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1.我们定义:形如 $x+\frac{mn}{x}=m+n(m,n$ 不为零),且两个解分别为 $x_1=m,x_2=n$ 的方程称为“十字分式方程”.
例如, $x+\frac{6}{x}=5$ 为“十字分式方程”,可化为 $x+\frac{2×3}{x}=2+3,\therefore x_1=2,x_2=3$.
再如, $x+\frac{7}{x}=-8$ 为“十字分式方程”,可化为 $x+\frac{(-1)×(-7)}{x}=(-1)+(-7),\therefore x_1=-1,x_2=-7$.
应用上面的结论解答下列问题:
(1)若 $x+\frac{12}{x}=-7$ 为“十字分式方程”,则 $x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=\_\_\_\_\_\_;$
(2)若“十字分式方程”$x-\frac{6}{x}=-5$ 的两个解分别为 $x_1=a,x_2=b$,求 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1$ 的值;
(3)若关于 $x$ 的“十字分式方程”$x-\frac{2023k - 2022k^2}{x - 1}=2023k - 2022$ 的两个解分别为 $x_1,x_2(k＞2,x_1＞x_2)$,求 $\frac{x_1 + 4044}{x_2}$ 的值.
例如, $x+\frac{6}{x}=5$ 为“十字分式方程”,可化为 $x+\frac{2×3}{x}=2+3,\therefore x_1=2,x_2=3$.
再如, $x+\frac{7}{x}=-8$ 为“十字分式方程”,可化为 $x+\frac{(-1)×(-7)}{x}=(-1)+(-7),\therefore x_1=-1,x_2=-7$.
应用上面的结论解答下列问题:
(1)若 $x+\frac{12}{x}=-7$ 为“十字分式方程”,则 $x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=\_\_\_\_\_\_;$
(2)若“十字分式方程”$x-\frac{6}{x}=-5$ 的两个解分别为 $x_1=a,x_2=b$,求 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1$ 的值;
(3)若关于 $x$ 的“十字分式方程”$x-\frac{2023k - 2022k^2}{x - 1}=2023k - 2022$ 的两个解分别为 $x_1,x_2(k＞2,x_1＞x_2)$,求 $\frac{x_1 + 4044}{x_2}$ 的值.
答案
(1) $-3$，$-4$
(2) $-\frac{31}{6}$
(3) $2022$
(2) $-\frac{31}{6}$
(3) $2022$
解析
【分析】
首先准确理解“十字分式方程”的定义：若方程可化为$x+\frac{mn}{x}=m+n$（$m,n$不为0），则方程的两个解为$x_1=m$，$x_2=n$。解题时先将各问的方程转化为符合定义的形式，拆分出$m、n$得到解，再代入对应代数式计算即可。
(1) 找两个数的乘积为12，和为-7，即可直接得解；
(2) 先将方程改写为定义形式，得到$a+b$和$ab$的值，再将所求代数式通分变形，整体代入求值；
(3) 先通过换元法将含$x-1$的方程转化为标准“十字分式方程”，求出两个解的表达式，结合$k＞2、x_1＞x_2$确定$x_1、x_2$，再代入所求式子化简。
【解析】
(1) 方程$x+\frac{12}{x}=-7$可化为$x+\frac{(-3)×(-4)}{x}=(-3)+(-4)$，根据“十字分式方程”的定义得$x_1=-3$，$x_2=-4$；
(2) 方程$x-\frac{6}{x}=-5$可化为$x+\frac{1×(-6)}{x}=1+(-6)$，根据定义得两个解为$x_1=1$，$x_2=-6$，即$a=1,b=-6$或$a=-6,b=1$。
$\therefore a+b=1+(-6)=-5$，$ab=1×(-6)=-6$。
对所求代数式变形：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1=\frac{b^2+a^2}{ab}+1=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}+1$
代入$a+b=-5,ab=-6$得：
$\frac{(-5)^2-2×(-6)}{-6}+1=\frac{25+12}{-6}+1=-\frac{37}{6}+1=-\frac{31}{6}$；
(3) 设$y=x-1$，则$x=y+1$，代入原方程：
$y+1-\frac{2023k-2022k^2}{y}=2023k-2022$
整理得：$y+\frac{2022k^2-2023k}{y}=2023k-2023$
