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1 下列算式表示$(-7)^4$的是 （
A.$(-7)×4$
B.$-7×7×7×7$
C.$(-7)+(-7)+(-7)+(-7)$
D.$(-7)×(-7)×(-7)×(-7)$
D
）A.$(-7)×4$
B.$-7×7×7×7$
C.$(-7)+(-7)+(-7)+(-7)$
D.$(-7)×(-7)×(-7)×(-7)$
答案
1. D 【解析】表示 $(-7)^4$ 的是 $(-7)×(-7)×(-7)×(-7)$,故选 D.
2[2026 陕西西安质检]下列说法正确的是(
A.$-2^3$的底数是-2
B.$2^3$表示三个2相加
C.$(-2)^3$与$-2^3$意义相同
D.$-2^3$的指数是3
D
)A.$-2^3$的底数是-2
B.$2^3$表示三个2相加
C.$(-2)^3$与$-2^3$意义相同
D.$-2^3$的指数是3
答案
2. D 【解析】A 选项,$-2^3$ 的底数是2,原说法错误;B 选项,$2^3$ 表示三个2相乘,原说法错误;C 选项,$(-2)^3$ 表示三个-2相乘,$-2^3$ 表示三个2相乘的相反数,意义不同,原说法错误;D 选项,$-2^3$ 的指数是3,说法正确. 故选 D.
3 计算$\frac{\overbrace{3 × 3 × \dots × 3}^{m个3}}{\underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{n个2}}$的结果是（
A.$\frac{3m}{2^n}$
B.$\frac{3^m}{2n}$
C.$\frac{3m}{n^2}$
D.$\frac{m^3}{2n}$
B
）A.$\frac{3m}{2^n}$
B.$\frac{3^m}{2n}$
C.$\frac{3m}{n^2}$
D.$\frac{m^3}{2n}$
答案
3. B 【解析】因为$\overbrace{3 × 3 × \dots × 3}^{m个3}=3^m$，$\underbrace{2 + 2 + \dots + 2}_{n个2}=2n$，所以计算结果为$\frac{3^m}{2n}$，故选B.
4 在$-(-2), -3^2, (-\dfrac{1}{2})^4, -\dfrac{2^2}{3}, (-1)^{2021}, -|-3|$中，负数有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
逐个计算各数的结果：
1. $-(-2)=2$，为正数；
2. $-3^2=-9$，为负数；
3. $(-\dfrac{1}{2})^4=\dfrac{1}{16}$，为正数；
4. $-\dfrac{2^2}{3}=-\dfrac{4}{3}$，为负数；
5. $(-1)^{2021}=-1$，为负数；
6. $-|-3|=-3$，为负数。
统计可得负数共有4个。
1. $-(-2)=2$，为正数；
2. $-3^2=-9$，为负数；
3. $(-\dfrac{1}{2})^4=\dfrac{1}{16}$，为正数；
4. $-\dfrac{2^2}{3}=-\dfrac{4}{3}$，为负数；
5. $(-1)^{2021}=-1$，为负数；
6. $-|-3|=-3$，为负数。
统计可得负数共有4个。
5[2026湖北武汉期中]进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统,不同进位制的数字之间能进行转换,例如二进制数1 101可转化为十进制数:$1×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0=(13)_{10}=1×10^1 +3×10^0$(规定:当$a≠0$时,$a^0=1$),则二进制数1 011 001转化为八进制数可以表示为(说明:为了区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数) ()
A.$(115)_8$
B.$(131)_8$
C.$(262)_8$
D.$(232)_8$
A.$(115)_8$
B.$(131)_8$
C.$(262)_8$
D.$(232)_8$
答案
B
解析
先将二进制数1 011 001转化为十进制数：
$\begin{aligned}&1×2^6 + 0×2^5 + 1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\=&64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1\\=&89\end{aligned}$
再将十进制数89转化为八进制数：
因为$89 = 1×8^2 + 3×8^1 + 1×8^0$，所以对应的八进制数为$(131)_8$。
$\begin{aligned}&1×2^6 + 0×2^5 + 1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\=&64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1\\=&89\end{aligned}$
再将十进制数89转化为八进制数：
因为$89 = 1×8^2 + 3×8^1 + 1×8^0$，所以对应的八进制数为$(131)_8$。
6 已知$x,y$满足$|x+5|+(y-4)^2=0$,则$(x+y)^{99}$的值为.
