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1. 在实数$\frac{1}{7}$，$\sqrt{25}$，$\sqrt[3]{9}$，$π$，3.121 121 121…中，无理数有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
解题核心是先明确无理数的定义（无限不循环小数），再将题中所给的数逐一化简后，对照定义判断是否为无理数，最后统计个数即可。思考时要注意两点：①带根号的数需要先化简，开方开不尽的才是无理数，不能直接看到根号就判定为无理数；②无限循环小数属于有理数，只有无限不循环的才是无理数。
【解析】
首先明确相关定义：无限不循环小数叫做无理数；整数、分数都属于有理数，有限小数和无限循环小数也归为有理数。
对题中的数逐一判断：
1. $\frac{1}{7}$是分数，属于有理数；
2. $\sqrt{25}=5$，是整数，属于有理数；
3. $\sqrt[3]{9}$是开立方运算后开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
4. $π$是典型的无限不循环小数，属于无理数；
5. 3.121121121…是有固定循环节的无限循环小数，属于有理数。
综上，无理数共有2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是牢记无理数的常见类型：开方开不尽的数、含π的数、结构特殊的无限不循环小数，判断时要先对数字进行化简，避免误判。
【难度系数】
0.8
解题核心是先明确无理数的定义（无限不循环小数），再将题中所给的数逐一化简后，对照定义判断是否为无理数，最后统计个数即可。思考时要注意两点：①带根号的数需要先化简，开方开不尽的才是无理数，不能直接看到根号就判定为无理数；②无限循环小数属于有理数，只有无限不循环的才是无理数。
【解析】
首先明确相关定义：无限不循环小数叫做无理数；整数、分数都属于有理数，有限小数和无限循环小数也归为有理数。
对题中的数逐一判断：
1. $\frac{1}{7}$是分数，属于有理数；
2. $\sqrt{25}=5$，是整数，属于有理数；
3. $\sqrt[3]{9}$是开立方运算后开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
4. $π$是典型的无限不循环小数，属于无理数；
5. 3.121121121…是有固定循环节的无限循环小数，属于有理数。
综上，无理数共有2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是牢记无理数的常见类型：开方开不尽的数、含π的数、结构特殊的无限不循环小数，判断时要先对数字进行化简，避免误判。
【难度系数】
0.8
2.已知点A(-1,3)和点B(3,m-1)，如果直线AB⊥y轴，那么m的值为（
A.1
B.-4
C.-1
D.4
D
）A.1
B.-4
C.-1
D.4
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先回忆垂直于y轴的直线的性质：垂直于y轴的直线平行于x轴，该直线上所有点的纵坐标相等。因此我们只需要让A、B两点的纵坐标相等，列方程求解即可得到m的值。
【解析】
∵直线AB⊥y轴
∴直线AB平行于x轴，直线上所有点的纵坐标相等
已知点A的纵坐标为3，点B的纵坐标为m-1
∴可列等式：m-1=3
解得：m=3+1=4
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊直线上点的坐标特征，属于基础题，解题的核心是牢记垂直于y轴的直线上各点纵坐标相同，掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆垂直于y轴的直线的性质：垂直于y轴的直线平行于x轴，该直线上所有点的纵坐标相等。因此我们只需要让A、B两点的纵坐标相等，列方程求解即可得到m的值。
【解析】
∵直线AB⊥y轴
∴直线AB平行于x轴，直线上所有点的纵坐标相等
已知点A的纵坐标为3，点B的纵坐标为m-1
∴可列等式：m-1=3
解得：m=3+1=4
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征、解一元一次方程
【点评】
本题考查平面直角坐标系中特殊直线上点的坐标特征，属于基础题，解题的核心是牢记垂直于y轴的直线上各点纵坐标相同，掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3.已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax+by=3,\\ax-by=1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1,\\y=-1,\end{cases}$则$a-2b$的值是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3.D
解析
【分析】
解题的核心是利用二元一次方程组解的定义：方程组的解能使方程组中每个方程的左右两边都相等。首先将已知的x、y的值代入原方程组，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的数值后，再代入代数式a-2b计算即可得到结果。
