登录
14 如图，$\odot O$是以原点O为圆心，半径为1的圆，$∠ AOB=45°$，点P在x轴上运动。若过点P且与OA平行的直线与$\odot O$有公共点，设$OP=x$，则x的取值范围是（
A.$0＜x≤\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}≤ x≤\sqrt{2}$
C.$-1≤ x≤1$
D.$x＞\sqrt{2}$
A
）A.$0＜x≤\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}≤ x≤\sqrt{2}$
C.$-1≤ x≤1$
D.$x＞\sqrt{2}$
答案
14. A
解析
【分析】
要解决本题，首先明确“过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点”的含义：直线与圆相交或相切，此时圆心到直线的距离≤圆的半径1。已知∠AOB=45°，可知OA的倾斜角为45°，因此与OA平行的直线斜率为1。我们先找直线与圆相切的临界情况，计算此时OP的长度，再结合平行不包含重合的限制，即可得到x的取值范围。
【解析】
设OP的长度为x，点P坐标为$(x, 0)$（$x＞0$，P在x轴正半轴），过P且与OA平行的直线倾斜角为45°，斜率为1，因此直线方程为$y = t - x$（t为直线上点的横坐标），整理为一般式：$t - y - x = 0$。
根据点到直线的距离公式，圆心O(0,0)到该直线的距离为：
$d=\frac{|0 - 0 - x|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}=\frac{x}{\sqrt{2}}$
因为直线与⊙O有公共点，所以d≤圆的半径1，即：
$\frac{x}{\sqrt{2}} ≤1$
解得$x≤\sqrt{2}$。
又因为两条平行直线不能重合，当$x=0$时，该直线与OA重合，不符合平行的定义，因此$x＞0$。
综上，x的取值范围是$0＜x≤\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；平行线的性质
【点评】
本题核心是将直线与圆有公共点的条件转化为距离不等式，找到相切的临界状态求解即可，需要注意平行不包含重合这一细节，避免错选包含x=0的选项。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确“过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点”的含义：直线与圆相交或相切，此时圆心到直线的距离≤圆的半径1。已知∠AOB=45°，可知OA的倾斜角为45°，因此与OA平行的直线斜率为1。我们先找直线与圆相切的临界情况，计算此时OP的长度，再结合平行不包含重合的限制，即可得到x的取值范围。
【解析】
设OP的长度为x，点P坐标为$(x, 0)$（$x＞0$，P在x轴正半轴），过P且与OA平行的直线倾斜角为45°，斜率为1，因此直线方程为$y = t - x$（t为直线上点的横坐标），整理为一般式：$t - y - x = 0$。
根据点到直线的距离公式，圆心O(0,0)到该直线的距离为：
$d=\frac{|0 - 0 - x|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}=\frac{x}{\sqrt{2}}$
因为直线与⊙O有公共点，所以d≤圆的半径1，即：
$\frac{x}{\sqrt{2}} ≤1$
解得$x≤\sqrt{2}$。
又因为两条平行直线不能重合，当$x=0$时，该直线与OA重合，不符合平行的定义，因此$x＞0$。
综上，x的取值范围是$0＜x≤\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；平行线的性质
【点评】
本题核心是将直线与圆有公共点的条件转化为距离不等式，找到相切的临界状态求解即可，需要注意平行不包含重合这一细节，避免错选包含x=0的选项。
【难度系数】
0.7
15 如图，直线AE与$\odot O$相切于点A，AB是$\odot O$的直径，$∠ EAC=150°$，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，AD交BC于点F，则$AC:AD$等于（
A.$1:2$
B.$1:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$1:3$
B
）A.$1:2$
B.$1:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$1:3$
答案
15. B
解析
【分析】
本题是圆与直角三角形结合的比值计算类题目，解题思路如下：第一步先利用切线的性质得到EA与AB垂直，结合已知的∠EAC度数求出∠BAC的度数；第二步利用直径所对的圆周角为直角，得到△ACB和△ADB都是直角三角形，先在Rt△ACB中用角度关系把AC用直径AB表示出来；第三步根据弧中点的性质得到AD是∠BAC的角平分线，求出∠BAD的度数，再在Rt△ADB中把AD也用AB表示出来；最后计算AC和AD的比值即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线AE与$\odot O$相切于点A，AB是$\odot O$的直径
∴$EA⊥ AB$，即$∠ EAB=90°$
∵$∠ EAC=150°$
∴$∠ BAC=∠ EAC-∠ EAB=150°-90°=60°$
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角）
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°-∠ BAC=30°$
∴$AC=AB·\cos∠ BAC=AB·\cos60°=\frac{1}{2}AB$
∵D是$\overset{\frown}{BC}$的中点
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$
∴$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$（同圆中，等弧所对的圆周角相等）
在$Rt△ ABD$中，$AD=AB·\cos∠ BAD=AB·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$
∴$AC:AD=\frac{1}{2}AB:\frac{\sqrt{3}}{2}AB=1:\sqrt{3}$
