转化的思想来解决：首先思考如何把四边形拆分成若干个三角形，连接四边形任意一组不相邻的顶点（对角线），就能把1个四边形分成2个独立的三角形，四边形的内角和刚好等于这2个三角形的内角和总和，该方法对任意四边形都适用。
【解析】
我们可以通过画辅助线的方法求解：
1. 分别给两个四边形画1条对角线，连接不相邻的两个顶点，每个四边形都被分成了2个三角形；
2. 已知1个三角形的内角和是180°，那么2个三角形的内角和总和为：$180° × 2 = 360°$；
3. 两个三角形的内角加起来刚好对应四边形的4个内角，因此两个四边形的内角和都等于360°。
【答案】
两个四边形的内角和都是$360°$。
【知识点】
1. 三角形内角和
2. 四边形内角和推导
【点评】
本题通过将未知的四边形内角和问题转化为已掌握的三角形内角和问题求解，重点考查转化思想的运用，能够帮助学生理解多边形内角和的推导逻辑，为后续学习多边形相关知识打下基础。
【难度系数】
0.8
要计算四边形的内角和，我们可以利用已经学过的三角形内角和知识，用转化的思想来解决：首先思考如何把四边形拆分成若干个三角形，连接四边形任意一组不相邻的顶点（对角线），就能把1个四边形分成2个独立的三角形，四边形的内角和刚好等于这2个三角形的内角和总和，该方法对任意四边形都适用。
【解析】
我们可以通过画辅助线的方法求解：
1. 分别给两个四边形画1条对角线，连接不相邻的两个顶点，每个四边形都被分成了2个三角形；
2. 已知1个三角形的内角和是180°，那么2个三角形的内角和总和为：$180° × 2 = 360°$；
3. 两个三角形的内角加起来刚好对应四边形的4个内角，因此两个四边形的内角和都等于360°。
【答案】
两个四边形的内角和都是$360°$。
【知识点】
1. 三角形内角和
2. 四边形内角和推导
【点评】
本题通过将未知的四边形内角和问题转化为已掌握的三角形内角和问题求解，重点考查转化思想的运用，能够帮助学生理解多边形内角和的推导逻辑，为后续学习多边形相关知识打下基础。
【难度系数】
0.8