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
解：
由绝对值和平方的非负性可知：$|x+5|≥0$，$(y-4)^2≥0$，
又$|x+5|+(y-4)^2=0$，
因此$x+5=0$，$y-4=0$，
解得$x=-5$，$y=4$。
则$x+y=-5+4=-1$，
所以$(x+y)^{99}=(-1)^{99}=-1$。
最终
由绝对值和平方的非负性可知：$|x+5|≥0$，$(y-4)^2≥0$，
又$|x+5|+(y-4)^2=0$，
因此$x+5=0$，$y-4=0$，
解得$x=-5$，$y=4$。
则$x+y=-5+4=-1$，
所以$(x+y)^{99}=(-1)^{99}=-1$。
最终
7 问题:你会比较$2023^{2024}$和$2024^{2023}$的大小吗？为了解决此问题,我们先写出它的一般式,即比较$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小(n是正整数),然后我们从分析$n=1,n=2,n=3,···$这些简单情形入手,从中发现规律,经过归纳、总结,得出结论.
(1)比较下列各组数的大小:
①$1^2$ $2^1$; ②$2^3$ $3^2$; ③$3^4$ $4^3$;
④$4^5$ $5^4$; ⑤$5^6$ $6^5$. (填“＞”“＜”或“=”)
(2)由(1)的结果,可以猜想出$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小关系是.
(3)试比较$2023^{2024}$和$2024^{2023}$的大小.
(1)比较下列各组数的大小:
①$1^2$ $2^1$; ②$2^3$ $3^2$; ③$3^4$ $4^3$;
④$4^5$ $5^4$; ⑤$5^6$ $6^5$. (填“＞”“＜”或“=”)
(2)由(1)的结果,可以猜想出$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小关系是.
(3)试比较$2023^{2024}$和$2024^{2023}$的大小.
答案
解：
(1) 计算得：
① $1^2=1$，$2^1=2$，故$1^2 ＜ 2^1$；
② $2^3=8$，$3^2=9$，故$2^3 ＜ 3^2$；
③ $3^4=81$，$4^3=64$，故$3^4 ＞ 4^3$；
④ $4^5=1024$，$5^4=625$，故$4^5 ＞ 5^4$；
⑤ $5^6=15625$，$6^5=7776$，故$5^6 ＞ 6^5$。
答案依次为：$＜$，$＜$，$＞$，$＞$，$＞$。
(2) 归纳可得大小关系：
当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n\ge3$且$n$为正整数时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(3) 因为$2023$是大于3的正整数，符合$n\ge3$的条件，
所以$2023^{2024} ＞ 2024^{2023}$。
(1) 计算得：
① $1^2=1$，$2^1=2$，故$1^2 ＜ 2^1$；
② $2^3=8$，$3^2=9$，故$2^3 ＜ 3^2$；
③ $3^4=81$，$4^3=64$，故$3^4 ＞ 4^3$；
④ $4^5=1024$，$5^4=625$，故$4^5 ＞ 5^4$；
⑤ $5^6=15625$，$6^5=7776$，故$5^6 ＞ 6^5$。
答案依次为：$＜$，$＜$，$＞$，$＞$，$＞$。
(2) 归纳可得大小关系：
当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^n$；当$n\ge3$且$n$为正整数时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^n$。
(3) 因为$2023$是大于3的正整数，符合$n\ge3$的条件，
所以$2023^{2024} ＞ 2024^{2023}$。
8 新考向传统文化 [2026河南南阳期中]《孙子算经》中记载:“今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,….”大意为今天出门看见9座堤坝,每座堤坝上有9棵树,每棵树上有9根树枝,每根树枝上有9个鸟巢,….文中的鸟巢共有 ()
A.$9^3$ 个
B.$10^3$ 个
C.$9^4$ 个
D.$10^4$ 个
A.$9^3$ 个
B.$10^3$ 个
C.$9^4$ 个
D.$10^4$ 个
答案
C
解析