【解析】
将$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}ax+by=3\\ax-by=1\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}a×1 + b×(-1)=3 \\a×1 - b×(-1)=1 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \quad①\\a + b = 1 \quad②\end{cases}$
用①+②消去b，得：$2a=4$，解得$a=2$。
把$a=2$代入①式，得：$2 - b = 3$，解得$b=-1$。
将$a=2$，$b=-1$代入$a-2b$，得：
$a-2b=2 - 2×(-1)=2 + 2=4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解二元一次方程组解的含义，通过代入转化为关于参数的方程组求解，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用二元一次方程组解的定义：方程组的解能使方程组中每个方程的左右两边都相等。首先将已知的x、y的值代入原方程组，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的数值后，再代入代数式a-2b计算即可得到结果。
【解析】
将$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}ax+by=3\\ax-by=1\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}a×1 + b×(-1)=3 \\a×1 - b×(-1)=1 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \quad①\\a + b = 1 \quad②\end{cases}$
用①+②消去b，得：$2a=4$，解得$a=2$。
把$a=2$代入①式，得：$2 - b = 3$，解得$b=-1$。
将$a=2$，$b=-1$代入$a-2b$，得：
$a-2b=2 - 2×(-1)=2 + 2=4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解二元一次方程组解的含义，通过代入转化为关于参数的方程组求解，计算过程中注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
4.光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，会发生折射，已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的，如图，∠1=40°，∠2=110°，则∠3+∠4的值为（
A.100°
B.110°
C.120°
D.150°
B
）A.100°
B.110°
C.120°
D.150°
答案
4.B
解析
【分析】
首先明确题中的平行关系：水面为水平直线，空气中的两条折射光线互相平行，水中的两条入射光线互相平行。先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠3的度数，再利用“两直线平行，同旁内角互补”求出∠4的度数，最后将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵空气中的两条折射光线互相平行，∠1和∠3是同位角
∴∠3 = ∠1 = 40°（两直线平行，同位角相等）
又
∵水中的两条入射光线互相平行，∠2和∠4是同旁内角
∴∠2 + ∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
已知∠2=110°，代入得：
∠4 = 180° - 110° = 70°
因此∠3 + ∠4 = 40° + 70° = 110°
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题结合光的折射现象考查平行线的性质，解题的关键是准确识别同位角、同旁内角，再对应平行线的性质求解，属于几何知识在实际场景中的简单应用。
【难度系数】
0.8
首先明确题中的平行关系：水面为水平直线，空气中的两条折射光线互相平行，水中的两条入射光线互相平行。先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠3的度数，再利用“两直线平行，同旁内角互补”求出∠4的度数，最后将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵空气中的两条折射光线互相平行，∠1和∠3是同位角
∴∠3 = ∠1 = 40°（两直线平行，同位角相等）
又
∵水中的两条入射光线互相平行，∠2和∠4是同旁内角
∴∠2 + ∠4 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
已知∠2=110°，代入得：
∠4 = 180° - 110° = 70°
因此∠3 + ∠4 = 40° + 70° = 110°
