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9.如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(2,0),(0,1),线段AB平移至A'B',那么a+b的值为
2
.答案
9.2
解析
【分析】
解决本题需要用到平移的性质：图形平移时，图形上所有点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。我们首先对比点A平移前后的坐标得到横坐标的平移变化量，对比点B平移前后的坐标得到纵坐标的平移变化量，再根据平移规律分别求出a、b的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
已知平移前点A坐标为(2,0)，平移后对应点A'坐标为(3,b)，可得横坐标的变化量为：3 - 2 = 1，说明线段AB向右平移了1个单位长度；
平移前点B坐标为(0,1)，平移后对应点B'坐标为(a,2)，可得纵坐标的变化量为：2 - 1 = 1，说明线段AB向上平移了1个单位长度；
根据平移规律“右加左减，上加下减”：
点B的横坐标加1得到B'的横坐标，即a = 0 + 1 = 1；
点A的纵坐标加1得到A'的纵坐标，即b = 0 + 1 = 1；
因此a + b = 1 + 1 = 2。
【答案】
2
【知识点】
平移的性质；点坐标平移规律；代数式求值
【点评】
本题是坐标平移的基础题型，核心是掌握平移前后对应点的坐标变化规律，牢记“左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标）”的计算规则，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需要用到平移的性质：图形平移时，图形上所有点的横坐标变化量、纵坐标变化量分别相等。我们首先对比点A平移前后的坐标得到横坐标的平移变化量，对比点B平移前后的坐标得到纵坐标的平移变化量，再根据平移规律分别求出a、b的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
已知平移前点A坐标为(2,0)，平移后对应点A'坐标为(3,b)，可得横坐标的变化量为：3 - 2 = 1，说明线段AB向右平移了1个单位长度；
平移前点B坐标为(0,1)，平移后对应点B'坐标为(a,2)，可得纵坐标的变化量为：2 - 1 = 1，说明线段AB向上平移了1个单位长度；
根据平移规律“右加左减，上加下减”：
点B的横坐标加1得到B'的横坐标，即a = 0 + 1 = 1；
点A的纵坐标加1得到A'的纵坐标，即b = 0 + 1 = 1；
因此a + b = 1 + 1 = 2。
【答案】
2
【知识点】
平移的性质；点坐标平移规律；代数式求值
【点评】
本题是坐标平移的基础题型，核心是掌握平移前后对应点的坐标变化规律，牢记“左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标）”的计算规则，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
10.如图,两条平行线AB,CD被直线EF所截,分别交于点E,F,EG,EH分别平分∠AEF和∠BEF,且交CD于点G,H.
(1)若∠AEG=34°,则∠FEH=
(2)在(1)的条件下,在线段EF上有一动点M,当HM最短时,∠FHM=
(1)若∠AEG=34°,则∠FEH=
$56°$
;(2)在(1)的条件下,在线段EF上有一动点M,当HM最短时,∠FHM=
$22°$
.答案
10.(1)$56°$ (2)$22°$
解析
【分析】
(1) 首先利用平角的性质可得∠AEF与∠BEF的和为180°，结合EG、EH分别是两个角的角平分线，可推出两个平分后的小角之和为90°，代入已知的∠AEG的度数即可直接算出∠FEH的大小。
(2) 先根据“垂线段最短”确定HM最短时的位置是HM垂直于EF，再利用平行线的内错角相等求出∠EFH的度数，最后根据直角三角形两个锐角互余的性质计算∠FHM的度数即可。
【解析】
(1)
∵ EG平分∠AEF，EH平分∠BEF
∴ ∠AEF=2∠AEG，∠BEF=2∠FEH
∵ E在直线AB上，
∴ ∠AEF+∠BEF=180°
代入得：2∠AEG+2∠FEH=180°，化简得∠AEG+∠FEH=90°
将∠AEG=34°代入，得∠FEH=90°-34°=56°
(2) 根据垂线段最短可知，当HM⊥EF时，HM最短，此时∠HMF=90°
∵ AB//CD，
∴ ∠AEF=∠EFH（两直线平行，内错角相等）
由(1)可知∠AEF=2∠AEG=2×34°=68°，即∠EFH=68°
在Rt△HMF中，∠FHM+∠EFH=90°
∴ ∠FHM=90°-68°=22°
【答案】
(1)$\boldsymbol{56°}$ (2)$\boldsymbol{22°}$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、垂线段最短