根据题意逐步计算：共有9座堤坝，每座堤坝有9棵树，总树数为9×9；每棵树有9根树枝，总树枝数为9×9×9；每根树枝有9个鸟巢，总鸟巢数为9×9×9×9，根据乘方的定义，4个9相乘可表示为$9^4$，即鸟巢共有$9^4$个。
9[2025安徽合肥期末]一根1米长的木棒，第一次截去它的三分之一，第二次再截去剩下木棒的三分之一，如此截下去，第十次后剩下的木棒长度为米。
答案
$\boldsymbol{(\dfrac{2}{3})^{10}}$（或$\dfrac{1024}{59049}$）
解析
解：
初始木棒长度为1米。
第一次截去$\frac{1}{3}$后，剩下的长度为 $1×(1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}$ 米；
第二次截去剩余部分的$\frac{1}{3}$后，剩下的长度为 $\frac{2}{3}×(1-\frac{1}{3})=(\frac{2}{3})^2$ 米；
第三次截完后剩下的长度为 $(\frac{2}{3})^2×(1-\frac{1}{3})=(\frac{2}{3})^3$ 米；
……
观察规律可得，第$k$次截完后剩下的木棒长度为$(\frac{2}{3})^k$ 米。
当$k=10$时，剩下的木棒长度为 $(\frac{2}{3})^{10}=\frac{1024}{59049}$ 米。
最终
初始木棒长度为1米。
第一次截去$\frac{1}{3}$后，剩下的长度为 $1×(1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}$ 米；
第二次截去剩余部分的$\frac{1}{3}$后，剩下的长度为 $\frac{2}{3}×(1-\frac{1}{3})=(\frac{2}{3})^2$ 米；
第三次截完后剩下的长度为 $(\frac{2}{3})^2×(1-\frac{1}{3})=(\frac{2}{3})^3$ 米；
……
观察规律可得，第$k$次截完后剩下的木棒长度为$(\frac{2}{3})^k$ 米。
当$k=10$时，剩下的木棒长度为 $(\frac{2}{3})^{10}=\frac{1024}{59049}$ 米。
最终
10 将一根细长的绳子沿中间对折，再将对折后的绳子沿中间对折，这样连续对折7次，最后用剪刀沿对折7次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成段。
刷易错 ▶………………小心有坑~
刷易错 ▶………………小心有坑~
答案
解：
对折1次后沿中间剪断，绳子得到的段数为：$2^1 + 1 = 3$；
对折2次后沿中间剪断，绳子得到的段数为：$2^2 + 1 = 5$；
对折3次后沿中间剪断，绳子得到的段数为：$2^3 + 1 = 9$；
归纳可得：连续对折$n$次后沿中间剪断，绳子的段数为$2^n + 1$。
当$n=7$时，$2^7 + 1 = 128 + 1 = 129$。
所以此时绳子将被剪成$\boldsymbol{129}$段。
对折1次后沿中间剪断，绳子得到的段数为：$2^1 + 1 = 3$；
对折2次后沿中间剪断，绳子得到的段数为：$2^2 + 1 = 5$；
对折3次后沿中间剪断，绳子得到的段数为：$2^3 + 1 = 9$；
归纳可得：连续对折$n$次后沿中间剪断，绳子的段数为$2^n + 1$。
当$n=7$时，$2^7 + 1 = 128 + 1 = 129$。
所以此时绳子将被剪成$\boldsymbol{129}$段。
11 下列各组数中,数值相等的是 (
A.$3^4$ 和 $4^3$
B.$-2^3$ 和 $(-2)^3$
C.$-4^2$ 和 $(-4)^2$
D.$(-2×3)^2$ 和 $-2^2×3^2$
B
)A.$3^4$ 和 $4^3$
B.$-2^3$ 和 $(-2)^3$
C.$-4^2$ 和 $(-4)^2$
D.$(-2×3)^2$ 和 $-2^2×3^2$
答案
11. B 【解析】因为 $3^4 = 81,4^3 = 64$,所以 $3^4 ≠ 4^3$,故 A 选项不符合题意;因为 $-2^3 = -8$,$(-2)^3 = -8$,所以$-2^3 = (-2)^3$,故 B 选项符合题意;因为$-4^2 = -16$,$(-4)^2 = 16$,所以$-4^2 ≠ (-4)^2$,故 C 选项不符合题意;因为 $(-2×3)^2 = 36,-2^2×3^2 = -36$,所以$(-2×3)^2 ≠ -2^2×3^2$,故 D 选项不符合题意. 故选 B.
易错警示 $-a^n$ 表示 $a^n$ 的相反数,底数为 $a$;$(-a)^n$ 的底数为 $-a$.
易错警示 $-a^n$ 表示 $a^n$ 的相反数,底数为 $a$;$(-a)^n$ 的底数为 $-a$.
