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1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（
A.$\begin{cases} x + y = 4, \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 2a - 3b = 11, \\ 5b - 4c = 6 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x^2 = 9, \\ y = 2x \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 8, \\ x^2 - y = 4 \end{cases}$
A
）A.$\begin{cases} x + y = 4, \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 2a - 3b = 11, \\ 5b - 4c = 6 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x^2 = 9, \\ y = 2x \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 8, \\ x^2 - y = 4 \end{cases}$
答案
A
解析
【分析】
要判断一个方程组是否为二元一次方程组，首先要牢记二元一次方程组的三个核心判定条件：1. 方程组内一共只含有2个不同的未知数；2. 每个方程中含未知数的项的次数都为1；3. 所有方程都是整式方程。解题时我们只需对照这三个条件，逐一排查各个选项，即可选出符合要求的答案。
【解析】
我们结合二元一次方程组的判定条件逐个分析选项：
A选项：方程组共有x、y2个未知数，两个方程中含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，符合二元一次方程组的定义。
B选项：方程组中出现了a、b、c共3个不同的未知数，属于三元方程组，不符合要求。
C选项：第一个方程中x的次数是2，属于二次方程，不符合一次的要求。
D选项：第二个方程中x的次数是2，属于二次方程，不符合一次的要求。
综上，只有A选项符合二元一次方程组的定义。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握二元一次方程组的判定要素，排查选项时要重点注意未知数的总个数、未知数的最高次数两个易错点，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
要判断一个方程组是否为二元一次方程组，首先要牢记二元一次方程组的三个核心判定条件：1. 方程组内一共只含有2个不同的未知数；2. 每个方程中含未知数的项的次数都为1；3. 所有方程都是整式方程。解题时我们只需对照这三个条件，逐一排查各个选项，即可选出符合要求的答案。
【解析】
我们结合二元一次方程组的判定条件逐个分析选项：
A选项：方程组共有x、y2个未知数，两个方程中含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，符合二元一次方程组的定义。
B选项：方程组中出现了a、b、c共3个不同的未知数，属于三元方程组，不符合要求。
C选项：第一个方程中x的次数是2，属于二次方程，不符合一次的要求。
D选项：第二个方程中x的次数是2，属于二次方程，不符合一次的要求。
综上，只有A选项符合二元一次方程组的定义。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握二元一次方程组的判定要素，排查选项时要重点注意未知数的总个数、未知数的最高次数两个易错点，避免粗心出错。
【难度系数】
0.85
2. 在下列实数$\sqrt{3},0.35,\frac{π}{3},\frac{1}{7},\sqrt{9},1.212212221,\dots$(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
首先明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数；②含π的数；③有规律但无限不循环的小数。解题时先对能化简的数先化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
根据定义，有理数包括整数、分数（有限小数和无限循环小数都属于分数范畴），无限不循环小数是无理数，逐个分析所给实数：
1. $\sqrt{3}$：3开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
2. $0.35$：是有限小数，属于有理数；
3. $\frac{π}{3}$：π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\frac{1}{7}$：是分数，属于有理数；
5. $\sqrt{9}=3$：是整数，属于有理数；
