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1.对于命题“如果$|a|=|b|$，那么$a=b$”能说明该命题为假命题的反例是 （
A.$a=0,b=0$
B.$a=1,b=1$
C.$a=-1,b=1$
D.$a=1,b=2$
C
）A.$a=0,b=0$
B.$a=1,b=1$
C.$a=-1,b=1$
D.$a=1,b=2$
答案
1.C
解析
【分析】
要说明一个命题是假命题，需要举反例：反例要同时满足两个要求，第一符合命题的题设（条件），第二不满足命题的结论。本题中命题的题设是$\vert a\vert=\vert b\vert$，结论是$a=b$，因此我们只需要逐个验证选项，找到满足$\vert a\vert=\vert b\vert$但$a≠ b$的选项即可。
【解析】
首先明确反例的判定标准：符合命题的题设，不符合命题的结论。
本题命题的题设为$\vert a\vert=\vert b\vert$，结论为$a=b$：
选项A：$a=0,b=0$，$\vert 0\vert=\vert 0\vert$符合题设，且$0=0$符合结论，不是反例；
选项B：$a=1,b=1$，$\vert 1\vert=\vert 1\vert$符合题设，且$1=1$符合结论，不是反例；
选项C：$a=-1,b=1$，$\vert -1\vert=\vert 1\vert=1$符合题设，且$-1≠1$不符合结论，是反例；
选项D：$a=1,b=2$，$\vert 1\vert≠\vert 2\vert$不符合题设，不是反例。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质，假命题的判断
【点评】
本题考查反例的识别，掌握反例需要同时满足“符合题设、不满足结论”两个特征是解题的关键，结合绝对值的性质即可快速作答，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要说明一个命题是假命题，需要举反例：反例要同时满足两个要求，第一符合命题的题设（条件），第二不满足命题的结论。本题中命题的题设是$\vert a\vert=\vert b\vert$，结论是$a=b$，因此我们只需要逐个验证选项，找到满足$\vert a\vert=\vert b\vert$但$a≠ b$的选项即可。
【解析】
首先明确反例的判定标准：符合命题的题设，不符合命题的结论。
本题命题的题设为$\vert a\vert=\vert b\vert$，结论为$a=b$：
选项A：$a=0,b=0$，$\vert 0\vert=\vert 0\vert$符合题设，且$0=0$符合结论，不是反例；
选项B：$a=1,b=1$，$\vert 1\vert=\vert 1\vert$符合题设，且$1=1$符合结论，不是反例；
选项C：$a=-1,b=1$，$\vert -1\vert=\vert 1\vert=1$符合题设，且$-1≠1$不符合结论，是反例；
选项D：$a=1,b=2$，$\vert 1\vert≠\vert 2\vert$不符合题设，不是反例。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质，假命题的判断
【点评】
本题考查反例的识别，掌握反例需要同时满足“符合题设、不满足结论”两个特征是解题的关键，结合绝对值的性质即可快速作答，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2.估算$2+\sqrt{11}$的值应在 （
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
B
）A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
答案
2.B
解析
【分析】
要估算$2+\sqrt{11}$的取值范围，首先需要确定$\sqrt{11}$的大小区间：我们可以用“夹逼法”，找到和11相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质得到$\sqrt{11}$的范围，再给区间两端同时加上2，就能得到$2+\sqrt{11}$的取值范围，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：
∵ $9＜11＜16$
∴ $\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$
即 $3＜\sqrt{11}＜4$
不等式两边同时加2，得：
$3+2 ＜ 2+\sqrt{11} ＜ 4+2$
∴ $5 ＜ 2+\sqrt{11} ＜ 6$
即$2+\sqrt{11}$的值在5和6之间，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.无理数估算 2.算术平方根 3.不等式性质
【点评】
本题考查无理数的估算方法，核心是用“夹逼法”确定无理数的取值范围，属于基础题型，熟练掌握常见完全平方数的特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要估算$2+\sqrt{11}$的取值范围，首先需要确定$\sqrt{11}$的大小区间：我们可以用“夹逼法”，找到和11相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质得到$\sqrt{11}$的范围，再给区间两端同时加上2，就能得到$2+\sqrt{11}$的取值范围，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：