【点评】
本题属于基础几何综合题，结合了多个基础几何性质考查角度计算，解题的关键是理清角度之间的和差、等量关系，灵活运用所学性质转化条件。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用平角的性质可得∠AEF与∠BEF的和为180°，结合EG、EH分别是两个角的角平分线，可推出两个平分后的小角之和为90°，代入已知的∠AEG的度数即可直接算出∠FEH的大小。
(2) 先根据“垂线段最短”确定HM最短时的位置是HM垂直于EF，再利用平行线的内错角相等求出∠EFH的度数，最后根据直角三角形两个锐角互余的性质计算∠FHM的度数即可。
【解析】
(1)
∵ EG平分∠AEF，EH平分∠BEF
∴ ∠AEF=2∠AEG，∠BEF=2∠FEH
∵ E在直线AB上，
∴ ∠AEF+∠BEF=180°
代入得：2∠AEG+2∠FEH=180°，化简得∠AEG+∠FEH=90°
将∠AEG=34°代入，得∠FEH=90°-34°=56°
(2) 根据垂线段最短可知，当HM⊥EF时，HM最短，此时∠HMF=90°
∵ AB//CD，
∴ ∠AEF=∠EFH（两直线平行，内错角相等）
由(1)可知∠AEF=2∠AEG=2×34°=68°，即∠EFH=68°
在Rt△HMF中，∠FHM+∠EFH=90°
∴ ∠FHM=90°-68°=22°
【答案】
(1)$\boldsymbol{56°}$ (2)$\boldsymbol{22°}$
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、垂线段最短
【点评】
本题属于基础几何综合题，结合了多个基础几何性质考查角度计算，解题的关键是理清角度之间的和差、等量关系，灵活运用所学性质转化条件。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11.解不等式组：$\begin{cases}4x -1 ＞7x -4, ① \\ \dfrac{2x -1}{3} ≤ \dfrac{3x +1}{2}. ②\end{cases}$ 并在数轴上表示出不等式组的解集。
11.解不等式组：$\begin{cases}4x -1 ＞7x -4, ① \\ \dfrac{2x -1}{3} ≤ \dfrac{3x +1}{2}. ②\end{cases}$ 并在数轴上表示出不等式组的解集。
答案
11.解:由①得:$x＜1$,由②得:$x≥-1$,
由上可得,该不等式组的解集为$-1≤x＜1$,
其解集在数轴上表示如下，
解析
【分析】
解一元一次不等式组的常规思路为：先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再根据解集的取值规律确定两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集，最后按照数轴表示解集的规则（实心点代表包含该点数值，空心圈代表不包含该点数值，大于方向向右、小于方向向左）画出解集即可。求解单个不等式时要遵循一元一次不等式的求解步骤，尤其注意不等号方向改变的情况。
【解析】
1. 求解不等式①$4x -1 ＞7x -4$：
移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得：$4x-7x＞-4+1$
合并同类项，得：$-3x＞-3$
系数化为1，不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：$x＜1$
2. 求解不等式②$\dfrac{2x -1}{3} ≤ \dfrac{3x +1}{2}$：
去分母，两边同时乘两个分母的最小公倍数6，得：$2(2x-1)≤3(3x+1)$
去括号，得：$4x-2≤9x+3$
移项，得：$4x-9x≤3+2$
合并同类项，得：$-5x≤5$
系数化为1，不等式两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得：$x≥-1$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1≤x＜1$，再按规则在数轴上表示该解集即可。
【答案】
该不等式组的解集为$-1≤x＜1$，其解集在数轴上表示如下：
【知识点】
一元一次不等式组解法、不等式的性质、数轴表示不等式解集
【点评】
本题是不等式组的基础考察题，解题时要注意解不等式过程中去分母不要漏乘不含分母的项，当不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向要改变，数轴表示解集时要准确区分实心点和空心圈的用法。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的常规思路为：先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再根据解集的取值规律确定两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集，最后按照数轴表示解集的规则（实心点代表包含该点数值，空心圈代表不包含该点数值，大于方向向右、小于方向向左）画出解集即可。求解单个不等式时要遵循一元一次不等式的求解步骤，尤其注意不等号方向改变的情况。
