1[2026江苏无锡调研,中]两个不为零的有理数相除,如果交换被除数与除数的位置,它们的商不变,那么这两个数 ()

A.一定相等
B.一定互为倒数
C.一定互为相反数
D.相等或互为相反数

D 【解析】两个不为零的有理数相除,如果交换被除数与除数的位置,根据有理数的除法运算法则,可知它们的商互为倒数. 又因为它们的商不变,所以由倒数是它本身的数是$\pm1$可得它们的商为$\pm1$,所以被除数与除数相等或互为相反数. 故选 D.

2[中]任何一个正整数$n$都可以进行这样的分解：$n=p×q(p,q$是正整数，且$p≤q)$.如果在$n$的所有分解中两因数$p,q$之差的绝对值最小，我们就称$p×q$是$n$的最佳分解，并规定$S(n)=\frac{p}{q}$.例如：18可以分解成$1×18$或$2×9$或$3×6$，则$S(18)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$;35可以分解成$1×35$或$5×7$，则$S(35)=\frac{5}{7}$.那么$S(128)$的值是 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{32}$

A 【解析】因为$128=1×128=2×64=4×32=8×16$,所以$S(128)=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$,故选 A.

3[2025江苏南京调研,中]从-5,-3,-1,2,4中任取2个数,所得积的最大值记为$a$,所得商的最小值记为$b$,则$\frac{a}{b}$的值为.

$-\dfrac{15}{4}$ 【解析】由题意得$a=-5×(-3)=15$,$b=\dfrac{4}{-1}=-4$,所以$\dfrac{a}{b}=\dfrac{15}{-4}=-\dfrac{15}{4}$. 故答案为$-\dfrac{15}{4}$.

4[中]三个互不相等的有理数,既可以表示为0, $b,\dfrac{b}{a}$的形式,也可以表示为$1,a,a+b$的形式,那么$a-b=$.

-2 【解析】因为三个互不相等的有理数,既可以表示为$0,b,\dfrac{b}{a}$的形式,又可以表示为$1,a,a+b$的形式,所以这两组数分别对应相等,所以$a+b$与$a$中有一个是$0$,$\dfrac{b}{a}$与$b$中有一个是1. 若$a=0$,则$\dfrac{b}{a}$无意义,所以$a≠0$,所以$a+b=0$,即$a=-b$,所以$\dfrac{b}{a}=-1$,所以$b=1$,所以$a=-1$,所以$a-b=-1-1=-2$. 故答案为$-2$.

5[中]数学老师布置了一道思考题“计算：$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$”，嘉嘉和琪琪两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题。
嘉嘉的解法：原式$=(-\frac{1}{30})÷[(\frac{2}{3}+\frac{1}{6})-(\frac{1}{10}+\frac{2}{5})]=(-\frac{1}{30})÷(\frac{5}{6}-\frac{1}{2})=-\frac{1}{30}×3=-\frac{1}{10}$。
琪琪的解法：原式的倒数为$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)=-20+3-5+12=-10$，故原式$=-\frac{1}{10}$。
(1)你觉得的解法更好。
(2)请你用自己喜欢的解法解答下面的问题。
计算：$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$。
刷素养 走向重高

(1)琪琪(答案不唯一)
(2)【解】选择琪琪的解法:原式的倒数为$(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7})÷(-\dfrac{1}{42})=(\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{7})×(-42)=-7+9-28+12=-14$,故原式$=-\dfrac{1}{14}$.(选择嘉嘉的解法也可以)

6 核心素养运算能力[较难]请利用绝对值的性质，解决下列问题：
(1)已知$a,b$是有理数，当$a＞0$时，$\frac{a}{|a|}=$；当$b＜0$时，$\frac{b}{|b|}=$.
(2)已知$a,b$是有理数，且$ab＜0$，求$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值.
(3)已知$a,b,c$是有理数，$a+b+c=0,abc＜0$，求$\frac{b+c}{|a|}+\frac{a+c}{|b|}+\frac{a+b}{|c|}$的值.
(4)已知$a,b,c$是有理数，当$abc≠0$时，求$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}+\frac{c}{|c|}$的值.

【解】(1)因为$a＞0$,所以$|a|=a$,所以$\dfrac{a}{|a|}=1$.
因为$b＜0$,所以$|b|=-b$,所以$\dfrac{b}{|b|}=\dfrac{b}{-b}=-1$. 故答案为$1,-1$.
(2)因为$ab＜0$,所以$a,b$异号. 不妨设$a＞0,b＜0$,则$\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{|b|}{b}=\dfrac{a}{a}+\dfrac{-b}{b}=1-1=0$. 当$a＜0,b＞0$时同理,故原式$=0$.
(3)因为$a+b+c=0$,$abc＜0$,所以三个数中必有两个正数,一个负数,$b+c=-a$,$a+c=-b$,$a+b=-c$. 可设$a＞0,b＞0,c＜0$,则原式$=\dfrac{-a}{a}+\dfrac{-b}{b}+\dfrac{-c}{-c}=-1-1+1=-1$. 其他情况同理,故原式$=-1$.
(4)①三个数均大于0时,原式$=1+1+1=3$;
②三个数均小于0时,原式$=-1-1-1=-3$;
③一个数大于0,另两个数小于0时,原式$=1-1-1=-1$;
④两个数大于0,另一个数小于0时,原式$=1+1-1=1$. 综上所述,原式的值为3或-3或1或-1.