∵ $9＜11＜16$
∴ $\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$
即 $3＜\sqrt{11}＜4$
不等式两边同时加2，得：
$3+2 ＜ 2+\sqrt{11} ＜ 4+2$
∴ $5 ＜ 2+\sqrt{11} ＜ 6$
即$2+\sqrt{11}$的值在5和6之间，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.无理数估算 2.算术平方根 3.不等式性质
【点评】
本题考查无理数的估算方法，核心是用“夹逼法”确定无理数的取值范围，属于基础题型，熟练掌握常见完全平方数的特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了A(3,2)和B(3,-2)两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为(0,0)，
，藏宝地点可能是（
A.M点
B.N点
C.P点
D.Q点
，藏宝地点可能是（D
）A.M点
B.N点
C.P点
D.Q点
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先从已知的A、B两点坐标入手分析：A(3,2)和B(3,-2)横坐标相同，说明两点在垂直于x轴的直线x=3上，且两点纵坐标互为相反数，可推出两点关于x轴对称，x轴就是线段AB的垂直平分线，AB中点坐标为(3,0)，即x轴是过AB中点的水平线。藏宝点坐标为(0,0)，横坐标比3小，说明在AB的左侧，纵坐标为0说明在x轴上，也就是在A点下方、B点上方的左侧区域，结合图中各点位置即可筛选出正确答案。
【解析】
1. 分析A、B两点坐标特征：A(3,2)、B(3,-2)横坐标均为3，因此直线AB为竖直线x=3；两点纵坐标互为相反数，说明A、B关于x轴对称，x轴是线段AB的垂直平分线，计算得AB中点坐标为$(\frac{3+3}{2},\frac{2+(-2)}{2})=(3,0)$，即x轴为过(3,0)的水平线。
2. 分析藏宝点(0,0)的位置特征：横坐标0＜3，说明该点在直线AB的左侧；纵坐标为0，说明该点在x轴上，位于A点（y=2）的下方、B点（y=-2）的上方。
3. 对照图中各点：M、N在AB右侧，不符合横坐标小于3的要求，排除；P在AB左上方，y值大于2，不符合纵坐标为0的要求，排除；Q点在AB左侧，且位于A、B的中间高度，符合(0,0)的位置特征。
【答案】
D
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标，坐标确定位置
【点评】
本题结合趣味寻宝情境考查平面直角坐标系的实际应用，解题核心是通过已知点的坐标确定坐标轴的位置，再推导目标点的位置，既考查了对坐标概念的理解，也锻炼了空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的A、B两点坐标入手分析：A(3,2)和B(3,-2)横坐标相同，说明两点在垂直于x轴的直线x=3上，且两点纵坐标互为相反数，可推出两点关于x轴对称，x轴就是线段AB的垂直平分线，AB中点坐标为(3,0)，即x轴是过AB中点的水平线。藏宝点坐标为(0,0)，横坐标比3小，说明在AB的左侧，纵坐标为0说明在x轴上，也就是在A点下方、B点上方的左侧区域，结合图中各点位置即可筛选出正确答案。
【解析】
1. 分析A、B两点坐标特征：A(3,2)、B(3,-2)横坐标均为3，因此直线AB为竖直线x=3；两点纵坐标互为相反数，说明A、B关于x轴对称，x轴是线段AB的垂直平分线，计算得AB中点坐标为$(\frac{3+3}{2},\frac{2+(-2)}{2})=(3,0)$，即x轴为过(3,0)的水平线。
2. 分析藏宝点(0,0)的位置特征：横坐标0＜3，说明该点在直线AB的左侧；纵坐标为0，说明该点在x轴上，位于A点（y=2）的下方、B点（y=-2）的上方。
3. 对照图中各点：M、N在AB右侧，不符合横坐标小于3的要求，排除；P在AB左上方，y值大于2，不符合纵坐标为0的要求，排除；Q点在AB左侧，且位于A、B的中间高度，符合(0,0)的位置特征。
【答案】
D
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标，坐标确定位置
【点评】
本题结合趣味寻宝情境考查平面直角坐标系的实际应用，解题核心是通过已知点的坐标确定坐标轴的位置，再推导目标点的位置，既考查了对坐标概念的理解，也锻炼了空间想象能力。
【难度系数】
0.7
4.为了解某校七年级a名学生参加社团的情况,小郑随机抽取部分学生进行调查统计,并绘制如图所示的扇形统计图,那么下列说法不正确的是 (
A.参加编程的学生有0.4a人
B.参加摄影所在扇形的圆心角度数为120°
C.参加编程的人数是参加合唱人数的2倍
D.参加其他社团的人数占总人数的10%
B
)A.参加编程的学生有0.4a人
B.参加摄影所在扇形的圆心角度数为120°
C.参加编程的人数是参加合唱人数的2倍
D.参加其他社团的人数占总人数的10%