6. $1.212212221\dots$（每两个1之间依次多一个2）：是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别、实数的分类、算术平方根计算
【点评】
本题核心考查无理数的判断，解题关键是牢记无理数的常见类型，注意不要直接将带根号的数判定为无理数，需先化简再判断，同时要明确所有分数都是有理数，有规律但不循环的无限小数也属于无理数。
【难度系数】
0.7
首先明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数；②含π的数；③有规律但无限不循环的小数。解题时先对能化简的数先化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
根据定义，有理数包括整数、分数（有限小数和无限循环小数都属于分数范畴），无限不循环小数是无理数，逐个分析所给实数：
1. $\sqrt{3}$：3开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
2. $0.35$：是有限小数，属于有理数；
3. $\frac{π}{3}$：π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\frac{1}{7}$：是分数，属于有理数；
5. $\sqrt{9}=3$：是整数，属于有理数；
6. $1.212212221\dots$（每两个1之间依次多一个2）：是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别、实数的分类、算术平方根计算
【点评】
本题核心考查无理数的判断，解题关键是牢记无理数的常见类型，注意不要直接将带根号的数判定为无理数，需先化简再判断，同时要明确所有分数都是有理数，有规律但不循环的无限小数也属于无理数。
【难度系数】
0.7
3.为了了解我区七年级4 300名学生的身高情况,从中抽取了300名学生测量身高,在这个问题中,样本是（
A.4 300
B.4 300名
C.300名学生的身高情况
D.300名学生
C
）A.4 300
B.4 300名
C.300名学生的身高情况
D.300名学生
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确统计中样本的定义：样本是从总体中抽取的、用于反映总体特征的一部分考察对象。解题时首先要确定本题的考察对象是学生的身高情况，而非学生本身，再结合选项逐一判断即可。
【解析】
首先明确各统计概念对应的内容：
1. 本题的考察目标是学生的身高情况，因此总体是我区七年级4300名学生的身高情况；
2. 样本是从总体中抽取的部分考察对象，即抽取的300名学生的身高情况。
逐一分析选项：
A. 4300是学生总人数的数值，不属于样本，错误；
B. 4300名指向的是总体的学生数量，不是样本，错误；
C. 300名学生的身高情况符合样本的定义，正确；
D. 300名学生是考察的载体，不是考察对象（身高情况）本身，错误。
【答案】
C
【知识点】
样本的定义；统计调查基本概念
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，核心考查对统计相关概念的辨析，易错点是容易混淆考察载体和考察对象，只要先明确题目要研究的目标内容，就能准确区分各个概念选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确统计中样本的定义：样本是从总体中抽取的、用于反映总体特征的一部分考察对象。解题时首先要确定本题的考察对象是学生的身高情况，而非学生本身，再结合选项逐一判断即可。
【解析】
首先明确各统计概念对应的内容：
1. 本题的考察目标是学生的身高情况，因此总体是我区七年级4300名学生的身高情况；
2. 样本是从总体中抽取的部分考察对象，即抽取的300名学生的身高情况。
逐一分析选项：
A. 4300是学生总人数的数值，不属于样本，错误；
B. 4300名指向的是总体的学生数量，不是样本，错误；
C. 300名学生的身高情况符合样本的定义，正确；
D. 300名学生是考察的载体，不是考察对象（身高情况）本身，错误。
【答案】
C
【知识点】
样本的定义；统计调查基本概念
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，核心考查对统计相关概念的辨析，易错点是容易混淆考察载体和考察对象，只要先明确题目要研究的目标内容，就能准确区分各个概念选出正确答案。
【难度系数】
0.8
4.在平面直角坐标系中,点P在第四象限,且点P到x轴的距离为8,到y轴的距离为2,则点P的坐标是 (
A.$(8,-2)$
B.$(2,8)$
C.$(-8,2)$
D.$(2,-8)$
D
)A.$(8,-2)$
B.$(2,8)$
C.$(-8,2)$
D.$(2,-8)$
答案
D
解析
【分析】
解题可分为两步思考：第一步先回忆第四象限内点的坐标符号规律，确定横、纵坐标的正负属性；第二步明确点到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标、横坐标的绝对值，结合符号属性就能求出点P的具体坐标。
