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1.给出下列式子:①$-2＜0$;②$2y-5＞1$;③$m=1$;④$x^2 - x$;⑤$x≠-2$;⑥$x+1＜2x-1$.其中是不等式的有 （
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪些是不等式，首先需明确不等式的定义：用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）连接的表示不等关系的式子就是不等式。解题时逐个判断所给式子是否符合不等式的定义即可：先排除用等号连接的等式，再排除没有不等号的代数式，剩下的就是不等式，最后统计数量选择对应选项。
【解析】
根据不等式的定义逐一判断：
①$-2＜0$：用小于号连接，属于不等式；
②$2y-5＞1$：用大于号连接，属于不等式；
③$m=1$：用等号连接，是等式，不属于不等式；
④$x^2 - x$：仅为代数式，无不等号或等号，不属于不等式；
⑤$x≠-2$：用不等于号连接，属于不等式；
⑥$x+1＜2x-1$：用小于号连接，属于不等式。
综上，不等式共有①②⑤⑥，共4个，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 不等式的定义
2. 不等号的识别
【点评】
本题是基础概念题，解题核心是准确把握不等式的判定标准，需注意“≠”也属于不等号，同时要区分清楚不等式、等式、代数式三者的差异，避免出现漏判或误判。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是不等式，首先需明确不等式的定义：用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）连接的表示不等关系的式子就是不等式。解题时逐个判断所给式子是否符合不等式的定义即可：先排除用等号连接的等式，再排除没有不等号的代数式，剩下的就是不等式，最后统计数量选择对应选项。
【解析】
根据不等式的定义逐一判断：
①$-2＜0$：用小于号连接，属于不等式；
②$2y-5＞1$：用大于号连接，属于不等式；
③$m=1$：用等号连接，是等式，不属于不等式；
④$x^2 - x$：仅为代数式，无不等号或等号，不属于不等式；
⑤$x≠-2$：用不等于号连接，属于不等式；
⑥$x+1＜2x-1$：用小于号连接，属于不等式。
综上，不等式共有①②⑤⑥，共4个，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 不等式的定义
2. 不等号的识别
【点评】
本题是基础概念题，解题核心是准确把握不等式的判定标准，需注意“≠”也属于不等号，同时要区分清楚不等式、等式、代数式三者的差异，避免出现漏判或误判。
【难度系数】
0.8
2.不等式组$\begin{cases}3(x+2)＞2x+5, \\ \dfrac{x-1}{2}≤ \dfrac{x}{3}\end{cases}$的最小整数解是（ ）
A.－1
B.0
C.1
D.2
A.－1
B.0
C.1
D.2
答案
2.B
解析
【分析】
要确定不等式组的最小整数解，需按三步思考：第一步，分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步，找出两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步，在总解集范围内找出所有整数，从中挑选最小的整数对应选项即可。解不等式时要严格遵循一元一次不等式的求解步骤，注意去分母时不要漏乘常数项，移项要变号。
【解析】
先解第一个不等式：
$3(x+2)＞2x+5$
去括号，得：$3x+6＞2x+5$
移项、合并同类项，得：$x＞-1$
再解第二个不等式：
$\dfrac{x-1}{2}≤ \dfrac{x}{3}$
两边同时乘6（分母2和3的最小公倍数）去分母，得：$3(x-1)≤2x$
去括号，得：$3x-3≤2x$
移项、合并同类项，得：$x≤3$
则不等式组的解集为两个解集的公共部分：$-1＜x≤3$
该范围内的整数有0、1、2、3，其中最小的整数是0。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解法；不等式组整数解确定
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，核心要求是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，准确确定不等式组的公共解集，找整数解时要注意解集的端点是否包含在内，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
要确定不等式组的最小整数解，需按三步思考：第一步，分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集；第二步，找出两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步，在总解集范围内找出所有整数，从中挑选最小的整数对应选项即可。解不等式时要严格遵循一元一次不等式的求解步骤，注意去分母时不要漏乘常数项，移项要变号。
【解析】
先解第一个不等式：
$3(x+2)＞2x+5$
去括号，得：$3x+6＞2x+5$
移项、合并同类项，得：$x＞-1$
再解第二个不等式：