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查扇形统计图的应用，解题思路如下：首先明确扇形统计图的特点：各部分占比之和为100%，对应扇形圆心角=360°×该部分占总人数的百分比，各部分人数=总人数×对应占比。我们先计算其他社团的占比，再逐一验证四个选项，选出说法不正确的选项即可。
【解析】
首先计算其他社团人数占总人数的比例：$1 - 40\% - 30\% - 20\% = 10\%$。
逐一分析选项：
A. 编程社团占比为40%，七年级总人数为$a$，因此参加编程的学生人数为$40\%a=0.4a$，该选项说法正确，不符合题意；
B. 摄影社团占比为30%，对应扇形圆心角为$360°×30\% = 108°$，不是$120°$，该选项说法错误，符合题意；
C. 编程占比40%，合唱占比20%，$40\%÷20\%=2$，即参加编程的人数是参加合唱人数的2倍，该选项说法正确，不符合题意；
D. 经计算参加其他社团的人数占总人数的10%，该选项说法正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形统计图、百分比计算、圆心角计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对扇形统计图信息的提取和应用，解题时要注意圆心角的计算方法，同时看清题干要求选择“不正确”的说法，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查扇形统计图的应用，解题思路如下：首先明确扇形统计图的特点：各部分占比之和为100%，对应扇形圆心角=360°×该部分占总人数的百分比，各部分人数=总人数×对应占比。我们先计算其他社团的占比，再逐一验证四个选项，选出说法不正确的选项即可。
【解析】
首先计算其他社团人数占总人数的比例：$1 - 40\% - 30\% - 20\% = 10\%$。
逐一分析选项：
A. 编程社团占比为40%，七年级总人数为$a$，因此参加编程的学生人数为$40\%a=0.4a$，该选项说法正确，不符合题意；
B. 摄影社团占比为30%，对应扇形圆心角为$360°×30\% = 108°$，不是$120°$，该选项说法错误，符合题意；
C. 编程占比40%，合唱占比20%，$40\%÷20\%=2$，即参加编程的人数是参加合唱人数的2倍，该选项说法正确，不符合题意；
D. 经计算参加其他社团的人数占总人数的10%，该选项说法正确，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形统计图、百分比计算、圆心角计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对扇形统计图信息的提取和应用，解题时要注意圆心角的计算方法，同时看清题干要求选择“不正确”的说法，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.8
5.如果关于$y$的方程$\frac{a-(1-y)}{3}=y-2$有非负整数解，且关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{x-a}{2}≥2,\\x-4≤3(x-2)\end{cases}$的解集为$x≥1$，则所有符合条件的整数$a$的和为（ ）
A.$-5$
B.$-8$
C.$-9$
D.$-12$
A.$-5$
B.$-8$
C.$-9$
D.$-12$
答案
5.B
解析
【分析】
本题需要分别处理不等式组和一元一次方程两部分：①先求解不等式组的两个不等式，根据“同大取大”的解集规则，结合已知解集x≥1求出a的取值范围；②再解关于y的方程，用含a的式子表示y，根据方程有非负整数解的条件（y≥0且y为整数），筛选出符合条件的整数a，最后求和即可。
【解析】
第一步：解不等式组
解不等式$\frac{x-a}{2}≥2$：
两边同乘2得$x-a≥4$，移项得$x≥a+4$。
解不等式$x-4≤3(x-2)$：
展开右边得$x-4≤3x-6$，移项合并同类项得$-2x≤-2$，两边同除以-2（不等号方向改变）得$x≥1$。
已知不等式组的解集为$x≥1$，根据“同大取大”的原则，可得$a+4≤1$，解得$a≤-3$。
第二步：解关于y的方程
$\frac{a-(1-y)}{3}=y-2$
去分母，两边同乘3得：$a-1+y=3y-6$
移项合并同类项得：$-2y=-a-5$
系数化为1得：$y=\frac{a+5}{2}$
因为方程有非负整数解，所以$y≥0$且y为整数，即：
$\frac{a+5}{2}≥0$，解得$a≥-5$；且$a+5$为偶数，即a为奇数。
第三步：筛选符合条件的整数a
结合$a≤-3$和$a≥-5$，整数a可取-5、-4、-3，其中满足a为奇数的是-5、-3。
两者的和为$-5+(-3)=-8$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解集、一元一次方程的解法、非负整数的概念
【点评】
本题是方程与不等式的综合题，核心是掌握不等式组“同大取大”的解集判定规则，以及特殊解（非负整数解）的含义，解题时要注意解不等式两边同乘负数时不等号方向需要改变，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