【解析】
1. 确定象限坐标符号特征：第四象限内的点，横坐标为正，纵坐标为负，即坐标形式为（正，负）。
2. 明确点到坐标轴的距离的含义：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。已知点P到x轴的距离为8，因此|纵坐标|=8；点P到y轴的距离为2，因此|横坐标|=2。
3. 结合符号确定坐标：横坐标为正，因此横坐标取值为2；纵坐标为负，因此纵坐标取值为-8，即点P的坐标为$(2,-8)$。
【答案】
D
【知识点】
象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，点的坐标确定
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础概念题，易错点是混淆点到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标还是横坐标的绝对值，或是记错各象限的坐标符号，掌握核心概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题可分为两步思考：第一步先回忆第四象限内点的坐标符号规律，确定横、纵坐标的正负属性；第二步明确点到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标、横坐标的绝对值，结合符号属性就能求出点P的具体坐标。
【解析】
1. 确定象限坐标符号特征：第四象限内的点，横坐标为正，纵坐标为负，即坐标形式为（正，负）。
2. 明确点到坐标轴的距离的含义：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值。已知点P到x轴的距离为8，因此|纵坐标|=8；点P到y轴的距离为2，因此|横坐标|=2。
3. 结合符号确定坐标：横坐标为正，因此横坐标取值为2；纵坐标为负，因此纵坐标取值为-8，即点P的坐标为$(2,-8)$。
【答案】
D
【知识点】
象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，点的坐标确定
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础概念题，易错点是混淆点到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标还是横坐标的绝对值，或是记错各象限的坐标符号，掌握核心概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果，若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为x，则列式正确的是（
A.$0＜5x+12-8(x-1)≤8$
B.$0≤5x+12-8(x-1)＜8$
C.$1＜5x+12-8(x-1)≤8$
D.$1≤5x+12-8(x-1)＜8$
D
）A.$0＜5x+12-8(x-1)≤8$
B.$0≤5x+12-8(x-1)＜8$
C.$1＜5x+12-8(x-1)≤8$
D.$1≤5x+12-8(x-1)＜8$
答案
D
解析
【分析】
解题时先确定苹果的总数量，再表示出第二种分法下最后一名学生分到的苹果数，最后结合题目的不等关系列式。第一步，根据第一种分法“每人分5个剩12个”，可得出苹果总数量为5x+12；第二步，第二种分法中，有(x-1)名学生分到了8个苹果，这部分学生分走的苹果总数为8(x-1)，因此最后1名学生分到的苹果数为总苹果数减去这部分数量，即5x+12-8(x-1)；第三步，找不等关系：题目明确每个学生都分到苹果，说明最后1名学生至少分到1个，即该式≥1；又因为这名学生所分苹果不足8个，即该式＜8，综合两个不等关系即可得到正确不等式。
【解析】
解：首先计算苹果总数量：
由“每个学生分5个苹果，还剩12个”，得苹果总数为 $\boldsymbol{5x+12}$。
第二种分法中，有 $(x-1)$ 名学生每人分到8个苹果，这部分学生共分得苹果：$\boldsymbol{8(x-1)}$。
则最后1名学生分到的苹果数为：$5x+12 - 8(x-1)$。
结合题意找不等关系：
① 每个学生都分到苹果，因此最后1名学生分到的苹果数≥1，即 $5x+12-8(x-1) ≥ 1$；
② 该学生所分苹果不足8个，因此 $5x+12-8(x-1) ＜ 8$。
联立得不等式：$\boldsymbol{1 ≤ 5x+12-8(x-1) ＜ 8}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式应用
2. 实际问题不等关系
【点评】
本题是不等式实际应用的典型题型，解题的核心是准确表示出最后一名学生分到的苹果数量，需注意挖掘“每个学生都分到苹果”的隐含条件，避免因忽略该条件误选B选项。
【难度系数】
0.7
解题时先确定苹果的总数量，再表示出第二种分法下最后一名学生分到的苹果数，最后结合题目的不等关系列式。第一步，根据第一种分法“每人分5个剩12个”，可得出苹果总数量为5x+12；第二步，第二种分法中，有(x-1)名学生分到了8个苹果，这部分学生分走的苹果总数为8(x-1)，因此最后1名学生分到的苹果数为总苹果数减去这部分数量，即5x+12-8(x-1)；第三步，找不等关系：题目明确每个学生都分到苹果，说明最后1名学生至少分到1个，即该式≥1；又因为这名学生所分苹果不足8个，即该式＜8，综合两个不等关系即可得到正确不等式。