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题结合光的折射现象考查平行线的性质，解题的关键是准确识别同位角、同旁内角，再对应平行线的性质求解，属于几何知识在实际场景中的简单应用。
【难度系数】
0.8
5.已知关于$x$的不等式组$\begin{cases} x - \dfrac{3x -5}{2} ＜2, \\ 2x -a ≤ -1. \end{cases}$ 下列四个结论：
①若它的解集是$1＜x≤3$，则$a=7$；
②当$a=3$时，不等式组有解；
③若它的整数解仅有1个，则$a$的取值范围是$7≤ a＜9$；
④若它有解，则$a＞3$。
其中正确的结论个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
①若它的解集是$1＜x≤3$，则$a=7$；
②当$a=3$时，不等式组有解；
③若它的整数解仅有1个，则$a$的取值范围是$7≤ a＜9$；
④若它有解，则$a＞3$。
其中正确的结论个数是（
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.B
解析
【分析】
先分别解不等式组中的两个不等式，得到$x＞1$和$x≤\frac{a-1}{2}$，不等式组的解集为两个解集的公共部分。接下来逐个验证四个结论：①根据给定的解集列等式求$a$的值；②代入$a=3$判断两个解集是否有公共部分；③结合整数解仅有1个的条件，确定$\frac{a-1}{2}$的取值范围，进而求出$a$的范围；④根据不等式组有解的条件（两个解集有公共部分）推导$a$的取值范围，最后统计正确结论的个数。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式$x - \dfrac{3x -5}{2} ＜2$：
两边同乘2去分母，得$2x-(3x-5)＜4$，
去括号，得$2x-3x+5＜4$，
移项、合并同类项，得$-x＜-1$，
系数化为1，得$x＞1$。
解不等式$2x -a ≤ -1$：
移项，得$2x≤a-1$，
系数化为1，得$x≤\dfrac{a-1}{2}$。
第二步：逐个分析四个结论
①若解集是$1＜x≤3$，则$\dfrac{a-1}{2}=3$，解得$a=7$，故①正确；
②当$a=3$时，$\dfrac{a-1}{2}=\dfrac{3-1}{2}=1$，此时不等式组的解集为$x＞1$且$x≤1$，无公共部分，不等式组无解，故②错误；
③若整数解仅有1个，结合$x＞1$可知唯一整数解为2，因此$2≤\dfrac{a-1}{2}＜3$，两边同乘2得$4≤a-1＜6$，解得$5≤a＜7$，故③错误；
④若不等式组有解，则两个解集有公共部分，即$\dfrac{a-1}{2}＞1$，解得$a＞3$，故④正确。
综上，正确的结论是①④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组；含参不等式组分析；不等式组整数解
【点评】
本题考查含参数的一元一次不等式组的综合应用，解题核心是先求出不含参数的不等式的解集，再结合题目条件推导参数的取值范围，分析过程中要注意端点值的取舍，避免因端点判断错误失分。
【难度系数】
0.6
先分别解不等式组中的两个不等式，得到$x＞1$和$x≤\frac{a-1}{2}$，不等式组的解集为两个解集的公共部分。接下来逐个验证四个结论：①根据给定的解集列等式求$a$的值；②代入$a=3$判断两个解集是否有公共部分；③结合整数解仅有1个的条件，确定$\frac{a-1}{2}$的取值范围，进而求出$a$的范围；④根据不等式组有解的条件（两个解集有公共部分）推导$a$的取值范围，最后统计正确结论的个数。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式$x - \dfrac{3x -5}{2} ＜2$：
两边同乘2去分母，得$2x-(3x-5)＜4$，
去括号，得$2x-3x+5＜4$，
移项、合并同类项，得$-x＜-1$，
系数化为1，得$x＞1$。
解不等式$2x -a ≤ -1$：
移项，得$2x≤a-1$，
系数化为1，得$x≤\dfrac{a-1}{2}$。
第二步：逐个分析四个结论
①若解集是$1＜x≤3$，则$\dfrac{a-1}{2}=3$，解得$a=7$，故①正确；
②当$a=3$时，$\dfrac{a-1}{2}=\dfrac{3-1}{2}=1$，此时不等式组的解集为$x＞1$且$x≤1$，无公共部分，不等式组无解，故②错误；
③若整数解仅有1个，结合$x＞1$可知唯一整数解为2，因此$2≤\dfrac{a-1}{2}＜3$，两边同乘2得$4≤a-1＜6$，解得$5≤a＜7$，故③错误；
④若不等式组有解，则两个解集有公共部分，即$\dfrac{a-1}{2}＞1$，解得$a＞3$，故④正确。
综上，正确的结论是①④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式组；含参不等式组分析；不等式组整数解
【点评】
本题考查含参数的一元一次不等式组的综合应用，解题核心是先求出不含参数的不等式的解集，再结合题目条件推导参数的取值范围，分析过程中要注意端点值的取舍，避免因端点判断错误失分。
【难度系数】
0.6
