三、解答题
11.解方程组$\begin{cases} \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 1, \\ 3x - 4y = 2. \end{cases}$

11.$\begin{cases} x=6, \\ y=4. \end{cases}$

【分析】
这是二元一次方程组求解问题，首先观察到第一个方程含有分母，解题第一步应利用等式的性质去掉分母，将方程转化为整数系数的方程，再选择加减消元法或代入消元法消去一个未知数，求出另一个未知数的值，最后代入方程求出剩余未知数的值即可。注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，消元计算时注意符号变化。
【解析】
解：将原方程组标记为：
$\begin{cases} \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 1 \quad ①, \\ 3x - 4y = 2 \quad ②. \end{cases}$
第一步：整理方程①，两边同时乘12（3和4的最小公倍数）去分母得：
$12×\dfrac{x}{3} - 12×\dfrac{y}{4} = 12×1$
化简得：$4x - 3y = 12 \quad ③$
第二步：用加减消元法消去$x$，给③两边同时乘3得：$12x - 9y = 36 \quad ④$
给②两边同时乘4得：$12x - 16y = 8 \quad ⑤$
用④减去⑤得：$(12x - 9y) - (12x - 16y) = 36 - 8$
去括号合并同类项得：$7y = 28$，解得$y = 4$
第三步：把$y=4$代入方程②得：$3x - 4×4 = 2$
计算得：$3x = 18$，解得$x = 6$
经检验，$x=6$，$y=4$是原方程组的解。
【答案】
$\begin{cases} x=6, \\ y=4. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，等式的性质，加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的常规基础题，解题的关键是先将带分母的方程化为整数系数方程，再灵活选用消元法求解，计算时要注意去分母不要漏乘常数项，消元运算时不要搞错符号。
【难度系数】
0.8

12.为了让每个农村孩子都能上学，国家实施了“农村中小学寄宿制学校建设工程”，如图是某寄宿制学校的平面示意图，已知旗杆的位置是$(-2,3)$，实验室的位置是$(1,4)$。
(1)请你画出该学校平面示意图所在的坐标系；
(2)办公楼的位置是$(-2,1)$，教学楼的位置是$(2,2)$，在图中标出办公楼和教学楼的位置；
(3)写出食堂、图书馆的坐标。

12.解:(1)(2)如图所示：
(3)食堂$(-5,5)$,图书馆$(2,5)$。

【分析】
解决本题首先要明确平面直角坐标系中点的坐标的含义：横坐标表示点到y轴的距离，y轴左侧为负、右侧为正；纵坐标表示点到x轴的距离，x轴下方为负、上方为正。第一步先根据已知的旗杆$(-2,3)$和实验室$(1,4)$的坐标，确定原点位置、坐标轴方向和单位长度：旗杆横坐标为-2，说明它在y轴左侧2格，纵坐标为3说明在x轴上方3格，结合两点的相对位置，可确定大门位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每格边长为1个单位长度，即可画出坐标系。第二步根据点的坐标找位置：横坐标确定左右位置，纵坐标确定上下位置，即可标出办公楼和教学楼。第三步观察食堂、图书馆相对于坐标轴的位置，分别写出对应的横、纵坐标即可。
【解析】
(1) 以大门所在位置为原点$O$，水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向，每个小方格的边长为1个单位长度，建立平面直角坐标系。
(2) 找办公楼位置：横坐标为$-2$，即从原点向左走2格，纵坐标为$1$，即向上走1格，在此处标注“办公楼”；找教学楼位置：横坐标为$2$，即从原点向右走2格，纵坐标为$2$，即向上走2格，在此处标注“教学楼”。
(3) 观察食堂的位置：位于y轴左侧5格，x轴上方5格，因此横坐标为$-5$，纵坐标为$5$；图书馆位于y轴右侧2格，x轴上方5格，因此横坐标为$2$，纵坐标为$5$。
【答案】
(1)(2)如图所示：
(3)食堂$(-5,5)$，图书馆$(2,5)$
【知识点】
平面直角坐标系，坐标确定位置，点的坐标
【点评】
本题结合校园平面示意图考查平面直角坐标系的基础应用，解题核心是先根据已知点坐标确定坐标系的三要素，再利用坐标的几何意义完成找点、写坐标的操作，实用性较强，熟练掌握坐标的含义就能轻松解决。
【难度系数】
0.8

13.为宣传山西旅游资源,促进旅游业发展,山西某中学课外活动小组制作了精美的山西省景点卡片,并为每一张卡片制作了一个具有特色的包装封皮.A小组成员制作正方形卡片,B小组成员制作长方形封皮,请你通过计算,判断卡片能否直接装进长方形封皮中.
课题 山西省景点卡片及封皮制作
图示、数据及计算
图示
相关数据及说明 正方形卡片的面积为64 cm²,长方形封皮的长与宽的比为2:1,面积为140 cm².
计算结果 ……

13.解:设长方形封皮的宽为$x$ cm,则长为$2x$ cm,
依题意,得 $x · 2x=140$,
整理,得 $x^2=70$,解得 $x=\sqrt{70}$(负值已舍去).
$\because$ 正方形卡片的面积为 64 cm²,
$\therefore$ 正方形卡片的边长为 $\sqrt{64}=8(\mathrm{cm})$.
$\because \sqrt{70}＞8$,
$\therefore$ 正方形卡片能直接装进长方形封皮中.