【解析】
解：首先计算苹果总数量：
由“每个学生分5个苹果，还剩12个”，得苹果总数为 $\boldsymbol{5x+12}$。
第二种分法中，有 $(x-1)$ 名学生每人分到8个苹果，这部分学生共分得苹果：$\boldsymbol{8(x-1)}$。
则最后1名学生分到的苹果数为：$5x+12 - 8(x-1)$。
结合题意找不等关系：
① 每个学生都分到苹果，因此最后1名学生分到的苹果数≥1，即 $5x+12-8(x-1) ≥ 1$；
② 该学生所分苹果不足8个，因此 $5x+12-8(x-1) ＜ 8$。
联立得不等式：$\boldsymbol{1 ≤ 5x+12-8(x-1) ＜ 8}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式应用
2. 实际问题不等关系
【点评】
本题是不等式实际应用的典型题型，解题的核心是准确表示出最后一名学生分到的苹果数量，需注意挖掘“每个学生都分到苹果”的隐含条件，避免因忽略该条件误选B选项。
【难度系数】
0.7
6.如图,已知AB//CD,CG交AB于点G,且∠C=α,GE平分∠BGC,点H是CD上的一个定点,点P是GE所在直线上的一个动点,则点P在运动过程中,∠GPH与∠PHC的关系不可能是 (
A.∠GPH−∠PHC=$\frac{1}{2}α$
B.∠GPH+∠PHC=$\frac{1}{2}α$
C.∠GPH+∠PHC+$\frac{1}{2}α$=180°
D.∠PHC+∠GPH+$\frac{1}{2}α$=360°
D
)A.∠GPH−∠PHC=$\frac{1}{2}α$
B.∠GPH+∠PHC=$\frac{1}{2}α$
C.∠GPH+∠PHC+$\frac{1}{2}α$=180°
D.∠PHC+∠GPH+$\frac{1}{2}α$=360°
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据平行线的内错角相等性质，结合已知∠C=α，求出∠BGC的度数；第二步，利用角平分线的定义，得到GE分∠BGC所得的两个角均为$\frac{1}{2}α$；第三步，因为P是GE上的动点，需分P在直线GE上的不同位置，过P作AB的平行线，利用平行线的性质推导∠GPH与∠PHC的数量关系，逐一验证选项是否可能即可。
【解析】
1. 求角平分线分得的角度：
∵$AB// CD$，GC为两条平行线的截线，∠BGC与∠C是内错角
∴$∠ BGC=∠ C=α$
∵GE平分$∠ BGC$
∴$∠ BGE=∠ CGE=\frac{1}{2}∠ BGC=\frac{1}{2}α$
2. 分类讨论动点P的位置，过P作$PQ// AB$，由$AB// CD$可推出$PQ// CD$：
（1）当P在GC右侧的GE线段上时：
$PQ// CD$，∠PHC与∠HPQ为同旁内角，因此$∠ PHC+∠ HPQ=180°$；
$PQ// AB$，∠GPQ与∠BGE为内错角，因此$∠ GPQ=\frac{1}{2}α$；
又$∠ HPQ=∠ GPH+∠ GPQ$，代入得$∠ GPH+∠ PHC+\frac{1}{2}α=180°$，对应选项C，可能成立。
（2）当P在G和C之间的GE线段上时：
$PQ// CD$，∠PHC与∠HPQ为内错角，因此$∠ PHC=∠ HPQ$；
$PQ// AB$，$∠ GPQ=\frac{1}{2}α$，且$∠ HPQ=∠ GPH+∠ GPQ$，整理可得$∠ GPH-∠ PHC=\frac{1}{2}α$（调整P的位置即可得到该关系），对应选项A，可能成立。
（3）当P在C下方的GE延长线上时：
根据平行线性质或三角形外角关系，可推导得$∠ GPH+∠ PHC=\frac{1}{2}α$，对应选项B，可能成立。
3. 判断选项D：
∠PHC和∠GPH均为小于$180°$的角，二者之和小于$360°$，又$\frac{1}{2}α＞0$，因此$∠ PHC+∠ GPH+\frac{1}{2}α＜360°$，不可能等于$360°$，故D不可能。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；动点分类讨论
【点评】
本题是平行线与角平分线的综合应用型题目，解题核心是对动点的位置进行分类讨论，通过作平行辅助线转化角的数量关系，逐一排除可成立的选项即可得到答案。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，先根据平行线的内错角相等性质，结合已知∠C=α，求出∠BGC的度数；第二步，利用角平分线的定义，得到GE分∠BGC所得的两个角均为$\frac{1}{2}α$；第三步，因为P是GE上的动点，需分P在直线GE上的不同位置，过P作AB的平行线，利用平行线的性质推导∠GPH与∠PHC的数量关系，逐一验证选项是否可能即可。
【解析】
1. 求角平分线分得的角度：
∵$AB// CD$，GC为两条平行线的截线，∠BGC与∠C是内错角