$\dfrac{x-1}{2}≤ \dfrac{x}{3}$
两边同时乘6（分母2和3的最小公倍数）去分母，得：$3(x-1)≤2x$
去括号，得：$3x-3≤2x$
移项、合并同类项，得：$x≤3$
则不等式组的解集为两个解集的公共部分：$-1＜x≤3$
该范围内的整数有0、1、2、3，其中最小的整数是0。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解法；不等式组整数解确定
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，核心要求是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，准确确定不等式组的公共解集，找整数解时要注意解集的端点是否包含在内，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
3.生物兴趣小组在恒温箱里培育A,B两种菌种,A种菌种的生长温度$x$ ℃的范围是$34≤ x≤38$,B种菌种的生长温度$y$ ℃的范围是$32≤ y≤36$,那么恒温箱里的温度$T$ ℃应该设定在 （
A.$34≤ T≤38$
B.$32≤ T≤36$
C.$32≤ T≤38$
D.$34≤ T≤36$
D
）A.$34≤ T≤38$
B.$32≤ T≤36$
C.$32≤ T≤38$
D.$34≤ T≤36$
答案
3.D
解析
【分析】
要确定恒温箱的温度T，需同时满足A、B两种菌种的生长温度要求，也就是T既要在A的适宜温度区间内，也要在B的适宜温度区间内，本质是求两个温度区间的公共部分。我们可以先列出T需要满足的所有不等式，再找它们的公共解集即可。
【解析】
解：由题意可知，恒温箱温度T需要同时满足A、B两种菌种的生长温度要求：
1. 满足A种菌种生长条件：$34≤ T≤38$
2. 满足B种菌种生长条件：$32≤ T≤36$
求两个范围的公共解集：
下限取两个下限中较大的数值：34和32相比，34更大，因此$T≥34$；
上限取两个上限中较小的数值：38和36相比，36更小，因此$T≤36$。
综上可得恒温箱的温度范围为$34≤ T≤36$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的解集，不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查不等式组解集的求取，解题关键是明确温度需同时适配两种菌种的生长条件，即求两个区间的公共部分，运用“同大取大、同小取小”的解集判定规则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要确定恒温箱的温度T，需同时满足A、B两种菌种的生长温度要求，也就是T既要在A的适宜温度区间内，也要在B的适宜温度区间内，本质是求两个温度区间的公共部分。我们可以先列出T需要满足的所有不等式，再找它们的公共解集即可。
【解析】
解：由题意可知，恒温箱温度T需要同时满足A、B两种菌种的生长温度要求：
1. 满足A种菌种生长条件：$34≤ T≤38$
2. 满足B种菌种生长条件：$32≤ T≤36$
求两个范围的公共解集：
下限取两个下限中较大的数值：34和32相比，34更大，因此$T≥34$；
上限取两个上限中较小的数值：38和36相比，36更小，因此$T≤36$。
综上可得恒温箱的温度范围为$34≤ T≤36$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的解集，不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查不等式组解集的求取，解题关键是明确温度需同时适配两种菌种的生长条件，即求两个区间的公共部分，运用“同大取大、同小取小”的解集判定规则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
1.如果不等式$3x - m ≤ 0$的正整数解是1,2,3,那么m的取值范围是
$9≤m＜12$
.答案
1.$9≤m＜12$
解析
【分析】
首先先解出关于x的一元一次不等式，用含m的式子表示x的取值范围，再结合正整数解只有1、2、3的条件确定边界：要保证3是不等式的解，同时4不是不等式的解，据此列出关于m的不等式组，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 解不等式$3x - m ≤ 0$：
移项得 $3x ≤ m$，
系数化为1得 $x ≤ \frac{m}{3}$。
2. 结合正整数解确定边界：
因为不等式的正整数解为1、2、3，说明解集中最大的正整数是3：
① 要使3是不等式的解，需满足$\frac{m}{3} ≥ 3$，解得$m ≥9$；
② 要使4不是不等式的解，需满足$\frac{m}{3} ＜ 4$，解得$m ＜12$。
联立两个结果可得m的取值范围。
【答案】
$9≤m＜12$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式整数解判定
【点评】
本题是一元一次不等式整数解的经典题型，解题关键是根据已知整数解准确判断参数的边界范围，尤其要注意等号的取舍，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