拆分得：$y+\frac{k(2022k-2023)}{y}=k+(2022k-2023)$
根据定义得$y$的两个解为$y_1=2022k-2023$，$y_2=k$。
$\because k＞2$，$\therefore 2022k-2023 - k = 2021k - 2023 ＞ 2021×2 -2023 = 2019＞0$，即$y_1＞y_2$。
又$x_1＞x_2$，$\therefore x_1=y_1+1=2022k-2023+1=2022k-2022$，$x_2=y_2+1=k+1$。
代入$\frac{x_1+4044}{x_2}$得：
$\frac{2022k-2022+4044}{k+1}=\frac{2022k+2022}{k+1}=\frac{2022(k+1)}{k+1}=2022$。
【答案】
(1) $-3$，$-4$
(2) $-\frac{31}{6}$
(3) $2022$
【知识点】
分式方程新定义，代数式化简求值，换元法
【点评】本题是新定义类题型，解题核心是先吃透给出的“十字分式方程”的运算规则，再将待解的方程转化为符合规则的形式求解，第三问通过换元将非标准形式转化为标准形式是解题的关键，同时要注意利用条件判断解的大小对应关系。
【难度系数】
0.6
首先准确理解“十字分式方程”的定义：若方程可化为$x+\frac{mn}{x}=m+n$（$m,n$不为0），则方程的两个解为$x_1=m$，$x_2=n$。解题时先将各问的方程转化为符合定义的形式，拆分出$m、n$得到解，再代入对应代数式计算即可。
(1) 找两个数的乘积为12，和为-7，即可直接得解；
(2) 先将方程改写为定义形式，得到$a+b$和$ab$的值，再将所求代数式通分变形，整体代入求值；
(3) 先通过换元法将含$x-1$的方程转化为标准“十字分式方程”，求出两个解的表达式，结合$k＞2、x_1＞x_2$确定$x_1、x_2$，再代入所求式子化简。
【解析】
(1) 方程$x+\frac{12}{x}=-7$可化为$x+\frac{(-3)×(-4)}{x}=(-3)+(-4)$，根据“十字分式方程”的定义得$x_1=-3$，$x_2=-4$；
(2) 方程$x-\frac{6}{x}=-5$可化为$x+\frac{1×(-6)}{x}=1+(-6)$，根据定义得两个解为$x_1=1$，$x_2=-6$，即$a=1,b=-6$或$a=-6,b=1$。
$\therefore a+b=1+(-6)=-5$，$ab=1×(-6)=-6$。
对所求代数式变形：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1=\frac{b^2+a^2}{ab}+1=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}+1$
代入$a+b=-5,ab=-6$得：
$\frac{(-5)^2-2×(-6)}{-6}+1=\frac{25+12}{-6}+1=-\frac{37}{6}+1=-\frac{31}{6}$；
(3) 设$y=x-1$，则$x=y+1$，代入原方程：
$y+1-\frac{2023k-2022k^2}{y}=2023k-2022$
整理得：$y+\frac{2022k^2-2023k}{y}=2023k-2023$
拆分得：$y+\frac{k(2022k-2023)}{y}=k+(2022k-2023)$
根据定义得$y$的两个解为$y_1=2022k-2023$，$y_2=k$。
$\because k＞2$，$\therefore 2022k-2023 - k = 2021k - 2023 ＞ 2021×2 -2023 = 2019＞0$，即$y_1＞y_2$。
又$x_1＞x_2$，$\therefore x_1=y_1+1=2022k-2023+1=2022k-2022$，$x_2=y_2+1=k+1$。
代入$\frac{x_1+4044}{x_2}$得：
$\frac{2022k-2022+4044}{k+1}=\frac{2022k+2022}{k+1}=\frac{2022(k+1)}{k+1}=2022$。
【答案】
(1) $-3$，$-4$
(2) $-\frac{31}{6}$
(3) $2022$
【知识点】
分式方程新定义，代数式化简求值，换元法
【点评】本题是新定义类题型，解题核心是先吃透给出的“十字分式方程”的运算规则，再将待解的方程转化为符合规则的形式求解，第三问通过换元将非标准形式转化为标准形式是解题的关键，同时要注意利用条件判断解的大小对应关系。
【难度系数】
0.6
2.给出定义:如果两个实数$m,n$使得关于$x$的分式方程$\frac{m}{x} - n = 1$的解是$x = \frac{1}{m - n}$成立,那么我们就把实数$m,n$组成的数对$⟨ m,n \rangle$称为关于$x$的分式方程$\frac{m}{x} - n = 1$的一个“梦想数对”.