【解析】
1. 求解不等式①$4x -1 ＞7x -4$：
移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得：$4x-7x＞-4+1$
合并同类项，得：$-3x＞-3$
系数化为1，不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：$x＜1$
2. 求解不等式②$\dfrac{2x -1}{3} ≤ \dfrac{3x +1}{2}$：
去分母，两边同时乘两个分母的最小公倍数6，得：$2(2x-1)≤3(3x+1)$
去括号，得：$4x-2≤9x+3$
移项，得：$4x-9x≤3+2$
合并同类项，得：$-5x≤5$
系数化为1，不等式两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得：$x≥-1$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1≤x＜1$，再按规则在数轴上表示该解集即可。
【答案】
该不等式组的解集为$-1≤x＜1$，其解集在数轴上表示如下：
【知识点】
一元一次不等式组解法、不等式的性质、数轴表示不等式解集
【点评】
本题是不等式组的基础考察题，解题时要注意解不等式过程中去分母不要漏乘不含分母的项，当不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向要改变，数轴表示解集时要准确区分实心点和空心圈的用法。
【难度系数】
0.8
12.已知点$P(a-1,2a+6)$，分别根据下列条件求出点$P$的坐标，
(1)点$P$在$x$轴上；
(2)点$P$在$y$轴上；
(3)点$Q$的坐标为$(1,5)$，直线$PQ// y$轴。
(1)点$P$在$x$轴上；
(2)点$P$在$y$轴上；
(3)点$Q$的坐标为$(1,5)$，直线$PQ// y$轴。
答案
12.解:(1)$\because$点$P(a-1,2a+6)$在$x$轴上，
$\therefore 2a+6=0$,
解得$a=-3$,
$\therefore a-1=-4$,
即点$P$的坐标为$(-4,0)$;
(2)$\because$点$P(a-1,2a+6)$在$y$轴上，
$\therefore a-1=0$,
解得$a=1$,
$\therefore 2a+6=8$,
即点$P$的坐标为$(0,8)$;
(3)$\because$点$P(a-1,2a+6)$,点$Q$的坐标为$(1,5)$,直线$PQ// y$轴，
$\therefore a-1=1$,
$\therefore a=2$,
$\therefore 2a+6=2× 2+6=10$,
即点$P$的坐标为$(1,10)$.
$\therefore 2a+6=0$,
解得$a=-3$,
$\therefore a-1=-4$,
即点$P$的坐标为$(-4,0)$;
(2)$\because$点$P(a-1,2a+6)$在$y$轴上，
$\therefore a-1=0$,
解得$a=1$,
$\therefore 2a+6=8$,
即点$P$的坐标为$(0,8)$;
(3)$\because$点$P(a-1,2a+6)$,点$Q$的坐标为$(1,5)$,直线$PQ// y$轴，
$\therefore a-1=1$,
$\therefore a=2$,
$\therefore 2a+6=2× 2+6=10$,
即点$P$的坐标为$(1,10)$.
解析
【分析】
解决本题需要结合平面直角坐标系中特殊位置点的坐标特征逐步推导：1. 若点在x轴上，其纵坐标固定为0，据此列方程求出a的值，再代入计算横坐标即可得到P点坐标；2. 若点在y轴上，其横坐标固定为0，同理列方程求出a后计算纵坐标；3. 若直线PQ平行于y轴，说明P、Q两点横坐标相等，令P的横坐标等于Q点的横坐标1，解出a后计算纵坐标即可得到P点坐标。
【解析】
(1) $\because$点$P(a-1,2a+6)$在$x$轴上，
$\therefore 2a+6=0$,
解得$a=-3$,
$\therefore a-1=-4$,
即点$P$的坐标为$(-4,0)$;
(2) $\because$点$P(a-1,2a+6)$在$y$轴上，
$\therefore a-1=0$,
解得$a=1$,
$\therefore 2a+6=8$,
即点$P$的坐标为$(0,8)$;
(3) $\because$点$P(a-1,2a+6)$,点$Q$的坐标为$(1,5)$,直线$PQ// y$轴，
$\therefore a-1=1$,
$\therefore a=2$,
$\therefore 2a+6=2× 2+6=10$,
即点$P$的坐标为$(1,10)$.