∴$∠ BGC=∠ C=α$
∵GE平分$∠ BGC$
∴$∠ BGE=∠ CGE=\frac{1}{2}∠ BGC=\frac{1}{2}α$
2. 分类讨论动点P的位置，过P作$PQ// AB$，由$AB// CD$可推出$PQ// CD$：
（1）当P在GC右侧的GE线段上时：
$PQ// CD$，∠PHC与∠HPQ为同旁内角，因此$∠ PHC+∠ HPQ=180°$；
$PQ// AB$，∠GPQ与∠BGE为内错角，因此$∠ GPQ=\frac{1}{2}α$；
又$∠ HPQ=∠ GPH+∠ GPQ$，代入得$∠ GPH+∠ PHC+\frac{1}{2}α=180°$，对应选项C，可能成立。
（2）当P在G和C之间的GE线段上时：
$PQ// CD$，∠PHC与∠HPQ为内错角，因此$∠ PHC=∠ HPQ$；
$PQ// AB$，$∠ GPQ=\frac{1}{2}α$，且$∠ HPQ=∠ GPH+∠ GPQ$，整理可得$∠ GPH-∠ PHC=\frac{1}{2}α$（调整P的位置即可得到该关系），对应选项A，可能成立。
（3）当P在C下方的GE延长线上时：
根据平行线性质或三角形外角关系，可推导得$∠ GPH+∠ PHC=\frac{1}{2}α$，对应选项B，可能成立。
3. 判断选项D：
∠PHC和∠GPH均为小于$180°$的角，二者之和小于$360°$，又$\frac{1}{2}α＞0$，因此$∠ PHC+∠ GPH+\frac{1}{2}α＜360°$，不可能等于$360°$，故D不可能。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；动点分类讨论
【点评】
本题是平行线与角平分线的综合应用型题目，解题核心是对动点的位置进行分类讨论，通过作平行辅助线转化角的数量关系，逐一排除可成立的选项即可得到答案。
【难度系数】
0.6
7.已知a、b为两个连续整数，且$a＜\sqrt{7}＜b$，则$a+b=$
5
。答案
5
解析
【分析】
解题时首先要明确目标：找到满足$a＜\sqrt{7}＜b$的两个连续整数$a$、$b$。我们可以利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的正算术平方根也越大，先找到和7相邻的两个完全平方数，开方后就能确定$\sqrt{7}$的整数范围，进而得到$a$、$b$的值，最后计算$a+b$即可。
【解析】
解：
∵$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
∴根据算术平方根的性质可得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
又
∵$a$、$b$是连续整数，且$a＜\sqrt{7}＜b$
∴$a=2$，$b=3$
∴$a+b=2+3=5$
【答案】
5
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是无理数估算的基础典型题，解题关键是熟练记忆常见正整数的平方值，结合算术平方根的性质快速确定无理数的取值范围，计算量小，掌握方法后可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确目标：找到满足$a＜\sqrt{7}＜b$的两个连续整数$a$、$b$。我们可以利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的正算术平方根也越大，先找到和7相邻的两个完全平方数，开方后就能确定$\sqrt{7}$的整数范围，进而得到$a$、$b$的值，最后计算$a+b$即可。
【解析】
解：
∵$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
∴根据算术平方根的性质可得$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
又
∵$a$、$b$是连续整数，且$a＜\sqrt{7}＜b$
∴$a=2$，$b=3$
∴$a+b=2+3=5$
【答案】
5
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是无理数估算的基础典型题，解题关键是熟练记忆常见正整数的平方值，结合算术平方根的性质快速确定无理数的取值范围，计算量小，掌握方法后可快速作答。
【难度系数】
0.8
8.如图,已知条件:①∠1=∠2;②∠3+∠4=180°;③∠5+∠6=180°;④∠7=∠2+∠3;其中能够判定直线a//b的是
①②③④
.(只填序号)答案
①②③④
解析
【分析】
要判定直线a//b，需依据平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。我们只需逐个验证给出的角的条件，看是否能通过角的性质代换得到符合平行线判定的角的关系即可。
【解析】
我们逐一分析四个条件：
1. 条件①：∠1和∠2是直线a、b被同一条截线所截形成的内错角，若∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定a//b；