【分析】
要判断正方形卡片能否装进长方形封皮，核心是比较正方形卡片的边长和长方形封皮的宽的大小：若正方形边长≤长方形的宽，就能装入，反之则不能。解题步骤分为三步：第一，根据长方形的长宽比和面积，设未知数列方程求出长方形封皮的宽；第二，根据正方形的面积求出正方形卡片的边长；第三，比较两个数值的大小即可得出结论。
【解析】
解：设长方形封皮的宽为$x$ cm，则长为$2x$ cm，
依题意，得 $x · 2x=140$，
整理，得 $x^2=70$，
因为长度为正数，所以解得 $x=\sqrt{70}$(负值已舍去)。
$\because$ 正方形卡片的面积为 64 cm²，
$\therefore$ 正方形卡片的边长为 $\sqrt{64}=8(\mathrm{cm})$。
$\because \sqrt{70}＞\sqrt{64}=8$，即长方形封皮的宽大于正方形卡片的边长，且封皮的长大于宽，因此卡片可以顺利装入。
【答案】
卡片能直接装进长方形封皮中。
【知识点】
算术平方根的应用；面积计算；实数大小比较
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题的关键是找准判断的核心比较量，将实际问题转化为数学中的解方程、算术平方根计算和大小比较问题，难度不高，注重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.8

14.(1)如图1，AB//CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE.求证：∠E=∠ABE+∠CDE；
(2)如图2，在(1)的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想.

14.(1)证明:如图,过点$E$作$EH // AB$,

$\therefore ∠ BEH=∠ ABE$,
$\because EH // AB,CD // AB$,
$\therefore EH // CD$,
$\therefore ∠ DEH=∠ CDE$,
$\therefore ∠ BED = ∠ BEH + ∠ DEH = ∠ ABE +∠ CDE$;
(2)解:$2∠ F-(∠ ABE+∠ CDE)=180°$,理由如下:
由(1)知,$∠ BED=∠ ABE+∠ CDE$,
$\because ∠ EDB+∠ EBD+∠ BED=180°$,
$\therefore ∠ EBD+∠ EDB=180°-∠ BED=180°-(∠ ABE+∠ CDE)$,
$\because BF,DF$分别是$∠ DBE,∠ BDE$的平分线,
$\therefore ∠ EBD=2∠ DBF,∠ EDB=2∠ BDF$,
$\therefore 2∠ DBF+2∠ BDF=180°-(∠ ABE+∠ CDE)$,
$\therefore ∠ DBF + ∠ BDF = 90° - \frac{1}{2}(∠ ABE +∠ CDE)$,
在$△ BDF$中,$∠ F=180°-(∠ DBF+∠ BDF)$
$=180°-[90°-\frac{1}{2}(∠ ABE+∠ CDE)]=90°+\frac{1}{2}(∠ ABE+∠ CDE)$,即 $2∠ F-(∠ ABE+∠ CDE)=180°$.

【分析】
(1)本题属于平行线间的拐点角度证明问题，这类问题的通用解题思路是过拐点作已知平行线的平行线，利用平行线的传递性得到新的平行关系，再结合“两直线平行，内错角相等”的性质，将待证的∠E拆分为两个分别与∠ABE、∠CDE相等的角，求和即可证明结论。
(2)第二问可在第一问结论的基础上推导：首先利用三角形内角和为180°，得到△BED中∠EBD、∠EDB与∠BED的关系；再结合角平分线的定义，得到∠FBD、∠FDB与∠EBD、∠EDB的倍分关系；最后再次利用△BDF的内角和为180°，代入化简即可得到∠F、∠ABE、∠CDE三者的关系。
【解析】
(1)证明：如图，过点$E$作$EH // AB$，
$\therefore ∠ BEH=∠ ABE$（两直线平行，内错角相等），
$\because EH // AB,CD // AB$，
$\therefore EH // CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ DEH=∠ CDE$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ BED = ∠ BEH + ∠ DEH = ∠ ABE +∠ CDE$，即$∠E=∠ABE+∠CDE$得证。
(2)猜想：$2∠ F-(∠ ABE+∠ CDE)=180°$，证明如下：
由(1)知，$∠ BED=∠ ABE+∠ CDE$，
在$△ BED$中，$\because ∠ EDB+∠ EBD+∠ BED=180°$（三角形内角和为180°），
$\therefore ∠ EBD+∠ EDB=180°-∠ BED=180°-(∠ ABE+∠ CDE)$，
$\because BF,DF$分别是$∠ DBE,∠ BDE$的平分线，
$\therefore ∠ EBD=2∠ DBF,∠ EDB=2∠ BDF$（角平分线定义），
代入上式得：$2∠ DBF+2∠ BDF=180°-(∠ ABE+∠ CDE)$，
两边同除以2得：$∠ DBF + ∠ BDF = 90° - \frac{1}{2}(∠ ABE +∠ CDE)$，
在$△ BDF$中，$∠ F=180°-(∠ DBF+∠ BDF)$（三角形内角和为180°），
将上式代入得：$∠F=180°-[90°-\frac{1}{2}(∠ ABE+∠ CDE)]=90°+\frac{1}{2}(∠ ABE+∠ CDE)$，
整理得$2∠ F-(∠ ABE+∠ CDE)=180°$，猜想成立。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$2∠ F-(∠ ABE+∠ CDE)=180°$，证明见解析；
辅助线图示：
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是平行线性质与三角形内角和、角平分线的综合应用题，过拐点作平行线是解决平行线间角度关系问题的常用技巧，第二问需要结合第一问的结论，通过角度的等量代换和化简推导关系，熟练掌握角度间的等量转化是解题的关键。
【难度系数】
0.7