首先先解出关于x的一元一次不等式，用含m的式子表示x的取值范围，再结合正整数解只有1、2、3的条件确定边界：要保证3是不等式的解，同时4不是不等式的解，据此列出关于m的不等式组，求解即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 解不等式$3x - m ≤ 0$：
移项得 $3x ≤ m$，
系数化为1得 $x ≤ \frac{m}{3}$。
2. 结合正整数解确定边界：
因为不等式的正整数解为1、2、3，说明解集中最大的正整数是3：
① 要使3是不等式的解，需满足$\frac{m}{3} ≥ 3$，解得$m ≥9$；
② 要使4不是不等式的解，需满足$\frac{m}{3} ＜ 4$，解得$m ＜12$。
联立两个结果可得m的取值范围。
【答案】
$9≤m＜12$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式整数解判定
【点评】
本题是一元一次不等式整数解的经典题型，解题关键是根据已知整数解准确判断参数的边界范围，尤其要注意等号的取舍，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
2.已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{x-1}{2} - 1 ＜ 0,\\a - x ＜ 0\end{cases}$有且只有3个整数解，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
2.$-1≤a＜0$
解析
【分析】
解决本题的思路是先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含参数a的解集，再根据“有且只有3个整数解”的条件，找出对应的整数解，进而确定a的取值范围，最后需要验证端点值是否符合要求，避免多解或漏解。
【解析】
1. 解第一个不等式：
$\dfrac{x-1}{2} - 1 ＜ 0$
不等式两边同时乘2，得：$x-1-2 ＜ 0$
化简得：$x ＜ 3$
2. 解第二个不等式：
$a - x ＜ 0$
移项得：$x ＞ a$
因此原不等式组的解集为 $a ＜ x ＜ 3$
3. 确定a的取值范围：
已知不等式组有且只有3个整数解，小于3的整数从大到小依次为2、1、0，这就是对应的3个整数解。要保证整数解只有这3个，需要满足：a不能小于-1（否则整数解会包含-1，共4个，不符合要求），同时a要小于0（否则整数解只有2、1，共2个，不符合要求）。
验证端点：当$a=-1$时，解集为$-1 ＜ x ＜ 3$，整数解为2、1、0，共3个，符合要求；当$a=0$时，解集为$0 ＜ x ＜ 3$，整数解为2、1，共2个，不符合要求，因此$-1≤ a ＜ 0$。
【答案】
$-1≤a＜0$
【知识点】
1. 一元一次不等式组解法
2. 不等式组的整数解
【点评】
本题是含参一元一次不等式组的典型题型，核心是先确定解集的固定边界，再结合整数解的个数锁定参数范围，解题时要格外注意端点值的取舍，避免因漏验证端点出现错误。
【难度系数】
0.6
解决本题的思路是先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含参数a的解集，再根据“有且只有3个整数解”的条件，找出对应的整数解，进而确定a的取值范围，最后需要验证端点值是否符合要求，避免多解或漏解。
【解析】
1. 解第一个不等式：
$\dfrac{x-1}{2} - 1 ＜ 0$
不等式两边同时乘2，得：$x-1-2 ＜ 0$
化简得：$x ＜ 3$
2. 解第二个不等式：
$a - x ＜ 0$
移项得：$x ＞ a$
因此原不等式组的解集为 $a ＜ x ＜ 3$
3. 确定a的取值范围：
已知不等式组有且只有3个整数解，小于3的整数从大到小依次为2、1、0，这就是对应的3个整数解。要保证整数解只有这3个，需要满足：a不能小于-1（否则整数解会包含-1，共4个，不符合要求），同时a要小于0（否则整数解只有2、1，共2个，不符合要求）。
验证端点：当$a=-1$时，解集为$-1 ＜ x ＜ 3$，整数解为2、1、0，共3个，符合要求；当$a=0$时，解集为$0 ＜ x ＜ 3$，整数解为2、1，共2个，不符合要求，因此$-1≤ a ＜ 0$。
【答案】
$-1≤a＜0$
【知识点】
1. 一元一次不等式组解法
2. 不等式组的整数解
【点评】
本题是含参一元一次不等式组的典型题型，核心是先确定解集的固定边界，再结合整数解的个数锁定参数范围，解题时要格外注意端点值的取舍，避免因漏验证端点出现错误。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases} \dfrac{1}{3}(2x + 5) ＞ x + 1, \\ \dfrac{1}{2}(x + 3) ≤ x + a \end{cases}$ 至少有3个整数解，且关于 $ y $ 的方程 $ 2 - (a + y) = 2(y - 3) $ 的解为非负整数，则满足题意的所有整数 $ a $ 的和是多少？
1. 若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases} \dfrac{1}{3}(2x + 5) ＞ x + 1, \\ \dfrac{1}{2}(x + 3) ≤ x + a \end{cases}$ 至少有3个整数解，且关于 $ y $ 的方程 $ 2 - (a + y) = 2(y - 3) $ 的解为非负整数，则满足题意的所有整数 $ a $ 的和是多少？
答案
1.15
解析
【分析】