例如,当$m=3,n=2$时,使得关于$x$的分式方程$\frac{3}{x} - 2 = 1$的解是$x = \frac{1}{3 - 2} = \frac{1}{1} = 1$成立,
∴数对$⟨ 3,2 \rangle$称为关于$x$的分式方程$\frac{m}{x} - n = 1$的一个“梦想数对”.
(1)在数对①$⟨ 1,0 \rangle$;②$⟨ -2,3 \rangle$;③$⟨ \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \rangle$中,
(2)若数对$⟨ a - 3, 2 + a \rangle$是关于$x$的分式方程$\frac{m}{x} - n = 1$的一个“梦想数对”,求$a$的值;
(3)若数对$⟨ c + d, d \rangle$($c ≠ \pm 1$,且$c ≠ 0$)是关于$x$的分式方程$\frac{m}{x} - n = 1$的一个“梦想数对”,且关于$y$的方程$dy - c + 1 = 0$有整数解,直接写出整数$c$的值.
例如,当$m=3,n=2$时,使得关于$x$的分式方程$\frac{3}{x} - 2 = 1$的解是$x = \frac{1}{3 - 2} = \frac{1}{1} = 1$成立,
∴数对$⟨ 3,2 \rangle$称为关于$x$的分式方程$\frac{m}{x} - n = 1$的一个“梦想数对”.
(1)在数对①$⟨ 1,0 \rangle$;②$⟨ -2,3 \rangle$;③$⟨ \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \rangle$中,
①③
(填序号)是关于$x$的分式方程$\frac{m}{x} - n = 1$的“梦想数对”;(2)若数对$⟨ a - 3, 2 + a \rangle$是关于$x$的分式方程$\frac{m}{x} - n = 1$的一个“梦想数对”,求$a$的值;
(3)若数对$⟨ c + d, d \rangle$($c ≠ \pm 1$,且$c ≠ 0$)是关于$x$的分式方程$\frac{m}{x} - n = 1$的一个“梦想数对”,且关于$y$的方程$dy - c + 1 = 0$有整数解,直接写出整数$c$的值.
答案
(1) ①③
(2) $2$
(3) $-2$ 或 $-3$
(2) $2$
(3) $-2$ 或 $-3$
解析
【分析】
本题是分式方程相关的新定义问题，解题核心是准确理解“梦想数对”的定义：对于数对$⟨ m,n\rangle$，分式方程$\frac{m}{x}-n=1$的解等于$x=\frac{1}{m-n}$，且所有分母不为0（$x≠0$，$m-n≠0$，$n≠-1$）。先推导核心等量关系：解分式方程得$x=\frac{m}{n+1}$，结合定义得$\frac{m}{n+1}=\frac{1}{m-n}$，整理得$m(m-n)=n+1$，再结合各小问条件逐步求解即可，注意排除分母为0的情况。
【解析】
(1) 逐个验证3个数对：
① 对于$⟨ 1,0\rangle$，$m=1,n=0$，左边$m(m-n)=1×(1-0)=1$，右边$n+1=0+1=1$，左右相等，且分母均不为0，符合“梦想数对”定义；
② 对于$⟨ -2,3\rangle$，$m=-2,n=3$，左边$m(m-n)=(-2)×(-2-3)=10$，右边$n+1=3+1=4$，左右不等，不符合；
③ 对于$⟨ \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle$，$m=\frac{1}{2},n=-\frac{1}{2}$，左边$m(m-n)=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$，右边$n+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，左右相等，且分母均不为0，符合定义；
故填①③。
(2) 已知数对$⟨ a-3,2+a\rangle$是“梦想数对”，则$m=a-3,n=2+a$，代入核心等式$m(m-n)=n+1$：
先计算$m-n=(a-3)-(2+a)=-5$，右边$n+1=2+a+1=a+3$，
列方程：$-5(a-3)=a+3$
去括号：$-5a+15=a+3$
移项合并：$-6a=-12$
解得：$a=2$
经检验，此时所有分母均不为0，符合条件，故$a=2$。
(3) 已知数对$⟨ c+d,d\rangle$是“梦想数对”，则$m=c+d,n=d$，代入核心等式$m(m-n)=n+1$：
$m-n=(c+d)-d=c$，故$(c+d)· c=d+1$
展开整理：$c^2+cd=d+1$
移项提公因式：$d(c-1)=1-c^2=-(c-1)(c+1)$
∵$c≠±1$，