6.蛟龙去，灵蛇来，乙巳蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意吉祥如意，象征中华文化中绵延不断、生生不息的精神内核，小红想调查她所在学校学生对“日”字寓意的了解情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取学生的方法最合适的是（
A.随机抽取该校一个班级的学生
B.随机抽取该校一个年级的学生
C.随机抽取该校一部分女生
D.分别从该校各年级的每个班中随机抽取10%的学生
D
）A.随机抽取该校一个班级的学生
B.随机抽取该校一个年级的学生
C.随机抽取该校一部分女生
D.分别从该校各年级的每个班中随机抽取10%的学生
答案
6.D
解析
【分析】
要判断哪种抽样方法最合适，核心是看抽取的样本是否具有广泛性和代表性，能否准确反映全校学生的整体情况。我们需要逐个分析选项的样本覆盖范围，排除有偏向、覆盖不全的抽样方式，选出能代表全校学生群体的选项。
【解析】
本次调查的总体是该校全体学生对“日”字寓意的了解情况，抽样的样本需能代表全校各类学生的情况：
A.仅抽取一个班级的学生，样本覆盖范围极小，无法代表不同年级学生的情况，抽样方式不合适；
B.仅抽取一个年级的学生，遗漏了其他年级的学生群体，样本不具有全校代表性，抽样方式不合适；
C.仅抽取女生，遗漏了男生群体，样本存在偏向性，无法反映全体学生的情况，抽样方式不合适；
D.从各年级每个班中随机抽取10%的学生，覆盖了全校不同年级、不同班级的所有学生群体，样本具有代表性和广泛性，是最合适的抽样方法。
【答案】
D
【知识点】
1.抽样调查 2.样本选取原则
【点评】
本题结合春晚热点背景考查抽样调查的相关知识，贴近生活实际，重点考查学生对样本选取需具备代表性、广泛性的理解，是统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.9
要判断哪种抽样方法最合适，核心是看抽取的样本是否具有广泛性和代表性，能否准确反映全校学生的整体情况。我们需要逐个分析选项的样本覆盖范围，排除有偏向、覆盖不全的抽样方式，选出能代表全校学生群体的选项。
【解析】
本次调查的总体是该校全体学生对“日”字寓意的了解情况，抽样的样本需能代表全校各类学生的情况：
A.仅抽取一个班级的学生，样本覆盖范围极小，无法代表不同年级学生的情况，抽样方式不合适；
B.仅抽取一个年级的学生，遗漏了其他年级的学生群体，样本不具有全校代表性，抽样方式不合适；
C.仅抽取女生，遗漏了男生群体，样本存在偏向性，无法反映全体学生的情况，抽样方式不合适；
D.从各年级每个班中随机抽取10%的学生，覆盖了全校不同年级、不同班级的所有学生群体，样本具有代表性和广泛性，是最合适的抽样方法。
【答案】
D
【知识点】
1.抽样调查 2.样本选取原则
【点评】
本题结合春晚热点背景考查抽样调查的相关知识，贴近生活实际，重点考查学生对样本选取需具备代表性、广泛性的理解，是统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.9
7. 不等式组$\begin{cases}2x - 6 ≤ 0, \\1 - x ＞ 0\end{cases}$的解集是 ______ 。
答案
7.$x＜1$
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步先分别求解组内每个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步再找两个解集的公共部分，公共部分就是不等式组的最终解集。求解单个不等式时要注意：不等号两边同时乘除负数时，不等号方向要改变；确定公共解集可以借助“同小取小”等口诀判断。
【解析】
分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$2x - 6 ≤ 0$：
移项得$2x ≤ 6$，两边同时除以2（正数，不等号方向不变），得$x ≤ 3$。
2. 解不等式$1 - x ＞ 0$：
移项得$-x ＞ -1$，两边同时除以$-1$（负数，不等号方向改变），得$x ＜ 1$。
根据“同小取小”的解集判定规则，两个解集$x ≤ 3$和$x ＜ 1$的公共部分为$x ＜ 1$。
【答案】
$x＜1$
【知识点】
解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，只要熟练掌握解一元一次不等式的操作规则和不等式组解集的判定方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步先分别求解组内每个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步再找两个解集的公共部分，公共部分就是不等式组的最终解集。求解单个不等式时要注意：不等号两边同时乘除负数时，不等号方向要改变；确定公共解集可以借助“同小取小”等口诀判断。
【解析】
分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$2x - 6 ≤ 0$：
移项得$2x ≤ 6$，两边同时除以2（正数，不等号方向不变），得$x ≤ 3$。
2. 解不等式$1 - x ＞ 0$：
移项得$-x ＞ -1$，两边同时除以$-1$（负数，不等号方向改变），得$x ＜ 1$。
