1.【新考法·阅读理解】阅读下面的材料,并完成相应任务.
数学活动课上,老师给出了如下问题:找一组都不为0的数$a,b,c,d$,使得分式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立(即$a,b,c,d$成比例).由这组数值计算下面各组中的两个分式的值,看看它们之间有什么关系.试猜想各组中的两个分式之间的关系,并证明.
(1)$\frac{a}{c}$和$\frac{b}{d}$;(2)$\frac{a+b}{b}$和$\frac{c+d}{d}$;(3)$\frac{a+b}{a-b}$和$\frac{c+d}{c-d}(a≠b,c≠d)$.
“兴趣小组”找了一组能使分式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立的数,其中$a=2,b=3,c=4,d=6$,并对(1)(2)进行了探究.
(1)计算:当$a=2,b=3,c=4,d=6$时,$\frac{a}{c}=\frac{1}{2},\frac{b}{d}=\frac{1}{2}$.
猜想:若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,则$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.
证明:$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},\therefore \frac{a}{b}· \frac{b}{c}=\frac{c}{d}· \frac{b}{c}$(依据1),$\therefore \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.
(2)计算:当$a=2,b=3,c=4,d=6$时,$\frac{a+b}{b}=\frac{5}{3},\frac{c+d}{d}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$.
猜想:若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,则$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
证明如下:
方法一:$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$(依据2),$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
方法二(作差法):$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},\therefore ad=bc,\therefore \frac{a+b}{b}-\frac{c+d}{d}=\frac{ad+bd}{bd}-\frac{bc+bd}{bd}$(依据3)$=\frac{ad+bd-bc-bd}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}=0,\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.
任务一:上述材料中,“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是什么?
依据1:;依据2:;依据3:.
任务二:请你对材料中的(3)$\frac{a+b}{a-b}$和$\frac{c+d}{c-d}(a≠b,c≠d)$之间的关系进行探究.
①请你再写出一组能使分式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立的数:$a=$,$b=$,$c=$,$d=$;
②计算:$\frac{a+b}{a-b}=$,$\frac{c+d}{c-d}=$;
③猜想:;
④证明③中的猜想.

1.解:任务一:等式的性质2 等式的性质1 分式的基本性质
任务二:①2 5 4 10 （答案不唯一）
②$-\frac{7}{3}$ $-\frac{7}{3}$ （答案不唯一）
③若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(a≠b,c≠d)$,则$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$
④证明:$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},\therefore ad=bc$,
$\therefore \frac{a+b}{a-b}-\frac{c+d}{c-d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(a-b)(c-d)}-\frac{(a-b)(c+d)}{(a-b)(c-d)}=$$\frac{ac+bc-ad-bd-ac+bc-ad+bd}{(a-b)(c-d)}=\frac{2bc-2ad}{bd}=0$,
$\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}(a≠b,c≠d)$.

【分析】
本题分为两个任务，任务一考查等式性质、分式基本性质的识别，我们可以根据每个变形步骤的操作特点匹配对应依据：等式两边同乘非零式子对应等式性质2，等式两边同加同一个数对应等式性质1，分式通分变形对应分式的基本性质。任务二是比例性质的探究，遵循“举例验证-计算观察-提出猜想-严谨证明”的探究思路：先找满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$的非零数，代入计算两个分式的值，观察结果后提出猜想，再用作差法结合已知$ad=bc$证明猜想成立即可，全程符合八年级代数运算和证明的要求。
【解析】
任务一
依据1：给等式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$两边同时乘不为0的$\frac{b}{c}$，符合“等式两边乘同一个不为0的数或整式，等式仍然成立”，即等式的性质2；
依据2：给等式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$两边同时加1，符合“等式两边加同一个数或整式，等式仍然成立”，即等式的性质1；
依据3：对分式通分时分子分母同乘对应非零整式，符合“分式的分子与分母乘同一个不等于0的整式，分式的值不变”，即分式的基本性质。
任务二
① 取满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$的数：令$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$，则$a=2$，$b=5$，$c=4$，$d=10$（答案不唯一，满足成比例即可）；
② 代入计算：$\frac{a+b}{a-b}=\frac{2+5}{2-5}=-\frac{7}{3}$，$\frac{c+d}{c-d}=\frac{4+10}{4-10}=-\frac{7}{3}$（和所举例子对应即可）；
③ 观察两个分式计算结果相等，可猜想：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(a≠b,c≠d)$，则$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$；
④ 证明：
$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据比例的基本性质可得$ad=bc$，
$\therefore \frac{a+b}{a-b}-\frac{c+d}{c-d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(a-b)(c-d)}-\frac{(a-b)(c+d)}{(a-b)(c-d)}$
$=\frac{ac+bc-ad-bd-ac+bc-ad+bd}{(a-b)(c-d)}$
$=\frac{2bc-2ad}{(a-b)(c-d)}=0$，
$\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}(a≠b,c≠d)$。
【答案】
任务一:等式的性质2 等式的性质1 分式的基本性质
任务二:①2 5 4 10 （答案不唯一）
②$-\frac{7}{3}$ $-\frac{7}{3}$ （答案不唯一，与所举例子对应即可）
③若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(a≠b,c≠d)$,则$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$
④证明:$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d},\therefore ad=bc$,
$\therefore \frac{a+b}{a-b}-\frac{c+d}{c-d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(a-b)(c-d)}-\frac{(a-b)(c+d)}{(a-b)(c-d)}=$$\frac{ac+bc-ad-bd-ac+bc-ad+bd}{(a-b)(c-d)}=\frac{2bc-2ad}{(a-b)(c-d)}=0$,
$\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}(a≠b,c≠d)$.
【知识点】
等式的性质，分式的基本性质，比例的性质
【点评】
本题以探究活动的形式考查比例相关性质，遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查学生对等式、分式基础性质的掌握程度，又能锻炼学生的猜想推理、代数证明能力，是兼顾基础和逻辑思维训练的典型探究题。
【难度系数】
0.7