本题需要分别处理不等式组和一元一次方程两部分：①先求解不等式组的两个不等式，根据“同大取大”的解集规则，结合已知解集x≥1求出a的取值范围；②再解关于y的方程，用含a的式子表示y，根据方程有非负整数解的条件（y≥0且y为整数），筛选出符合条件的整数a，最后求和即可。
【解析】
第一步：解不等式组
解不等式$\frac{x-a}{2}≥2$：
两边同乘2得$x-a≥4$，移项得$x≥a+4$。
解不等式$x-4≤3(x-2)$：
展开右边得$x-4≤3x-6$，移项合并同类项得$-2x≤-2$，两边同除以-2（不等号方向改变）得$x≥1$。
已知不等式组的解集为$x≥1$，根据“同大取大”的原则，可得$a+4≤1$，解得$a≤-3$。
第二步：解关于y的方程
$\frac{a-(1-y)}{3}=y-2$
去分母，两边同乘3得：$a-1+y=3y-6$
移项合并同类项得：$-2y=-a-5$
系数化为1得：$y=\frac{a+5}{2}$
因为方程有非负整数解，所以$y≥0$且y为整数，即：
$\frac{a+5}{2}≥0$，解得$a≥-5$；且$a+5$为偶数，即a为奇数。
第三步：筛选符合条件的整数a
结合$a≤-3$和$a≥-5$，整数a可取-5、-4、-3，其中满足a为奇数的是-5、-3。
两者的和为$-5+(-3)=-8$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解集、一元一次方程的解法、非负整数的概念
【点评】
本题是方程与不等式的综合题，核心是掌握不等式组“同大取大”的解集判定规则，以及特殊解（非负整数解）的含义，解题时要注意解不等式两边同乘负数时不等号方向需要改变，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
6.某市出租车起步价所包含的路程为0～3 km，超过3 km的部分按每千米另收费，明明乘坐这种出租车走了7 km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13 km，付了28元.设这种出租车的起步价为x元，超过3 km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（
A.$\begin{cases} 3x + (7 - 3)y = 16, \\ 3x + (13 - 3)y = 28 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + 7y = 16, \\ x + 13y = 28 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + (7 - 3)y = 16, \\ x + (13 - 3)y = 28 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + (7 - 3)y = 16, \\ 3x + (13 - 3)y = 28 \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} 3x + (7 - 3)y = 16, \\ 3x + (13 - 3)y = 28 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + 7y = 16, \\ x + 13y = 28 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + (7 - 3)y = 16, \\ x + (13 - 3)y = 28 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + (7 - 3)y = 16, \\ 3x + (13 - 3)y = 28 \end{cases}$
答案
6.C
解析
【分析】
这是一道分段计费类的二元一次方程组应用题，解题时首先要明确出租车的收费规则：总费用由两部分组成，①0~3km的固定起步价x元，②超过3km的部分，按每千米y元收费，因此总费用=起步价x + 超出3km的路程×y。接下来分别代入明明和盼盼的乘车路程、付款金额列方程，再对比选项排除错误选项即可，可先排除起步价误写为3x的A、D选项，再排除没有减去起步包含3km路程的B选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据收费规则，总费用=起步价 + 超出3km部分的费用：
1. 明明乘坐7km，超出3km的路程为$7-3=4\mathrm{km}$，总费用16元，可列方程：$x + (7-3)y = 16$
2. 盼盼乘坐13km，超出3km的路程为$13-3=10\mathrm{km}$，总费用28元，可列方程：$x + (13-3)y = 28$
联立两个方程得到的方程组和选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
分段计费、二元一次方程组的应用
【点评】
本题是分段计费的常考基础题型，解题核心是理清分段收费的计算规则，准确找到等量关系列方程即可，易错点是忘记减去起步价包含的3km路程，或者错误计算起步价部分的费用。
【难度系数】
0.8
