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三、解答题
11. 计算题
(1) $\sqrt{9} - (-1)^{2025} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|$；
(2) $(-2)^3 × \sqrt{(-4)^2} + \sqrt[3]{(-8)^3} × (-\dfrac{1}{2}) - \sqrt[3]{27}$。
11. 计算题
(1) $\sqrt{9} - (-1)^{2025} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|$；
(2) $(-2)^3 × \sqrt{(-4)^2} + \sqrt[3]{(-8)^3} × (-\dfrac{1}{2}) - \sqrt[3]{27}$。
答案
11.(1)$\sqrt{2}$;(2)$-31$.
解析
【分析】
这两道题属于实数混合运算题型，解题遵循“先算乘方、开方、绝对值，再算乘除，最后算加减”的顺序：首先根据乘方、开方的性质化简根式与幂运算项，再判断绝对值内式子的正负去绝对值符号，最后按照有理数四则运算规则合并计算即可，运算过程中重点注意符号的处理。
【解析】
(1) 分别化简各项后计算：
$\sqrt{9}=3$，$(-1)$的奇数次幂为$-1$，故$-(-1)^{2025}=-(-1)=1$；
$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt{2}＞1$即$1-\sqrt{2}＜0$，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=3 + 1 - 3 + (\sqrt{2}-1)\\&=3+1-3+\sqrt{2}-1\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 分别化简各项后先算乘除、再算加减：
$(-2)^3=-8$，$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$；
$\sqrt[3]{(-8)^3}=-8$，$\sqrt[3]{27}=3$；
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(-8)×4 + (-8)×(-\dfrac{1}{2}) - 3\\&=-32 + 4 - 3\\&=-31\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $-31$
【知识点】
实数混合运算，绝对值化简，乘方与开方运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考查各类基础运算的性质，只要熟练掌握乘方、开方、绝对值的化简规则，仔细处理符号问题，就能顺利算出结果。
【难度系数】
0.7
这两道题属于实数混合运算题型，解题遵循“先算乘方、开方、绝对值，再算乘除，最后算加减”的顺序：首先根据乘方、开方的性质化简根式与幂运算项，再判断绝对值内式子的正负去绝对值符号，最后按照有理数四则运算规则合并计算即可，运算过程中重点注意符号的处理。
【解析】
(1) 分别化简各项后计算：
$\sqrt{9}=3$，$(-1)$的奇数次幂为$-1$，故$-(-1)^{2025}=-(-1)=1$；
$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt{2}＞1$即$1-\sqrt{2}＜0$，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=3 + 1 - 3 + (\sqrt{2}-1)\\&=3+1-3+\sqrt{2}-1\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 分别化简各项后先算乘除、再算加减：
$(-2)^3=-8$，$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$；
$\sqrt[3]{(-8)^3}=-8$，$\sqrt[3]{27}=3$；
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(-8)×4 + (-8)×(-\dfrac{1}{2}) - 3\\&=-32 + 4 - 3\\&=-31\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $-31$
【知识点】
实数混合运算，绝对值化简，乘方与开方运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考查各类基础运算的性质，只要熟练掌握乘方、开方、绝对值的化简规则，仔细处理符号问题，就能顺利算出结果。
【难度系数】
0.7
12.某中学七年级(1)班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元.
(1)求篮球和排球的单价各是多少；
(2)商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1 999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？
(1)求篮球和排球的单价各是多少；
(2)商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1 999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？
答案
12.解:(1)设篮球单价为每个$x$元,排球单价为每个$y$元,
由题意可得 $\begin{cases} y=x-25, \\2x+6y=570.\end{cases}$
解方程组得 $\begin{cases} x=90, \\y=65.\end{cases}$
答:篮球每个90元,排球每个65元;
(2)若按照①套餐打折购买费用为:$2(5×90+5×65)×0.8+4×90+2×65=1730$(元),
若参加②满减活动购买费用为:$14×90+12×65=2040$(元),
又$2040＞1999$,
所以$2040-200=1840$(元).
而$1840＞1730$,所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低.
故选用套餐①购买更划算.
由题意可得 $\begin{cases} y=x-25, \\2x+6y=570.\end{cases}$
解方程组得 $\begin{cases} x=90, \\y=65.\end{cases}$
答:篮球每个90元,排球每个65元;
(2)若按照①套餐打折购买费用为:$2(5×90+5×65)×0.8+4×90+2×65=1730$(元),
若参加②满减活动购买费用为:$14×90+12×65=2040$(元),
又$2040＞1999$,
所以$2040-200=1840$(元).
而$1840＞1730$,所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低.
故选用套餐①购买更划算.