∴$c-1≠0$，两边除以$c-1$得：$d=-(c+1)=-c-1$
将$d=-c-1$代入方程$dy -c +1=0$：
$(-c-1)y = c-1$，整理得$y=\frac{1-c}{c+1}=\frac{-(c+1)+2}{c+1}=-1+\frac{2}{c+1}$
∵方程有整数解，$c$为整数，
∴$\frac{2}{c+1}$为整数，即$c+1$是2的整数约数，2的约数为$\pm1,\pm2$
结合限制条件$c≠±1,c≠0$：
当$c+1=-1$时，$c=-2$，符合条件；
当$c+1=-2$时，$c=-3$，符合条件；
其余约数对应$c=0$或$c=1$，均不符合限制，舍去。
故整数$c$的值为$-2$或$-3$。
【答案】
(1) ①③；(2) $2$；(3) $-2$或$-3$
【知识点】
分式方程的解，新定义运算，含参方程整数解
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查分式方程、一元一次方程的求解，解题时首先要准确转化新定义为常规等量关系，同时不能忽略分式分母不为0的隐含限制，最后一小问的整数解问题需要熟练掌握分式拆分、约数分析的方法。
【难度系数】
0.6
本题是分式方程相关的新定义问题，解题核心是准确理解“梦想数对”的定义：对于数对$⟨ m,n\rangle$，分式方程$\frac{m}{x}-n=1$的解等于$x=\frac{1}{m-n}$，且所有分母不为0（$x≠0$，$m-n≠0$，$n≠-1$）。先推导核心等量关系：解分式方程得$x=\frac{m}{n+1}$，结合定义得$\frac{m}{n+1}=\frac{1}{m-n}$，整理得$m(m-n)=n+1$，再结合各小问条件逐步求解即可，注意排除分母为0的情况。
【解析】
(1) 逐个验证3个数对：
① 对于$⟨ 1,0\rangle$，$m=1,n=0$，左边$m(m-n)=1×(1-0)=1$，右边$n+1=0+1=1$，左右相等，且分母均不为0，符合“梦想数对”定义；
② 对于$⟨ -2,3\rangle$，$m=-2,n=3$，左边$m(m-n)=(-2)×(-2-3)=10$，右边$n+1=3+1=4$，左右不等，不符合；
③ 对于$⟨ \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle$，$m=\frac{1}{2},n=-\frac{1}{2}$，左边$m(m-n)=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$，右边$n+1=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，左右相等，且分母均不为0，符合定义；
故填①③。
(2) 已知数对$⟨ a-3,2+a\rangle$是“梦想数对”，则$m=a-3,n=2+a$，代入核心等式$m(m-n)=n+1$：
先计算$m-n=(a-3)-(2+a)=-5$，右边$n+1=2+a+1=a+3$，
列方程：$-5(a-3)=a+3$
去括号：$-5a+15=a+3$
移项合并：$-6a=-12$
解得：$a=2$
经检验，此时所有分母均不为0，符合条件，故$a=2$。
(3) 已知数对$⟨ c+d,d\rangle$是“梦想数对”，则$m=c+d,n=d$，代入核心等式$m(m-n)=n+1$：
$m-n=(c+d)-d=c$，故$(c+d)· c=d+1$
展开整理：$c^2+cd=d+1$
移项提公因式：$d(c-1)=1-c^2=-(c-1)(c+1)$
∵$c≠±1$，
∴$c-1≠0$，两边除以$c-1$得：$d=-(c+1)=-c-1$
将$d=-c-1$代入方程$dy -c +1=0$：
$(-c-1)y = c-1$，整理得$y=\frac{1-c}{c+1}=\frac{-(c+1)+2}{c+1}=-1+\frac{2}{c+1}$
∵方程有整数解，$c$为整数，
∴$\frac{2}{c+1}$为整数，即$c+1$是2的整数约数，2的约数为$\pm1,\pm2$
结合限制条件$c≠±1,c≠0$：
当$c+1=-1$时，$c=-2$，符合条件；
当$c+1=-2$时，$c=-3$，符合条件；
其余约数对应$c=0$或$c=1$，均不符合限制，舍去。
故整数$c$的值为$-2$或$-3$。
【答案】
(1) ①③；(2) $2$；(3) $-2$或$-3$
【知识点】
分式方程的解，新定义运算，含参方程整数解
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查分式方程、一元一次方程的求解，解题时首先要准确转化新定义为常规等量关系，同时不能忽略分式分母不为0的隐含限制，最后一小问的整数解问题需要熟练掌握分式拆分、约数分析的方法。
【难度系数】
0.6