这是一道分段计费类的二元一次方程组应用题，解题时首先要明确出租车的收费规则：总费用由两部分组成，①0~3km的固定起步价x元，②超过3km的部分，按每千米y元收费，因此总费用=起步价x + 超出3km的路程×y。接下来分别代入明明和盼盼的乘车路程、付款金额列方程，再对比选项排除错误选项即可，可先排除起步价误写为3x的A、D选项，再排除没有减去起步包含3km路程的B选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据收费规则，总费用=起步价 + 超出3km部分的费用：
1. 明明乘坐7km，超出3km的路程为$7-3=4\mathrm{km}$，总费用16元，可列方程：$x + (7-3)y = 16$
2. 盼盼乘坐13km，超出3km的路程为$13-3=10\mathrm{km}$，总费用28元，可列方程：$x + (13-3)y = 28$
联立两个方程得到的方程组和选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
分段计费、二元一次方程组的应用
【点评】
本题是分段计费的常考基础题型，解题核心是理清分段收费的计算规则，准确找到等量关系列方程即可，易错点是忘记减去起步价包含的3km路程，或者错误计算起步价部分的费用。
【难度系数】
0.8
7.关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x ＞ x + 1, \\4x ＜ 8\end{cases}$的解集是 ______ 。
答案
7.$1＜x＜2$
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求出组内每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分，公共部分就是不等式组的最终解集。本题先分别求解两个一元一次不等式，再确定公共解集即可。
【解析】
1. 解第一个不等式$2x ＞ x + 1$：
移项得$2x - x ＞ 1$，化简得$x ＞ 1$。
2. 解第二个不等式$4x ＜ 8$：
不等式两边同时除以4（正数，不等号方向不变），得$x ＜ 2$。
3. 确定公共解集：
两个解集的公共部分为$1＜x＜2$，即不等式组的解集为$1＜x＜2$。
【答案】
$1＜x＜2$
【知识点】
解一元一次不等式，一元一次不等式组的解集
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次不等式组的常规解法，只要掌握解一元一次不等式的方法和找公共解集的规律，即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求出组内每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分，公共部分就是不等式组的最终解集。本题先分别求解两个一元一次不等式，再确定公共解集即可。
【解析】
1. 解第一个不等式$2x ＞ x + 1$：
移项得$2x - x ＞ 1$，化简得$x ＞ 1$。
2. 解第二个不等式$4x ＜ 8$：
不等式两边同时除以4（正数，不等号方向不变），得$x ＜ 2$。
3. 确定公共解集：
两个解集的公共部分为$1＜x＜2$，即不等式组的解集为$1＜x＜2$。
【答案】
$1＜x＜2$
【知识点】
解一元一次不等式，一元一次不等式组的解集
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次不等式组的常规解法，只要掌握解一元一次不等式的方法和找公共解集的规律，即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
8.若点P(-3,a)在x轴上，则点Q(a-3,a+1)所在象限是第
二
象限。答案
8.二
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先根据x轴上点的纵坐标为0的特征，求出a的取值；第二步，将a的值代入点Q的坐标表达式，计算出点Q的横、纵坐标；第三步，根据各象限内点的横、纵坐标的正负特征，判断点Q所在的象限。
【解析】
∵ 点P(-3,a)在x轴上，x轴上所有点的纵坐标为0，
∴ a=0，
将a=0代入点Q的坐标得：
横坐标a-3=0-3=-3，纵坐标a+1=0+1=1，
∴ 点Q的坐标为(-3,1)，
∵ 第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，符合点Q的坐标特征，
∴ 点Q在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
x轴上点的坐标特征；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查特殊位置点的坐标规律，熟练掌握坐标轴、各象限内点的坐标正负特点是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题思路分为三步：第一步，先根据x轴上点的纵坐标为0的特征，求出a的取值；第二步，将a的值代入点Q的坐标表达式，计算出点Q的横、纵坐标；第三步，根据各象限内点的横、纵坐标的正负特征，判断点Q所在的象限。
【解析】
∵ 点P(-3,a)在x轴上，x轴上所有点的纵坐标为0，
∴ a=0，
将a=0代入点Q的坐标得：
横坐标a-3=0-3=-3，纵坐标a+1=0+1=1，
∴ 点Q的坐标为(-3,1)，
∵ 第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，符合点Q的坐标特征，
