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11.材料:2.5的整数部分是2,小数部分是0.5,小数部分可以看成是$2.5 - 2$得来的,类比来看,$\sqrt{2}$是无理数,而$1＜\sqrt{2}＜2$,所以$\sqrt{2}$的整数部分是1,于是可用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分,根据以上材料,完成下列问题:
(1)$\sqrt{17}$的整数部分是
(2)$3+\sqrt{3}$也是夹在相邻两个整数之间的,可以表示为$a＜3+\sqrt{3}＜b$,求$a+b$的平方根.
(1)$\sqrt{17}$的整数部分是
4
,小数部分是$\sqrt{17}-4$
;(2)$3+\sqrt{3}$也是夹在相邻两个整数之间的,可以表示为$a＜3+\sqrt{3}＜b$,求$a+b$的平方根.
答案
解:(1)4,$\sqrt{17}-4$;
(2)$\because 1＜3＜4$,
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$,
$\therefore 4＜3+\sqrt{3}＜5$,
又$a＜3+\sqrt{3}＜b$,
$\therefore a=4,b=5$,
$\therefore a+b=9$,
$\therefore a+b$的平方根为$\pm3$.
(2)$\because 1＜3＜4$,
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$,
$\therefore 4＜3+\sqrt{3}＜5$,
又$a＜3+\sqrt{3}＜b$,
$\therefore a=4,b=5$,
$\therefore a+b=9$,
$\therefore a+b$的平方根为$\pm3$.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问：要确定无理数的整数部分，先找两个相邻正整数，使较小数的平方小于被开方数，较大数的平方大于被开方数，即可确定无理数在这两个整数之间，较小的整数就是它的整数部分，再用无理数减去整数部分即可得到小数部分。
2. 第(2)问：先用夹逼法确定$\sqrt{3}$的取值范围，给不等式三边同时加3，得到$3+\sqrt{3}$的范围，就能确定$a$、$b$的值，求出$a+b$后再根据平方根的定义计算结果，注意平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
(1) $\because 4^2=16$，$5^2=25$，$16＜17＜25$
$\therefore 4＜\sqrt{17}＜5$
因此$\sqrt{17}$的整数部分是4，小数部分是$\sqrt{17}-4$。
(2) 先估算$\sqrt{3}$的范围：
$\because 1＜3＜4$
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$
不等式三边同时加3得：$4＜3+\sqrt{3}＜5$
又$\because a＜3+\sqrt{3}＜b$
$\therefore a=4$，$b=5$
$\therefore a+b=4+5=9$
$\therefore 9$的平方根为$\pm3$。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{17}-4$；
(2) $\pm3$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 平方根的计算
【点评】
本题核心考查用“夹逼法”估算无理数大小的方法，熟练掌握相邻整数的平方是确定无理数范围的关键，解题时要注意区分平方根和算术平方根，计算平方根时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 第(1)问：要确定无理数的整数部分，先找两个相邻正整数，使较小数的平方小于被开方数，较大数的平方大于被开方数，即可确定无理数在这两个整数之间，较小的整数就是它的整数部分，再用无理数减去整数部分即可得到小数部分。
2. 第(2)问：先用夹逼法确定$\sqrt{3}$的取值范围，给不等式三边同时加3，得到$3+\sqrt{3}$的范围，就能确定$a$、$b$的值，求出$a+b$后再根据平方根的定义计算结果，注意平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
(1) $\because 4^2=16$，$5^2=25$，$16＜17＜25$
$\therefore 4＜\sqrt{17}＜5$
因此$\sqrt{17}$的整数部分是4，小数部分是$\sqrt{17}-4$。
(2) 先估算$\sqrt{3}$的范围：
$\because 1＜3＜4$
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$
不等式三边同时加3得：$4＜3+\sqrt{3}＜5$
又$\because a＜3+\sqrt{3}＜b$
$\therefore a=4$，$b=5$