解析
【分析】
(1) 本题是二元一次方程组的实际应用题，首先提取题目等量关系：①排球单价=篮球单价-25元；②2个篮球的总价+6个排球的总价=570元，设篮球、排球单价分别为未知数，代入等量关系列方程组求解即可。
(2) 本题是最优方案选择题，分别计算两种活动的总花费再对比大小即可：选套餐活动时，先确定14个篮球、12个排球最多可买几套5篮5排的套餐，剩余球按原价购买，再计算折后总花费；选满减活动时，先算所有球的原价总和，对应满减规则减去优惠金额得到实际花费，最后选花费更低的方案即可。
【解析】
(1) 设篮球单价为每个$x$元，排球单价为每个$y$元，
由题意可得方程组：
$\begin{cases} y=x-25 \\2x+6y=570\end{cases}$
将$y=x-25$代入$2x+6y=570$，得：
$2x+6(x-25)=570$
$8x-150=570$
解得$x=90$
把$x=90$代入$y=x-25$，得$y=65$
即方程组的解为$\begin{cases} x=90 \\y=65\end{cases}$
(2) 分别计算两种活动的花费：
① 选择套餐打折活动：
最多可购买2套套餐，剩余篮球$14-2×5=4$个，剩余排球$12-2×5=2$个，
总花费为：$2×(5×90+5×65)×0.8+4×90+2×65=1730$元。
② 选择满减活动：
所有球原价总和为$14×90+12×65=2040$元，
因$2040＞1999$，符合满1999减200的规则，实际花费为$2040-200=1840$元。
对比得$1730＜1840$，因此选套餐①更划算。
【答案】
(1) 篮球单价为90元/个，排球单价为65元/个；
(2) 选择套餐①购买更划算。
【知识点】
二元一次方程组应用，最优方案选择，折扣计算
【点评】
本题结合生活购物场景设置问题，既考查了利用方程解决实际问题的能力，也考查了逻辑分析和计算能力，解题时需准确梳理数量关系，注意折扣、满减的适用规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是二元一次方程组的实际应用题，首先提取题目等量关系：①排球单价=篮球单价-25元；②2个篮球的总价+6个排球的总价=570元，设篮球、排球单价分别为未知数，代入等量关系列方程组求解即可。
(2) 本题是最优方案选择题，分别计算两种活动的总花费再对比大小即可：选套餐活动时，先确定14个篮球、12个排球最多可买几套5篮5排的套餐，剩余球按原价购买，再计算折后总花费；选满减活动时，先算所有球的原价总和，对应满减规则减去优惠金额得到实际花费，最后选花费更低的方案即可。
【解析】
(1) 设篮球单价为每个$x$元，排球单价为每个$y$元，
由题意可得方程组：
$\begin{cases} y=x-25 \\2x+6y=570\end{cases}$
将$y=x-25$代入$2x+6y=570$，得：
$2x+6(x-25)=570$
$8x-150=570$
解得$x=90$
把$x=90$代入$y=x-25$，得$y=65$
即方程组的解为$\begin{cases} x=90 \\y=65\end{cases}$
(2) 分别计算两种活动的花费：
① 选择套餐打折活动：
最多可购买2套套餐，剩余篮球$14-2×5=4$个，剩余排球$12-2×5=2$个，
总花费为：$2×(5×90+5×65)×0.8+4×90+2×65=1730$元。
② 选择满减活动：
所有球原价总和为$14×90+12×65=2040$元，
因$2040＞1999$，符合满1999减200的规则，实际花费为$2040-200=1840$元。
对比得$1730＜1840$，因此选套餐①更划算。
【答案】
(1) 篮球单价为90元/个，排球单价为65元/个；
(2) 选择套餐①购买更划算。
【知识点】
二元一次方程组应用，最优方案选择，折扣计算
【点评】
本题结合生活购物场景设置问题，既考查了利用方程解决实际问题的能力，也考查了逻辑分析和计算能力，解题时需准确梳理数量关系，注意折扣、满减的适用规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
13.(1)【问题解决】如图1,已知$AB// CD$,$∠ BEP=36°$,$∠ CFP=152°$,求$∠ EPF$的度数;
(2)【问题迁移】如图2,若$AB// CD$,点$P$在$AB$的上方,则$∠ PFC$,$∠ PEA$,$∠ EPF$之间有何数量关系?并说明理由;
(3)【联想拓展】如图3,在(2)的条件下,已知$∠ EPF=α$,$∠ PEA$的平分线和$∠ PFC$的平分线交于点$G$,求$∠ G$的度数(结果用含$α$的式子表示).
(2)【问题迁移】如图2,若$AB// CD$,点$P$在$AB$的上方,则$∠ PFC$,$∠ PEA$,$∠ EPF$之间有何数量关系?并说明理由;
(3)【联想拓展】如图3,在(2)的条件下,已知$∠ EPF=α$,$∠ PEA$的平分线和$∠ PFC$的平分线交于点$G$,求$∠ G$的度数(结果用含$α$的式子表示).