2. 条件②：∠4和它的对顶角相等，已知∠3+∠4=180°，可得∠3与∠4的对顶角（直线a、b被截形成的同旁内角）互补，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定a//b；
3. 条件③：∠5和它的对顶角相等，∠6和它的邻补角互补，已知∠5+∠6=180°，可推出∠5的对顶角=∠6的邻补角，这两个角是直线a、b被截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定a//b；
4. 条件④：根据三角形外角的性质，∠7=∠1+∠3，已知∠7=∠2+∠3，两式相减可得∠1=∠2，即内错角相等，可判定a//b。
综上，四个条件都可判定a//b。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行线的判定，对顶角的性质，等量代换
【点评】
本题综合考查平行线的判定规则，做题时要先明确截线和被截线，结合角的性质进行等量代换，转化为平行线判定的标准角的关系即可解题，易错点是容易忽略条件④的推导，或混淆角的位置关系。
【难度系数】
0.7
要判定直线a//b，需依据平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。我们只需逐个验证给出的角的条件，看是否能通过角的性质代换得到符合平行线判定的角的关系即可。
【解析】
我们逐一分析四个条件：
1. 条件①：∠1和∠2是直线a、b被同一条截线所截形成的内错角，若∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定a//b；
2. 条件②：∠4和它的对顶角相等，已知∠3+∠4=180°，可得∠3与∠4的对顶角（直线a、b被截形成的同旁内角）互补，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定a//b；
3. 条件③：∠5和它的对顶角相等，∠6和它的邻补角互补，已知∠5+∠6=180°，可推出∠5的对顶角=∠6的邻补角，这两个角是直线a、b被截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定a//b；
4. 条件④：根据三角形外角的性质，∠7=∠1+∠3，已知∠7=∠2+∠3，两式相减可得∠1=∠2，即内错角相等，可判定a//b。
综上，四个条件都可判定a//b。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行线的判定，对顶角的性质，等量代换
【点评】
本题综合考查平行线的判定规则，做题时要先明确截线和被截线，结合角的性质进行等量代换，转化为平行线判定的标准角的关系即可解题，易错点是容易忽略条件④的推导，或混淆角的位置关系。
【难度系数】
0.7
9.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＞ 7, \\x - a ≤ 0\end{cases}$无解，且关于$x$的方程$ax = 3x + 2$的解为整数，则满足条件的所有整数$a$的和为 ______ 。
答案
7
解析
【分析】
首先分别求解不等式组中的两个不等式，根据“大大小小无处找”的不等式组无解规则确定a的取值范围；再求解含参数a的一元一次方程，根据解为整数的要求，结合整数因数的性质找出a的所有可能取值，最后和前面得到的a的范围对照筛选出符合条件的整数a，求和即可。解题时注意要排除使方程一次项系数为0的a的取值，避免出错。
【解析】
1. 求解不等式组确定a的范围：
解不等式$2x-1＞7$，移项得$2x＞8$，解得$x＞4$；
解不等式$x-a≤0$，移项得$x≤a$；
∵不等式组无解，
∴$a≤4$。
2. 解方程并筛选符合条件的a：
对方程$ax=3x+2$移项得$ax-3x=2$，合并同类项得$(a-3)x=2$；
若$a=3$，方程左边为0，右边为2，方程无解，不符合要求，故$a≠3$，此时$x=\frac{2}{a-3}$；
∵方程的解为整数，a为整数，
∴$a-3$是2的整数因数，即$a-3=±1、±2$：
当$a-3=1$时，$a=4$，$x=2$为整数，且$a=4≤4$，符合条件；
当$a-3=-1$时，$a=2$，$x=-2$为整数，且$a=2≤4$，符合条件；
当$a-3=2$时，$a=5$，$5＞4$，不符合a的范围，舍去；
当$a-3=-2$时，$a=1$，$x=-1$为整数，且$a=1≤4$，符合条件。
3. 计算符合条件的整数a的和：$4+2+1=7$。
【答案】
7
【知识点】
一元一次不等式组解法，含参一元一次方程求解，不等式组解集判定
【点评】
本题属于不等式与方程的综合题型，需要结合两个限制条件逐步筛选参数的取值，易错点是容易遗漏方程一次项系数不为0的要求，或者忽略不等式组的范围限制导致多算不符合条件的参数值。
【难度系数】
0.6
首先分别求解不等式组中的两个不等式，根据“大大小小无处找”的不等式组无解规则确定a的取值范围；再求解含参数a的一元一次方程，根据解为整数的要求，结合整数因数的性质找出a的所有可能取值，最后和前面得到的a的范围对照筛选出符合条件的整数a，求和即可。解题时注意要排除使方程一次项系数为0的a的取值，避免出错。