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与直角三角形的边角关系计算，解题的核心是通过切线性质和直径的性质构造直角三角形，结合弧中点对应的角度关系，将两条待求线段用同一量（直径AB）表示后求比值，解题时要注意圆周角相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
本题是圆与直角三角形结合的比值计算类题目，解题思路如下：第一步先利用切线的性质得到EA与AB垂直，结合已知的∠EAC度数求出∠BAC的度数；第二步利用直径所对的圆周角为直角，得到△ACB和△ADB都是直角三角形，先在Rt△ACB中用角度关系把AC用直径AB表示出来；第三步根据弧中点的性质得到AD是∠BAC的角平分线，求出∠BAD的度数，再在Rt△ADB中把AD也用AB表示出来；最后计算AC和AD的比值即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线AE与$\odot O$相切于点A，AB是$\odot O$的直径
∴$EA⊥ AB$，即$∠ EAB=90°$
∵$∠ EAC=150°$
∴$∠ BAC=∠ EAC-∠ EAB=150°-90°=60°$
∵AB是$\odot O$的直径
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角）
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°-∠ BAC=30°$
∴$AC=AB·\cos∠ BAC=AB·\cos60°=\frac{1}{2}AB$
∵D是$\overset{\frown}{BC}$的中点
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$
∴$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$（同圆中，等弧所对的圆周角相等）
在$Rt△ ABD$中，$AD=AB·\cos∠ BAD=AB·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$
∴$AC:AD=\frac{1}{2}AB:\frac{\sqrt{3}}{2}AB=1:\sqrt{3}$
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与直角三角形的边角关系计算，解题的核心是通过切线性质和直径的性质构造直角三角形，结合弧中点对应的角度关系，将两条待求线段用同一量（直径AB）表示后求比值，解题时要注意圆周角相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
16 如图，OA是$\odot O$的半径，BC是$\odot O$的弦，$OA⊥ BC$于点D，AE是$\odot O$的切线，AE交OC的延长线于点E。若$∠ AOC=45°$，$BC=2$，则线段AE的长为
$\sqrt{2}$
。答案
16. $\sqrt{2}$ 【解析】
∵ OA⊥BC,
∴ ∠ODC=90°,DC=$\frac{1}{2}$BC=1.
∵ ∠AOC=45°,
∴ △ODC 为等腰直角三角形.
∴ OC=$\sqrt{2}$DC=$\sqrt{2}$.
∴ OA=OC=$\sqrt{2}$.
∵ AE 是$\odot O$的切线,
∴ ∠OAE=90°.
∵ ∠AOC=45°,
∴ △AOE 为等腰直角三角形.
∴ AE=OA=$\sqrt{2}$.
∵ OA⊥BC,
∴ ∠ODC=90°,DC=$\frac{1}{2}$BC=1.
∵ ∠AOC=45°,
∴ △ODC 为等腰直角三角形.
∴ OC=$\sqrt{2}$DC=$\sqrt{2}$.
∴ OA=OC=$\sqrt{2}$.
∵ AE 是$\odot O$的切线,
∴ ∠OAE=90°.
∵ ∠AOC=45°,
∴ △AOE 为等腰直角三角形.
∴ AE=OA=$\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先看到OA垂直于弦BC，优先考虑垂径定理，可得到BC被平分，先求出DC的长度；接着结合已知∠AOC=45°，可判断△ODC是等腰直角三角形，即可求出⊙O的半径OC的长度，也就是OA的长度；再根据AE是⊙O的切线，利用切线的性质得到∠OAE为直角，结合∠AOC=45°，可知△OAE是等腰直角三角形，AE与OA长度相等，即可求出AE的长。
【解析】
∵ OA⊥BC，
∴ ∠ODC=90°，$DC=\frac{1}{2}BC=1$。
∵ ∠AOC=45°，
∴ △ODC为等腰直角三角形，
∴ $OC=\sqrt{2}DC=\sqrt{2}$。
∵ OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC=\sqrt{2}$。
∵ AE是$\odot O$的切线，
∴ ∠OAE=90°。
又
∵ ∠AOC=45°，
∴ △AOE为等腰直角三角形，
∴ $AE=OA=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆与三角形的基础综合题，解题核心是熟练运用圆的相关性质，结合45°特殊角构造等腰直角三角形完成边长计算，对基础性质的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先看到OA垂直于弦BC，优先考虑垂径定理，可得到BC被平分，先求出DC的长度；接着结合已知∠AOC=45°，可判断△ODC是等腰直角三角形，即可求出⊙O的半径OC的长度，也就是OA的长度；再根据AE是⊙O的切线，利用切线的性质得到∠OAE为直角，结合∠AOC=45°，可知△OAE是等腰直角三角形，AE与OA长度相等，即可求出AE的长。
【解析】
∵ OA⊥BC，
∴ ∠ODC=90°，$DC=\frac{1}{2}BC=1$。
∵ ∠AOC=45°，
∴ △ODC为等腰直角三角形，
∴ $OC=\sqrt{2}DC=\sqrt{2}$。
∵ OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC=\sqrt{2}$。
∵ AE是$\odot O$的切线，
∴ ∠OAE=90°。
又
∵ ∠AOC=45°，
∴ △AOE为等腰直角三角形，
∴ $AE=OA=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆与三角形的基础综合题，解题核心是熟练运用圆的相关性质，结合45°特殊角构造等腰直角三角形完成边长计算，对基础性质的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
17 如图,在$\odot O$中,AB是直径,C是圆上一点,在AB的延长线上取一点D,连接CD,使$∠ BCD=∠ A$.