根据“同小取小”的解集判定规则，两个解集$x ≤ 3$和$x ＜ 1$的公共部分为$x ＜ 1$。
【答案】
$x＜1$
【知识点】
解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，只要熟练掌握解一元一次不等式的操作规则和不等式组解集的判定方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
8.某校图书管理员清理课外书籍时，将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图，已知甲类书有60本，则丙类书的本数是
160本
。答案
8.160本
解析
【分析】
解题思路如下：首先扇形统计图中所有类别占比之和为100%（即单位“1”），已知甲类书的数量和对应占比，我们可以先通过“总量=部分量÷对应占比”算出三类书籍的总数量；接着计算丙类书的占比，用1减去甲、乙两类的占比即可；最后用总数量乘丙类的占比，就能得到丙类书的本数。
【解析】
第一步：计算三类书籍的总数量
已知甲类书有60本，占比15%，总本数 = 甲类本数÷甲类占比 = $60÷15\% = 400$（本）
第二步：计算丙类书的占比
丙类占比 = $1 - 15\% - 45\% = 40\%$
第三步：计算丙类书的本数
丙类本数 = 总本数×丙类占比 = $400×40\% = 160$（本）
【答案】
160本
【知识点】
扇形统计图，百分数应用，量率对应
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题，核心是掌握扇形统计图的特征，熟练运用部分量、对应百分比、总数量三者之间的关系进行计算，解题时注意百分比的运算不要出错。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先扇形统计图中所有类别占比之和为100%（即单位“1”），已知甲类书的数量和对应占比，我们可以先通过“总量=部分量÷对应占比”算出三类书籍的总数量；接着计算丙类书的占比，用1减去甲、乙两类的占比即可；最后用总数量乘丙类的占比，就能得到丙类书的本数。
【解析】
第一步：计算三类书籍的总数量
已知甲类书有60本，占比15%，总本数 = 甲类本数÷甲类占比 = $60÷15\% = 400$（本）
第二步：计算丙类书的占比
丙类占比 = $1 - 15\% - 45\% = 40\%$
第三步：计算丙类书的本数
丙类本数 = 总本数×丙类占比 = $400×40\% = 160$（本）
【答案】
160本
【知识点】
扇形统计图，百分数应用，量率对应
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题，核心是掌握扇形统计图的特征，熟练运用部分量、对应百分比、总数量三者之间的关系进行计算，解题时注意百分比的运算不要出错。
【难度系数】
0.8
9.已知$\sqrt{6}+1$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，$\dfrac{a+2b}{2a}=$
$\dfrac{2\sqrt{6}-1}{6}$
。答案
9.$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$
解析
【分析】
解题时首先需要确定$\sqrt{6}$的取值范围，利用相邻完全平方数的算术平方根可以估算无理数的大小：和6相邻的完全平方数是4和9，因此$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，由此可推出$\sqrt{6}+1$的范围，进而得到它的整数部分$a$；小数部分$b$等于原数减去整数部分，最后将$a$、$b$代入所求代数式，按照运算规则化简即可得到结果。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜6＜9$
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$
$\therefore 3＜\sqrt{6}+1＜4$
$\therefore \sqrt{6}+1$的整数部分$a=3$，
小数部分$b=(\sqrt{6}+1)-3=\sqrt{6}-2$
将$a=3$，$b=\sqrt{6}-2$代入$\dfrac{a+2b}{2a}$得：
$\dfrac{a+2b}{2a}=\dfrac{3 + 2×(\sqrt{6}-2)}{2×3}$
$=\dfrac{3 + 2\sqrt{6} - 4}{6}$
$=\dfrac{2\sqrt{6}-1}{6}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{6}-1}{6}$
【知识点】
无理数估算，代数式求值，二次根式化简
【点评】
本题重点考查无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题关键是通过估算得到无理数的取值范围，代入计算时注意运算顺序，避免去括号、合并同类项时出现错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要确定$\sqrt{6}$的取值范围，利用相邻完全平方数的算术平方根可以估算无理数的大小：和6相邻的完全平方数是4和9，因此$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，由此可推出$\sqrt{6}+1$的范围，进而得到它的整数部分$a$；小数部分$b$等于原数减去整数部分，最后将$a$、$b$代入所求代数式，按照运算规则化简即可得到结果。