解题分三步进行：第一步分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集；第二步根据“至少有3个整数解”的条件，确定参数a的取值范围；第三步解关于y的一元一次方程，结合“解为非负整数”的要求，在a的取值范围内筛选出符合条件的整数a，最后计算这些a的和即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解第一个不等式 $\dfrac{1}{3}(2x + 5) ＞ x + 1$：
两边同乘3得：$2x + 5 ＞ 3x + 3$
移项合并同类项得：$-x ＞ -2$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ 2$
解第二个不等式 $\dfrac{1}{2}(x + 3) ≤ x + a$：
两边同乘2得：$x + 3 ≤ 2x + 2a$
移项合并同类项得：$-x ≤ 2a - 3$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≥ 3 - 2a$
因此不等式组的解集为 $3 - 2a ≤ x ＜ 2$。
2. 根据“至少有3个整数解”确定a的范围：
小于2的整数从大到小依次为1,0,-1,-2,…，要使不等式组至少有3个整数解，则整数解至少包含1,0,-1，因此需要满足 $3 - 2a ≤ -1$
解这个不等式：
$-2a ≤ -4$
得 $a ≥ 2$
3. 解关于y的方程 $2 - (a + y) = 2(y - 3)$：
去括号得：$2 - a - y = 2y - 6$
移项合并同类项得：$-3y = a - 8$
系数化为1得：$y = \dfrac{8 - a}{3}$
4. 根据方程的解为非负整数，可知：
① $y ≥ 0$，即 $\dfrac{8 - a}{3} ≥ 0$，解得 $a ≤ 8$；
② $8 - a$ 是3的非负整数倍。
结合 $2 ≤ a ≤ 8$，a为整数，可得：
当 $8 - a = 0$ 时，$a = 8$，此时$y=0$，符合要求；
当 $8 - a = 3$ 时，$a = 5$，此时$y=1$，符合要求；
当 $8 - a = 6$ 时，$a = 2$，此时$y=2$，符合要求；
其余取值均不符合要求。
5. 满足题意的整数a为2,5,8，它们的和为 $2 + 5 + 8 = 15$。
【答案】
15
【知识点】
解一元一次不等式组，一元一次方程的解，不等式组整数解应用
【点评】
本题是含参数的不等式组与一元一次方程的综合题，解题关键是先根据不等式组的整数解要求确定参数的取值范围，再结合方程解的限制筛选参数，需要注意解不等式时系数为负时不等号要变向，以及非负整数包含0的情况。
【难度系数】
0.6
解题分三步进行：第一步分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集；第二步根据“至少有3个整数解”的条件，确定参数a的取值范围；第三步解关于y的一元一次方程，结合“解为非负整数”的要求，在a的取值范围内筛选出符合条件的整数a，最后计算这些a的和即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解第一个不等式 $\dfrac{1}{3}(2x + 5) ＞ x + 1$：
两边同乘3得：$2x + 5 ＞ 3x + 3$
移项合并同类项得：$-x ＞ -2$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ＜ 2$
解第二个不等式 $\dfrac{1}{2}(x + 3) ≤ x + a$：
两边同乘2得：$x + 3 ≤ 2x + 2a$
移项合并同类项得：$-x ≤ 2a - 3$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≥ 3 - 2a$
因此不等式组的解集为 $3 - 2a ≤ x ＜ 2$。
2. 根据“至少有3个整数解”确定a的范围：
小于2的整数从大到小依次为1,0,-1,-2,…，要使不等式组至少有3个整数解，则整数解至少包含1,0,-1，因此需要满足 $3 - 2a ≤ -1$
解这个不等式：
$-2a ≤ -4$
得 $a ≥ 2$
3. 解关于y的方程 $2 - (a + y) = 2(y - 3)$：
去括号得：$2 - a - y = 2y - 6$
移项合并同类项得：$-3y = a - 8$
系数化为1得：$y = \dfrac{8 - a}{3}$
4. 根据方程的解为非负整数，可知：
① $y ≥ 0$，即 $\dfrac{8 - a}{3} ≥ 0$，解得 $a ≤ 8$；
② $8 - a$ 是3的非负整数倍。
结合 $2 ≤ a ≤ 8$，a为整数，可得：
当 $8 - a = 0$ 时，$a = 8$，此时$y=0$，符合要求；
当 $8 - a = 3$ 时，$a = 5$，此时$y=1$，符合要求；
当 $8 - a = 6$ 时，$a = 2$，此时$y=2$，符合要求；
其余取值均不符合要求。
5. 满足题意的整数a为2,5,8，它们的和为 $2 + 5 + 8 = 15$。
【答案】
15
【知识点】
解一元一次不等式组，一元一次方程的解，不等式组整数解应用
【点评】
本题是含参数的不等式组与一元一次方程的综合题，解题关键是先根据不等式组的整数解要求确定参数的取值范围，再结合方程解的限制筛选参数，需要注意解不等式时系数为负时不等号要变向，以及非负整数包含0的情况。
【难度系数】
0.6