【解析】
1. 求解不等式组确定a的范围：
解不等式$2x-1＞7$，移项得$2x＞8$，解得$x＞4$；
解不等式$x-a≤0$，移项得$x≤a$；
∵不等式组无解，
∴$a≤4$。
2. 解方程并筛选符合条件的a：
对方程$ax=3x+2$移项得$ax-3x=2$，合并同类项得$(a-3)x=2$；
若$a=3$，方程左边为0，右边为2，方程无解，不符合要求，故$a≠3$，此时$x=\frac{2}{a-3}$；
∵方程的解为整数，a为整数，
∴$a-3$是2的整数因数，即$a-3=±1、±2$：
当$a-3=1$时，$a=4$，$x=2$为整数，且$a=4≤4$，符合条件；
当$a-3=-1$时，$a=2$，$x=-2$为整数，且$a=2≤4$，符合条件；
当$a-3=2$时，$a=5$，$5＞4$，不符合a的范围，舍去；
当$a-3=-2$时，$a=1$，$x=-1$为整数，且$a=1≤4$，符合条件。
3. 计算符合条件的整数a的和：$4+2+1=7$。
【答案】
7
【知识点】
一元一次不等式组解法，含参一元一次方程求解，不等式组解集判定
【点评】
本题属于不等式与方程的综合题型，需要结合两个限制条件逐步筛选参数的取值，易错点是容易遗漏方程一次项系数不为0的要求，或者忽略不等式组的范围限制导致多算不符合条件的参数值。
【难度系数】
0.6
10.若点$A(x,y)$的坐标满足等式$x+y-xy=0$，则称该点$A$为“和谐点”。若某个“和谐点”到$x$轴的距离为3，则该点的坐标为
$(\frac{3}{2},3)$或$(\frac{3}{4},-3)$
。答案
$(\frac{3}{2},3)$或$(\frac{3}{4},-3)$
解析
【分析】
首先明确“和谐点”的定义：坐标满足$x+y-xy=0$的点就是和谐点。其次，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，所以先根据“到x轴距离为3”确定纵坐标y的两个可能取值，再分别把y的值代入和谐点的等式，解一元一次方程求出对应的x值，就能得到所求点的坐标，解题时要注意分类讨论，不要遗漏纵坐标为负的情况。
【解析】
∵ 点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，该“和谐点”到x轴的距离为3，
∴ $|y|=3$，即$y=3$或$y=-3$，分两种情况计算：
① 当$y=3$时，代入$x+y-xy=0$得：
$x+3-3x=0$
整理得：$-2x+3=0$
解得：$x=\frac{3}{2}$，对应点的坐标为$(\frac{3}{2},3)$；
② 当$y=-3$时，代入$x+y-xy=0$得：
$x-3+3x=0$
整理得：$4x-3=0$
解得：$x=\frac{3}{4}$，对应点的坐标为$(\frac{3}{4},-3)$。
【答案】
$(\frac{3}{2},3)$或$(\frac{3}{4},-3)$
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 解一元一次方程
3. 新定义概念应用
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系的基础性质，解题的关键是先根据点到x轴的距离确定纵坐标的两类取值，再分类代入求解，需注意绝对值取值的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先明确“和谐点”的定义：坐标满足$x+y-xy=0$的点就是和谐点。其次，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，所以先根据“到x轴距离为3”确定纵坐标y的两个可能取值，再分别把y的值代入和谐点的等式，解一元一次方程求出对应的x值，就能得到所求点的坐标，解题时要注意分类讨论，不要遗漏纵坐标为负的情况。
【解析】
∵ 点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，该“和谐点”到x轴的距离为3，
∴ $|y|=3$，即$y=3$或$y=-3$，分两种情况计算：
① 当$y=3$时，代入$x+y-xy=0$得：
$x+3-3x=0$
整理得：$-2x+3=0$
解得：$x=\frac{3}{2}$，对应点的坐标为$(\frac{3}{2},3)$；
② 当$y=-3$时，代入$x+y-xy=0$得：
$x-3+3x=0$
整理得：$4x-3=0$
解得：$x=\frac{3}{4}$，对应点的坐标为$(\frac{3}{4},-3)$。
【答案】
$(\frac{3}{2},3)$或$(\frac{3}{4},-3)$
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 解一元一次方程
3. 新定义概念应用
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系的基础性质，解题的关键是先根据点到x轴的距离确定纵坐标的两类取值，再分类代入求解，需注意绝对值取值的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