【答案】
(1)$(-4,0)$；(2)$(0,8)$；(3)$(1,10)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；平行于y轴的直线上点的坐标特征；一元一次方程求解
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考察特殊位置点的坐标规律，通过列方程求解参数即可得到结果，是后续学习函数图像的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
解决本题需要结合平面直角坐标系中特殊位置点的坐标特征逐步推导：1. 若点在x轴上，其纵坐标固定为0，据此列方程求出a的值，再代入计算横坐标即可得到P点坐标；2. 若点在y轴上，其横坐标固定为0，同理列方程求出a后计算纵坐标；3. 若直线PQ平行于y轴，说明P、Q两点横坐标相等，令P的横坐标等于Q点的横坐标1，解出a后计算纵坐标即可得到P点坐标。
【解析】
(1) $\because$点$P(a-1,2a+6)$在$x$轴上，
$\therefore 2a+6=0$,
解得$a=-3$,
$\therefore a-1=-4$,
即点$P$的坐标为$(-4,0)$;
(2) $\because$点$P(a-1,2a+6)$在$y$轴上，
$\therefore a-1=0$,
解得$a=1$,
$\therefore 2a+6=8$,
即点$P$的坐标为$(0,8)$;
(3) $\because$点$P(a-1,2a+6)$,点$Q$的坐标为$(1,5)$,直线$PQ// y$轴，
$\therefore a-1=1$,
$\therefore a=2$,
$\therefore 2a+6=2× 2+6=10$,
即点$P$的坐标为$(1,10)$.
【答案】
(1)$(-4,0)$；(2)$(0,8)$；(3)$(1,10)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；平行于y轴的直线上点的坐标特征；一元一次方程求解
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考察特殊位置点的坐标规律，通过列方程求解参数即可得到结果，是后续学习函数图像的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85
13.阅读下列材料:
解方程组$\begin{cases}18x + 17y = 16, \\17x + 16y = 15\end{cases}$时,如果我们直接消元,那么会很麻烦,但若用下面的解法,则要简便得多.
解方程组$\begin{cases}18x + 17y = 16, ①\\17x + 16y = 15. ②\end{cases}$
解:①$-$②,得$x + y = 1$,③
③$×16$,得$16x + 16y = 16$,④
②$-$④,得$x = -1$,
将$x = -1$代入③得$y = 2$,
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = -1, \\y = 2.\end{cases}$
根据上述材料,解答问题:
(1)解方程组
$\begin{cases}2027x + 2026y = 2025, ①\\2025x + 2024y = 2023. ②\end{cases}$
(2)在(1)的条件下,求式子$x^2 + xy + y^2$的平方根.
解方程组$\begin{cases}18x + 17y = 16, \\17x + 16y = 15\end{cases}$时,如果我们直接消元,那么会很麻烦,但若用下面的解法,则要简便得多.
解方程组$\begin{cases}18x + 17y = 16, ①\\17x + 16y = 15. ②\end{cases}$
解:①$-$②,得$x + y = 1$,③
③$×16$,得$16x + 16y = 16$,④
②$-$④,得$x = -1$,
将$x = -1$代入③得$y = 2$,
所以原方程组的解是$\begin{cases}x = -1, \\y = 2.\end{cases}$
根据上述材料,解答问题:
(1)解方程组
$\begin{cases}2027x + 2026y = 2025, ①\\2025x + 2024y = 2023. ②\end{cases}$
(2)在(1)的条件下,求式子$x^2 + xy + y^2$的平方根.