$\therefore a+b=4+5=9$
$\therefore 9$的平方根为$\pm3$。
【答案】
(1) $4$，$\sqrt{17}-4$；
(2) $\pm3$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 平方根的计算
【点评】
本题核心考查用“夹逼法”估算无理数大小的方法，熟练掌握相邻整数的平方是确定无理数范围的关键，解题时要注意区分平方根和算术平方根，计算平方根时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
12.某网店销售甲、乙两种遮阳帽，已知甲种遮阳帽每顶售价比乙种遮阳帽每顶售价的3倍少20元，网购3顶甲种遮阳帽和2顶乙种遮阳帽共花费160元（包邮）.请解答下列问题：
（1）该网店甲、乙两种遮阳帽每顶售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过2 400元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过57顶，已知甲种遮阳帽每顶进价为30元，乙种遮阳帽每顶进价为15元，该网店有哪几种进货方案？
（1）该网店甲、乙两种遮阳帽每顶售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过2 400元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过57顶，已知甲种遮阳帽每顶进价为30元，乙种遮阳帽每顶进价为15元，该网店有哪几种进货方案？
答案
解:(1)设该网店乙种遮阳帽每顶售价为$x$元,
则甲种遮阳帽每顶售价为$(3x-20)$元,
依题意得:$3(3x-20)+2x=160$,
解得:$x=20$,
$\therefore 3x-20=3×20-20=40$,
答:该网店甲种遮阳帽每顶售价为40元,乙种遮阳帽每顶售价为20元;
(2)设购进甲种遮阳帽$m$顶,则购进乙种遮阳帽$(100-m)$顶,
依题意得:$\begin{cases} m＞57, \\ 30m+15(100-m)≤2\ 400 \end{cases}$
解得:$57＜m≤60$,
又$\because m$为整数,
$\therefore m$可以为58,59,60,
$\therefore$该网店共有3种进货方案:
①购进甲种遮阳帽58顶,乙种遮阳帽42顶;
②购进甲种遮阳帽59顶,乙种遮阳帽41顶;
③购进甲种遮阳帽60顶,乙种遮阳帽40顶.
则甲种遮阳帽每顶售价为$(3x-20)$元,
依题意得:$3(3x-20)+2x=160$,
解得:$x=20$,
$\therefore 3x-20=3×20-20=40$,
答:该网店甲种遮阳帽每顶售价为40元,乙种遮阳帽每顶售价为20元;
(2)设购进甲种遮阳帽$m$顶,则购进乙种遮阳帽$(100-m)$顶,
依题意得:$\begin{cases} m＞57, \\ 30m+15(100-m)≤2\ 400 \end{cases}$
解得:$57＜m≤60$,
又$\because m$为整数,
$\therefore m$可以为58,59,60,
$\therefore$该网店共有3种进货方案:
①购进甲种遮阳帽58顶,乙种遮阳帽42顶;
②购进甲种遮阳帽59顶,乙种遮阳帽41顶;
③购进甲种遮阳帽60顶,乙种遮阳帽40顶.
解析
【分析】
（1）已知甲、乙两种遮阳帽售价的数量关系，可设乙种遮阳帽每顶售价为未知数，用含未知数的式子表示甲种遮阳帽的售价，再根据“3顶甲种遮阳帽的总费用+2顶乙种遮阳帽的总费用=160元”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到两种遮阳帽的售价。
（2）设购进甲种遮阳帽的数量为未知数，用总进货量减去甲的数量表示乙的进货量，结合“甲种遮阳帽数量超过57顶”“进货总费用不超过2400元”两个限制条件列一元一次不等式组，求出未知数的取值范围，再结合遮阳帽数量为正整数的实际意义，即可列举出所有符合要求的进货方案。
【解析】
(1)设该网店乙种遮阳帽每顶售价为$x$元，则甲种遮阳帽每顶售价为$(3x-20)$元，
依题意得:$3(3x-20)+2x=160$，
解得:$x=20$，
$\therefore 3x-20=3×20-20=40$，
答:该网店甲种遮阳帽每顶售价为40元，乙种遮阳帽每顶售价为20元；
(2)设购进甲种遮阳帽$m$顶，则购进乙种遮阳帽$(100-m)$顶，
依题意得:$\begin{cases} m＞57 \\ 30m+15(100-m)≤2400 \end{cases}$
解得:$57＜m≤60$，
又$\because m$为整数，
$\therefore m$可以为58,59,60，
$\therefore$该网店共有3种进货方案:
①购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶；
②购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶；
③购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶。