∴ 点Q在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
x轴上点的坐标特征；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查特殊位置点的坐标规律，熟练掌握坐标轴、各象限内点的坐标正负特点是解题的关键。
【难度系数】
0.9
9. 在解关于$x,y$的方程组
$\begin{cases}(m+1)x - ny = 8, ① \\ nx + my = 11 ②\end{cases}$时，可以用①×2+②消去未知数$x$，也可以用①+②×5消去未知数$y$，则$m-n=$ ______ 。
$\begin{cases}(m+1)x - ny = 8, ① \\ nx + my = 11 ②\end{cases}$时，可以用①×2+②消去未知数$x$，也可以用①+②×5消去未知数$y$，则$m-n=$ ______ 。
答案
9.$-\dfrac{8}{7}$
10.如图,已知$AB// CD$，BE、DE的交点为E，现作如下操作:第一次操作,分别作$∠ ABE$和$∠ CDE$的平分线,交点为$E_1$，第二次操作,分别作$∠ ABE_1$和$∠ CDE_1$的平分线,交点为$E_2$，第三次操作,分别作$∠ ABE_2$和$∠ CDE_2$的平分线,交点为$E_3$，…,第$n(n≥2)$次操作,分别作$∠ ABE_{n-1}$和$∠ CDE_{n-1}$的平分线,交点为$E_n$，若$∠ E_n=α$度,则$∠ BED=$
$2^nα$
度. 答案
10.$2^nα$
解析
【分析】
首先回忆平行线的“铅笔头”拐角模型：当两条平行线间存在开口朝左的拐点时，拐点处的角等于平行线与拐点连线所形成的两个内侧角的和。解题时先推导出初始∠BED和∠ABE、∠CDE的关系，再根据角平分线的性质，依次推导∠E₁、∠E₂…∠Eₙ和∠BED的数量关系，最后根据∠Eₙ=α反向求出∠BED的度数。
【解析】
过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE。
第一次操作：BE₁平分∠ABE，DE₁平分∠CDE，
∴∠ABE₁=$\frac{1}{2}$∠ABE，∠CDE₁=$\frac{1}{2}$∠CDE，
同理可得∠E₁=∠ABE₁+∠CDE₁=$\frac{1}{2}$(∠ABE+∠CDE)=$\frac{1}{2}$∠BED；
第二次操作：BE₂平分∠ABE₁，DE₂平分∠CDE₁，
∴∠E₂=$\frac{1}{2}$∠E₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$∠BED=$\frac{∠BED}{2^2}$；
第三次操作：同理可得∠E₃=$\frac{∠BED}{2^3}$；
……
以此类推，第n次操作后，∠Eₙ=$\frac{∠BED}{2^n}$，
已知∠Eₙ=α，
∴α=$\frac{∠BED}{2^n}$，即∠BED=$2^nα$。
【答案】
$2^nα$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；规律探究
【点评】
本题结合平行线拐角模型和规律探究考查，需要先熟练掌握平行线的性质推导拐角处的角度关系，再通过前几次的操作归纳出角度变化的通用规律，能够有效考查逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
首先回忆平行线的“铅笔头”拐角模型：当两条平行线间存在开口朝左的拐点时，拐点处的角等于平行线与拐点连线所形成的两个内侧角的和。解题时先推导出初始∠BED和∠ABE、∠CDE的关系，再根据角平分线的性质，依次推导∠E₁、∠E₂…∠Eₙ和∠BED的数量关系，最后根据∠Eₙ=α反向求出∠BED的度数。
【解析】
过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//AB//CD，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE。
第一次操作：BE₁平分∠ABE，DE₁平分∠CDE，
∴∠ABE₁=$\frac{1}{2}$∠ABE，∠CDE₁=$\frac{1}{2}$∠CDE，
同理可得∠E₁=∠ABE₁+∠CDE₁=$\frac{1}{2}$(∠ABE+∠CDE)=$\frac{1}{2}$∠BED；
第二次操作：BE₂平分∠ABE₁，DE₂平分∠CDE₁，
∴∠E₂=$\frac{1}{2}$∠E₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$∠BED=$\frac{∠BED}{2^2}$；
第三次操作：同理可得∠E₃=$\frac{∠BED}{2^3}$；
……
以此类推，第n次操作后，∠Eₙ=$\frac{∠BED}{2^n}$，
已知∠Eₙ=α，
∴α=$\frac{∠BED}{2^n}$，即∠BED=$2^nα$。
【答案】
$2^nα$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；规律探究
【点评】
本题结合平行线拐角模型和规律探究考查，需要先熟练掌握平行线的性质推导拐角处的角度关系，再通过前几次的操作归纳出角度变化的通用规律，能够有效考查逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