答案
13.解:(1) $\begin{cases}2\ 027x+2\ 026y=2\ 025,①\\ 2\ 025x+2\ 024y=2\ 023. ②\end{cases}$
①$-$②,得$2x+2y=2$,
$\therefore x+y=1$,③
③$× 2027-$①,得$y=2$,
③$× 2026-$①,得$-x=1$,
解得:$x=-1$,
所以方程组的解是$\begin{cases} x=-1, \\ y=2; \end{cases}$
(2)$\because x=-1,y=2$,
$\therefore x^2+xy+y^2=(-1)^2+(-1)× 2+2^2=1-2+4=3$,
$\therefore x^2+xy+y^2$的平方根是$\pm\sqrt{3}$.
①$-$②,得$2x+2y=2$,
$\therefore x+y=1$,③
③$× 2027-$①,得$y=2$,
③$× 2026-$①,得$-x=1$,
解得:$x=-1$,
所以方程组的解是$\begin{cases} x=-1, \\ y=2; \end{cases}$
(2)$\because x=-1,y=2$,
$\therefore x^2+xy+y^2=(-1)^2+(-1)× 2+2^2=1-2+4=3$,
$\therefore x^2+xy+y^2$的平方根是$\pm\sqrt{3}$.
解析
【分析】
（1）观察方程组的系数特征，两个方程中x的系数差、y的系数差、常数项的差都相等，参考材料的简便解法，先将两式相减化简得到x+y=1的整体关系式，再和原方程联立消元，即可避免大数直接消元的繁琐计算，快速求出方程组的解。
（2）将第一问求得的x、y的值代入代数式计算出结果，再根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，即可求出最终结果。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2027x + 2026y = 2025, ①\\2025x + 2024y = 2023. ②\end{cases}$
①$-$②，得$2x + 2y = 2$，化简得$x + y = 1$，③
③$×2027 - $①，得$2027x + 2027y - (2027x + 2026y) = 2027 - 2025$，解得$y=2$
将$y=2$代入③，得$x + 2 = 1$，解得$x=-1$
所以方程组的解是$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
(2) 将$x=-1$，$y=2$代入$x^2 + xy + y^2$：
$x^2 + xy + y^2=(-1)^2 + (-1)×2 + 2^2=1-2+4=3$
因为$(\pm\sqrt{3})^2=3$，所以$x^2 + xy + y^2$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1, \\y=2\end{cases}$
(2) $\pm\sqrt{3}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，平方根的定义
【点评】
本题侧重考查对简便消元方法的类比运用，解题关键是观察方程组系数的特征，通过整体相减简化运算，降低大数计算的出错概率，同时要注意平方根的结果有正负两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）观察方程组的系数特征，两个方程中x的系数差、y的系数差、常数项的差都相等，参考材料的简便解法，先将两式相减化简得到x+y=1的整体关系式，再和原方程联立消元，即可避免大数直接消元的繁琐计算，快速求出方程组的解。
（2）将第一问求得的x、y的值代入代数式计算出结果，再根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，即可求出最终结果。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2027x + 2026y = 2025, ①\\2025x + 2024y = 2023. ②\end{cases}$
①$-$②，得$2x + 2y = 2$，化简得$x + y = 1$，③
③$×2027 - $①，得$2027x + 2027y - (2027x + 2026y) = 2027 - 2025$，解得$y=2$
将$y=2$代入③，得$x + 2 = 1$，解得$x=-1$
所以方程组的解是$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
(2) 将$x=-1$，$y=2$代入$x^2 + xy + y^2$：
$x^2 + xy + y^2=(-1)^2 + (-1)×2 + 2^2=1-2+4=3$
因为$(\pm\sqrt{3})^2=3$，所以$x^2 + xy + y^2$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-1, \\y=2\end{cases}$
(2) $\pm\sqrt{3}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，平方根的定义
【点评】
本题侧重考查对简便消元方法的类比运用，解题关键是观察方程组系数的特征，通过整体相减简化运算，降低大数计算的出错概率，同时要注意平方根的结果有正负两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