【答案】
（1）甲种遮阳帽每顶售价40元，乙种遮阳帽每顶售价20元；
（2）共3种进货方案：①购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶；②购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶；③购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶。
【知识点】
一元一次方程应用；一元一次不等式组应用；方案设计
【点评】
本题结合实际生活中的销售进货场景，考查了用方程与不等式组解决实际问题的能力，解题时要注意未知数的取值需符合实际意义，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.75
（1）已知甲、乙两种遮阳帽售价的数量关系，可设乙种遮阳帽每顶售价为未知数，用含未知数的式子表示甲种遮阳帽的售价，再根据“3顶甲种遮阳帽的总费用+2顶乙种遮阳帽的总费用=160元”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到两种遮阳帽的售价。
（2）设购进甲种遮阳帽的数量为未知数，用总进货量减去甲的数量表示乙的进货量，结合“甲种遮阳帽数量超过57顶”“进货总费用不超过2400元”两个限制条件列一元一次不等式组，求出未知数的取值范围，再结合遮阳帽数量为正整数的实际意义，即可列举出所有符合要求的进货方案。
【解析】
(1)设该网店乙种遮阳帽每顶售价为$x$元，则甲种遮阳帽每顶售价为$(3x-20)$元，
依题意得:$3(3x-20)+2x=160$，
解得:$x=20$，
$\therefore 3x-20=3×20-20=40$，
答:该网店甲种遮阳帽每顶售价为40元，乙种遮阳帽每顶售价为20元；
(2)设购进甲种遮阳帽$m$顶，则购进乙种遮阳帽$(100-m)$顶，
依题意得:$\begin{cases} m＞57 \\ 30m+15(100-m)≤2400 \end{cases}$
解得:$57＜m≤60$，
又$\because m$为整数，
$\therefore m$可以为58,59,60，
$\therefore$该网店共有3种进货方案:
①购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶；
②购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶；
③购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶。
【答案】
（1）甲种遮阳帽每顶售价40元，乙种遮阳帽每顶售价20元；
（2）共3种进货方案：①购进甲种遮阳帽58顶，乙种遮阳帽42顶；②购进甲种遮阳帽59顶，乙种遮阳帽41顶；③购进甲种遮阳帽60顶，乙种遮阳帽40顶。
【知识点】
一元一次方程应用；一元一次不等式组应用；方案设计
【点评】
本题结合实际生活中的销售进货场景，考查了用方程与不等式组解决实际问题的能力，解题时要注意未知数的取值需符合实际意义，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.75
13.(1)如图1,小明在研究一个数学问题:已知$AB// CD$,AB和CD都不经过点P,探索$∠ P$与$∠ A,∠ C$的数量关系.
小明是这样证明的:过点P作$PQ// AB$,
$\therefore ∠ APQ=∠ A($
$\because PQ// AB,AB// CD$,
$\therefore PQ// CD($
$\therefore ∠ CPQ=∠ C$.
$\therefore ∠ APQ+∠ CPQ=∠ A+∠ C$.
即$∠ APC=∠ A+∠ C$.
(2)应用:在图2中,若$∠ A=120°,∠ C=140°$,则$∠ APC$的度数为
(3)拓展:在图3中,探索$∠ APC$与$∠ A,∠ C$的数量关系,并说明理由.
小明是这样证明的:过点P作$PQ// AB$,
$\therefore ∠ APQ=∠ A($
两直线平行，内错角相等
$)$,$\because PQ// AB,AB// CD$,
$\therefore PQ// CD($
平行于同一条直线的两条直线互相平行
$)$,$\therefore ∠ CPQ=∠ C$.
$\therefore ∠ APQ+∠ CPQ=∠ A+∠ C$.
即$∠ APC=∠ A+∠ C$.
(2)应用:在图2中,若$∠ A=120°,∠ C=140°$,则$∠ APC$的度数为
$100°$
;(3)拓展:在图3中,探索$∠ APC$与$∠ A,∠ C$的数量关系,并说明理由.
答案
解:(1)两直线平行,内错角相等;平行于同一条直线的两条直线互相平行;
(2)$100°$;
(3)$∠ APC=∠ C-∠ A$;理由如下:
如图3,设PC交AB于点E,
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ C=∠ PEB$,
$\therefore ∠ APC=180°-∠ A-∠ AEP=180°-∠ A-(180°-∠ PEB)=∠ PEB-∠ A=∠ C-∠ A$.