(1) 求证:直线CD是$\odot O$的切线;
(2) 若$∠ ACD=120°,CD=2\sqrt{3}$,求涂色部分的面积.
(1) 求证:直线CD是$\odot O$的切线;
(2) 若$∠ ACD=120°,CD=2\sqrt{3}$,求涂色部分的面积.
答案
17. （1）连接 OC.
∵ AB 是直径,
∴ $∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=90°$.
∵ OA=OC,$∠ BCD=∠ A$,
∴ $∠ OCA=∠ A=∠ BCD$.
∴ $∠ BCD+∠ OCB=∠ OCD=90°$.
∴ $OC⊥CD$.
∵ OC 是$\odot O$的半径,
∴ 直线 CD 是$\odot O$的切线
（2）
∵ $∠ ACD=120°$,$∠ ACB=90°$,
∴ $∠ A=∠ BCD=120°-90°=30°$.
∴ 易得$∠ BOC=2∠ A=60°$.
∴ $∠ D=30°$. 在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,由勾股定理,易得 OC=2,
∴ $S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2-\frac{60π×2^2}{360}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$
∵ AB 是直径,
∴ $∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=90°$.
∵ OA=OC,$∠ BCD=∠ A$,
∴ $∠ OCA=∠ A=∠ BCD$.
∴ $∠ BCD+∠ OCB=∠ OCD=90°$.
∴ $OC⊥CD$.
∵ OC 是$\odot O$的半径,
∴ 直线 CD 是$\odot O$的切线
（2）
∵ $∠ ACD=120°$,$∠ ACB=90°$,
∴ $∠ A=∠ BCD=120°-90°=30°$.
∴ 易得$∠ BOC=2∠ A=60°$.
∴ $∠ D=30°$. 在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,由勾股定理,易得 OC=2,
∴ $S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2-\frac{60π×2^2}{360}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$
解析
【分析】
(1) 要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明CD垂直于过切点的半径，因此先连接OC。利用直径所对圆周角为直角得到$∠ ACB=90°$，再结合等腰三角形等边对等角的性质和已知$∠ BCD=∠ A$，通过角度代换推出$∠ OCD=90°$，即可完成切线证明。
(2) 涂色部分为不规则图形，可通过割补法转化为$△ OCD$的面积减去扇形$OBC$的面积求解。先根据已知角度求出$∠ A$的度数，进而得到圆心角$∠ BOC$和$∠ D$的度数，再在$Rt△ OCD$中求出半径$OC$的长度，最后分别计算三角形和扇形的面积，作差即可得到涂色部分面积。
【解析】
(1) 证明：连接$OC$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=90°$。
∵ $OA=OC$，$∠ BCD=∠ A$，
∴ $∠ OCA=∠ A=∠ BCD$，
∴ $∠ BCD+∠ OCB=∠ OCD=90°$，即$OC⊥ CD$。
又
∵ $OC$是$\odot O$的半径，
∴ 直线$CD$是$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵ $∠ ACD=120°$，$∠ ACB=90°$，
∴ $∠ A=∠ BCD=120°-90°=30°$，
由同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得$∠ BOC=2∠ A=60°$，
在$Rt△ OCD$中，$∠ D=90°-∠ BOC=30°$，
∴ $OD=2OC$，设$OC=x$，则$OD=2x$，
由勾股定理得：$OC^2+CD^2=OD^2$，即$x^2+(2\sqrt{3})^2=(2x)^2$，
解得$x=2$（负根舍去），即$OC=2$。
∴ 涂色部分面积为：
$S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2-\frac{60π×2^2}{360}=2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$
【答案】
(1) 直线CD是$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $\boxed{2\sqrt{3}-\dfrac{2}{3}π}$
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查了切线判定、圆周角性质和不规则面积的计算方法，解题核心是正确作出辅助线，灵活运用角度转化和割补法求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明CD垂直于过切点的半径，因此先连接OC。利用直径所对圆周角为直角得到$∠ ACB=90°$，再结合等腰三角形等边对等角的性质和已知$∠ BCD=∠ A$，通过角度代换推出$∠ OCD=90°$，即可完成切线证明。