【解析】
解：$\because 2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜6＜9$
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$
$\therefore 3＜\sqrt{6}+1＜4$
$\therefore \sqrt{6}+1$的整数部分$a=3$，
小数部分$b=(\sqrt{6}+1)-3=\sqrt{6}-2$
将$a=3$，$b=\sqrt{6}-2$代入$\dfrac{a+2b}{2a}$得：
$\dfrac{a+2b}{2a}=\dfrac{3 + 2×(\sqrt{6}-2)}{2×3}$
$=\dfrac{3 + 2\sqrt{6} - 4}{6}$
$=\dfrac{2\sqrt{6}-1}{6}$
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{6}-1}{6}$
【知识点】
无理数估算，代数式求值，二次根式化简
【点评】
本题重点考查无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题关键是通过估算得到无理数的取值范围，代入计算时注意运算顺序，避免去括号、合并同类项时出现错误。
【难度系数】
0.7
10.平面镜反射光线的规律:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等,如图1,一束光线m射到平面镜上,被反射后的光线为n,则∠1=∠2,如图2,小明安装了一块能自动调节方向的平面镜,某时刻,太阳光垂直于水平线照射,为了把太阳光反射到一座水平方向的洞口中去,则∠α的度数为
$45°$
.答案
10.$45°$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的平面镜反射规律：入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角相等。接着观察图2的光线特征：入射太阳光为竖直向下方向，反射光线为水平向左方向，二者夹角为90°。再结合平行线的性质，反射光线与水平线平行，因此反射光线与平面镜l的夹角等于∠α，根据反射规律可知入射光线与平面镜l的夹角也等于∠α。最后利用平角为180°的特征，建立角度和的等式即可求解∠α的度数。
【解析】
由题意可知：入射太阳光竖直向下，反射光线水平向左，因此入射光线与反射光线的夹角为90°。
根据题目给出的平面镜反射规律，入射光线与平面镜l的夹角等于反射光线与平面镜l的夹角。
又因为反射光线与水平线平行，根据平行线同位角相等，反射光线与平面镜l的夹角等于∠α，因此入射光线与平面镜l的夹角也为∠α。
由于平面镜l所在直线为平角，角度为180°，因此可得：
$∠α + ∠α + 90° = 180°$
$2∠α = 90°$
解得$∠α = 45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
平角的定义，平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合生活中平面镜反射的实际场景，考查角度的相关计算，解题的核心是准确理解题目给出的反射规律，梳理清楚各角之间的数量关系，注重对知识实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的平面镜反射规律：入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角相等。接着观察图2的光线特征：入射太阳光为竖直向下方向，反射光线为水平向左方向，二者夹角为90°。再结合平行线的性质，反射光线与水平线平行，因此反射光线与平面镜l的夹角等于∠α，根据反射规律可知入射光线与平面镜l的夹角也等于∠α。最后利用平角为180°的特征，建立角度和的等式即可求解∠α的度数。
【解析】
由题意可知：入射太阳光竖直向下，反射光线水平向左，因此入射光线与反射光线的夹角为90°。
根据题目给出的平面镜反射规律，入射光线与平面镜l的夹角等于反射光线与平面镜l的夹角。
又因为反射光线与水平线平行，根据平行线同位角相等，反射光线与平面镜l的夹角等于∠α，因此入射光线与平面镜l的夹角也为∠α。
由于平面镜l所在直线为平角，角度为180°，因此可得：
$∠α + ∠α + 90° = 180°$
$2∠α = 90°$
解得$∠α = 45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
平角的定义，平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合生活中平面镜反射的实际场景，考查角度的相关计算，解题的核心是准确理解题目给出的反射规律，梳理清楚各角之间的数量关系，注重对知识实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