解析
【分析】
这道题围绕平行线的性质探究不同位置下拐点P与两平行线间角的数量关系，解题思路如下：
1. 第(1)问是补全证明依据，根据平行线的性质，两直线平行内错角相等可填第一个空；根据平行的传递性（平行于同一直线的两直线互相平行）可填第二个空。
2. 第(2)问类比第(1)问的辅助线做法，过点P作平行于AB的直线，利用两直线平行同旁内角互补，分别计算出对应角的度数，相加即可得到∠APC的度数。
3. 第(3)问可利用平行线的同位角相等性质，结合邻补角或三角形外角的性质，推导三个角的数量关系，也可过点P作平行线转化角的关系求解。
【解析】
(1) 过点P作$PQ//AB$，两直线平行，内错角相等，因此$∠APQ=∠A$；
已知$PQ//AB,AB//CD$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$PQ//CD$，因此$∠CPQ=∠C$，最终可推得$∠APC=∠A+∠C$。
(2) 过点P作$PQ//AB$，
$\because AB//CD$，$\therefore PQ//CD$，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠A+∠APQ=180°$，$∠C+∠CPQ=180°$，
代入$∠A=120°,∠C=140°$，计算得：
$∠APQ=180°-120°=60°$，$∠CPQ=180°-140°=40°$，
$\therefore ∠APC=∠APQ+∠CPQ=60°+40°=100°$。
(3) 设PC交AB于点E，
$\because AB//CD$，$\therefore ∠C=∠PEB$（两直线平行，同位角相等），
$\because ∠AEP$与$∠PEB$是邻补角，$\therefore ∠AEP=180°-∠PEB$，
在$△ APE$中，内角和为$180°$，因此：
$∠APC=180°-∠A-∠AEP=180°-∠A-(180°-∠PEB)=∠PEB-∠A=∠C-∠A$。
【答案】
(1)两直线平行,内错角相等;平行于同一条直线的两条直线互相平行;
(2)$100°$;
(3)$∠APC=∠C-∠A$;理由如下:
如图3,设PC交AB于点E,
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ C=∠ PEB$,
$\therefore ∠ APC=180°-∠ A-∠ AEP=180°-∠ A-(180°-∠ PEB)=∠ PEB-∠ A=∠ C-∠ A$.
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度计算
【点评】
本题是平行线性质的经典探究题型，通过设置点P的不同位置，考查学生对平行线相关定理的掌握程度和辅助线构造、几何逻辑推理的能力，解题的关键是掌握平行线中“拐点作平行线”的常规辅助线思路，灵活转化角的等量关系。
【难度系数】
0.7
这道题围绕平行线的性质探究不同位置下拐点P与两平行线间角的数量关系，解题思路如下：
1. 第(1)问是补全证明依据，根据平行线的性质，两直线平行内错角相等可填第一个空；根据平行的传递性（平行于同一直线的两直线互相平行）可填第二个空。
2. 第(2)问类比第(1)问的辅助线做法，过点P作平行于AB的直线，利用两直线平行同旁内角互补，分别计算出对应角的度数，相加即可得到∠APC的度数。
3. 第(3)问可利用平行线的同位角相等性质，结合邻补角或三角形外角的性质，推导三个角的数量关系，也可过点P作平行线转化角的关系求解。
【解析】
(1) 过点P作$PQ//AB$，两直线平行，内错角相等，因此$∠APQ=∠A$；
已知$PQ//AB,AB//CD$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$PQ//CD$，因此$∠CPQ=∠C$，最终可推得$∠APC=∠A+∠C$。
(2) 过点P作$PQ//AB$，
$\because AB//CD$，$\therefore PQ//CD$，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠A+∠APQ=180°$，$∠C+∠CPQ=180°$，
代入$∠A=120°,∠C=140°$，计算得：
$∠APQ=180°-120°=60°$，$∠CPQ=180°-140°=40°$，
$\therefore ∠APC=∠APQ+∠CPQ=60°+40°=100°$。
(3) 设PC交AB于点E，
$\because AB//CD$，$\therefore ∠C=∠PEB$（两直线平行，同位角相等），
$\because ∠AEP$与$∠PEB$是邻补角，$\therefore ∠AEP=180°-∠PEB$，
在$△ APE$中，内角和为$180°$，因此：
$∠APC=180°-∠A-∠AEP=180°-∠A-(180°-∠PEB)=∠PEB-∠A=∠C-∠A$。
【答案】
(1)两直线平行,内错角相等;平行于同一条直线的两条直线互相平行;
(2)$100°$;
(3)$∠APC=∠C-∠A$;理由如下:
如图3,设PC交AB于点E,
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ C=∠ PEB$,
$\therefore ∠ APC=180°-∠ A-∠ AEP=180°-∠ A-(180°-∠ PEB)=∠ PEB-∠ A=∠ C-∠ A$.
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度计算
【点评】
本题是平行线性质的经典探究题型，通过设置点P的不同位置，考查学生对平行线相关定理的掌握程度和辅助线构造、几何逻辑推理的能力，解题的关键是掌握平行线中“拐点作平行线”的常规辅助线思路，灵活转化角的等量关系。
【难度系数】
0.7