答案
13.解:(1)过点$P$作$PG// AB$,
$\therefore ∠ BEP=∠ EPG=36°$,
$\because AB// CD$,
$\therefore GP// CD$,
$\therefore ∠ FPG=180°-∠ CFP=28°$,
$\therefore ∠ EPF=∠ EPG+∠ FPG=64°$;
(2)$∠ EPF=∠ PFC-∠ PEA$,
理由:过点$P$作$PG// AB$,
$\therefore ∠ EPG=∠ PEA$,
$\because AB// CD$,
$\therefore PG// CD$,
$\therefore ∠ PFC=∠ FPG$,
$\because ∠ EPF=∠ FPG-∠ EPG$,
$\therefore ∠ EPF=∠ PFC-∠ PEA$;
(3)$\because FG$平分$∠ PFC$,$EG$平分$∠ AEP$,
$\therefore ∠ GFC=\dfrac{1}{2}∠ PFC,∠ GEA=\dfrac{1}{2}∠ AEP$,
由(2)可得:$∠ G=∠ GFC-∠ GEA$,
$\because ∠ EPF=∠ PFC-∠ PEA=α$
$\therefore ∠ G=∠ GFC-∠ GEA$
$=\dfrac{1}{2}∠ PFC-\dfrac{1}{2}∠ AEP$
$=\dfrac{1}{2}(∠ PFC-∠ PEA)$
$=\dfrac{1}{2}α.$
解析
【分析】
本题属于平行线中的拐点类问题，通用解题思路是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的性质转化角的数量关系：
(1) 图1中点P在AB、CD之间，过P作PG//AB，可将∠EPF拆分为∠EPG和∠FPG两个角，先由两直线平行内错角相等得∠EPG=∠BEP，再由平行公理推论得PG//CD，利用两直线平行同旁内角互补求出∠FPG，两个角相加即可得到∠EPF的度数；
(2) 图2中点P在AB上方，同样过P作PG//AB，利用平行线内错角相等的性质，分别将∠PEA转化为∠EPG、∠PFC转化为∠FPG，结合∠EPF=∠FPG-∠EPG即可推导三个角的数量关系；
(3) 图3先根据角平分线的定义，将∠GFC和∠GEA分别表示为∠PFC和∠PEA的一半，再直接套用第(2)问得到的拐点角的关系，代入化简即可用含α的式子表示出∠G的度数。
【解析】
(1) 过点P作PG//AB，根据两直线平行，内错角相等，可得∠BEP=∠EPG=36°；
因为AB//CD，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得GP//CD；
根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠FPG+∠CFP=180°，计算得∠FPG=180°-152°=28°；
所以∠EPF=∠EPG+∠FPG=36°+28°=64°。
(2) 数量关系为∠EPF=∠PFC-∠PEA，理由如下：
过点P作PG//AB，根据两直线平行，内错角相等，可得∠EPG=∠PEA；
因为AB//CD，所以PG//CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠PFC=∠FPG；
观察图形可知∠EPF=∠FPG-∠EPG，代入可得∠EPF=∠PFC-∠PEA。
(3) 因为FG平分∠PFC，EG平分∠AEP，根据角平分线的定义，可得∠GFC=$\frac{1}{2}$∠PFC，∠GEA=$\frac{1}{2}$∠AEP；
由(2)的结论可知∠G=∠GFC-∠GEA，已知∠EPF=∠PFC-∠PEA=α，代入可得：
∠G=$\frac{1}{2}$∠PFC - $\frac{1}{2}$∠PEA = $\frac{1}{2}$(∠PFC-∠PEA) = $\frac{1}{2}$α。
【答案】
13.解:(1)过点$P$作$PG// AB$,
$\therefore ∠ BEP=∠ EPG=36°$,
$\because AB// CD$,
$\therefore GP// CD$,
$\therefore ∠ FPG=180°-∠ CFP=28°$,
$\therefore ∠ EPF=∠ EPG+∠ FPG=64°$;
(2)$∠ EPF=∠ PFC-∠ PEA$,
理由:过点$P$作$PG// AB$,
$\therefore ∠ EPG=∠ PEA$,
$\because AB// CD$,
$\therefore PG// CD$,
$\therefore ∠ PFC=∠ FPG$,
$\because ∠ EPF=∠ FPG-∠ EPG$,
$\therefore ∠ EPF=∠ PFC-∠ PEA$;
(3)$\because FG$平分$∠ PFC$,$EG$平分$∠ AEP$,
$\therefore ∠ GFC=\dfrac{1}{2}∠ PFC,∠ GEA=\dfrac{1}{2}∠ AEP$,
由(2)可得:$∠ G=∠ GFC-∠ GEA$,
$\because ∠ EPF=∠ PFC-∠ PEA=α$
$\therefore ∠ G=∠ GFC-∠ GEA$
$=\dfrac{1}{2}∠ PFC-\dfrac{1}{2}∠ AEP$
$=\dfrac{1}{2}(∠ PFC-∠ PEA)$
$=\dfrac{1}{2}α.$
【知识点】
1.平行线的性质
2.角平分线的定义
3.平行公理的推论
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心解题技巧是过拐点作平行线实现角的关系转化，层层递进的设问引导学生掌握拐点类几何题的通用解法，第三问直接套用前一问结论，体现了几何解题中结论迁移的思路。
【难度系数】
0.7
本题属于平行线中的拐点类问题，通用解题思路是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的性质转化角的数量关系：
(1) 图1中点P在AB、CD之间，过P作PG//AB，可将∠EPF拆分为∠EPG和∠FPG两个角，先由两直线平行内错角相等得∠EPG=∠BEP，再由平行公理推论得PG//CD，利用两直线平行同旁内角互补求出∠FPG，两个角相加即可得到∠EPF的度数；
(2) 图2中点P在AB上方，同样过P作PG//AB，利用平行线内错角相等的性质，分别将∠PEA转化为∠EPG、∠PFC转化为∠FPG，结合∠EPF=∠FPG-∠EPG即可推导三个角的数量关系；
(3) 图3先根据角平分线的定义，将∠GFC和∠GEA分别表示为∠PFC和∠PEA的一半，再直接套用第(2)问得到的拐点角的关系，代入化简即可用含α的式子表示出∠G的度数。
【解析】
(1) 过点P作PG//AB，根据两直线平行，内错角相等，可得∠BEP=∠EPG=36°；
因为AB//CD，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得GP//CD；
根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠FPG+∠CFP=180°，计算得∠FPG=180°-152°=28°；
所以∠EPF=∠EPG+∠FPG=36°+28°=64°。
(2) 数量关系为∠EPF=∠PFC-∠PEA，理由如下：
过点P作PG//AB，根据两直线平行，内错角相等，可得∠EPG=∠PEA；
因为AB//CD，所以PG//CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠PFC=∠FPG；
观察图形可知∠EPF=∠FPG-∠EPG，代入可得∠EPF=∠PFC-∠PEA。
(3) 因为FG平分∠PFC，EG平分∠AEP，根据角平分线的定义，可得∠GFC=$\frac{1}{2}$∠PFC，∠GEA=$\frac{1}{2}$∠AEP；
由(2)的结论可知∠G=∠GFC-∠GEA，已知∠EPF=∠PFC-∠PEA=α，代入可得：
∠G=$\frac{1}{2}$∠PFC - $\frac{1}{2}$∠PEA = $\frac{1}{2}$(∠PFC-∠PEA) = $\frac{1}{2}$α。
【答案】
13.解:(1)过点$P$作$PG// AB$,
$\therefore ∠ BEP=∠ EPG=36°$,
$\because AB// CD$,
$\therefore GP// CD$,
$\therefore ∠ FPG=180°-∠ CFP=28°$,
$\therefore ∠ EPF=∠ EPG+∠ FPG=64°$;
(2)$∠ EPF=∠ PFC-∠ PEA$,
理由:过点$P$作$PG// AB$,
$\therefore ∠ EPG=∠ PEA$,
$\because AB// CD$,
$\therefore PG// CD$,
$\therefore ∠ PFC=∠ FPG$,
$\because ∠ EPF=∠ FPG-∠ EPG$,
$\therefore ∠ EPF=∠ PFC-∠ PEA$;
(3)$\because FG$平分$∠ PFC$,$EG$平分$∠ AEP$,
$\therefore ∠ GFC=\dfrac{1}{2}∠ PFC,∠ GEA=\dfrac{1}{2}∠ AEP$,
由(2)可得:$∠ G=∠ GFC-∠ GEA$,
$\because ∠ EPF=∠ PFC-∠ PEA=α$
$\therefore ∠ G=∠ GFC-∠ GEA$
$=\dfrac{1}{2}∠ PFC-\dfrac{1}{2}∠ AEP$
$=\dfrac{1}{2}(∠ PFC-∠ PEA)$
$=\dfrac{1}{2}α.$
【知识点】
1.平行线的性质
2.角平分线的定义
3.平行公理的推论
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心解题技巧是过拐点作平行线实现角的关系转化，层层递进的设问引导学生掌握拐点类几何题的通用解法，第三问直接套用前一问结论，体现了几何解题中结论迁移的思路。
【难度系数】
0.7