(2) 涂色部分为不规则图形，可通过割补法转化为$△ OCD$的面积减去扇形$OBC$的面积求解。先根据已知角度求出$∠ A$的度数，进而得到圆心角$∠ BOC$和$∠ D$的度数，再在$Rt△ OCD$中求出半径$OC$的长度，最后分别计算三角形和扇形的面积，作差即可得到涂色部分面积。
【解析】
(1) 证明：连接$OC$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=90°$。
∵ $OA=OC$，$∠ BCD=∠ A$，
∴ $∠ OCA=∠ A=∠ BCD$，
∴ $∠ BCD+∠ OCB=∠ OCD=90°$，即$OC⊥ CD$。
又
∵ $OC$是$\odot O$的半径，
∴ 直线$CD$是$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵ $∠ ACD=120°$，$∠ ACB=90°$，
∴ $∠ A=∠ BCD=120°-90°=30°$，
由同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得$∠ BOC=2∠ A=60°$，
在$Rt△ OCD$中，$∠ D=90°-∠ BOC=30°$，
∴ $OD=2OC$，设$OC=x$，则$OD=2x$，
由勾股定理得：$OC^2+CD^2=OD^2$，即$x^2+(2\sqrt{3})^2=(2x)^2$，
解得$x=2$（负根舍去），即$OC=2$。
∴ 涂色部分面积为：
$S_{\mathrm{涂色}}=S_{△ OCD}-S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2-\frac{60π×2^2}{360}=2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$
【答案】
(1) 直线CD是$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $\boxed{2\sqrt{3}-\dfrac{2}{3}π}$
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查了切线判定、圆周角性质和不规则面积的计算方法，解题核心是正确作出辅助线，灵活运用角度转化和割补法求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.65
18 如图，AB是$\odot O$的直径，四边形ABCD内接于$\odot O$，OD交AC于点E，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$。
（1）求证：$OD// BC$；
（2）若$AC=10$，$DE=4$，求BC的长。
（1）求证：$OD// BC$；
（2）若$AC=10$，$DE=4$，求BC的长。
答案
18. （1）
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $OD⊥AC$. 又
∵ AB 是$\odot O$的直径,
∴ $∠ ACB=90°$,即 $BC⊥AC$.
∴ $OD// BC$ （2）
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $OD⊥AC$,$AE=CE$. 又
∵ $AC=10$,
∴ $AE=CE=\frac{1}{2}AC=5$.
设$\odot O$的半径为 R,则 OA=R,OE=R-4. 在$\mathrm{Rt}△ AOE$ 中,
$OA^2=OE^2+AE^2$,即 $R^2=(R-4)^2+5^2$,
∴ $R=\frac{41}{8}$. 又
∵ O,E
为 AB,AC 的中点,
∴ $OE=\frac{1}{2}BC$,$OE// BC$.
∴ $BC=2OE=2×(\frac{41}{8}-4)=\frac{9}{4}$
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $OD⊥AC$. 又
∵ AB 是$\odot O$的直径,
∴ $∠ ACB=90°$,即 $BC⊥AC$.
∴ $OD// BC$ （2）
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $OD⊥AC$,$AE=CE$. 又
∵ $AC=10$,
∴ $AE=CE=\frac{1}{2}AC=5$.
设$\odot O$的半径为 R,则 OA=R,OE=R-4. 在$\mathrm{Rt}△ AOE$ 中,
$OA^2=OE^2+AE^2$,即 $R^2=(R-4)^2+5^2$,
∴ $R=\frac{41}{8}$. 又
∵ O,E
为 AB,AC 的中点,
∴ $OE=\frac{1}{2}BC$,$OE// BC$.
∴ $BC=2OE=2×(\frac{41}{8}-4)=\frac{9}{4}$
解析
【分析】
（1）要证$OD// BC$，可通过证明两直线垂直于同一条直线推导：首先由$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$结合垂径定理可得$OD⊥ AC$；再根据AB是圆的直径，由直径所对圆周角为直角得$BC⊥ AC$，即可推出平行关系。
（2）求BC的长，先由垂径定理得AC的一半AE的长度，设圆半径为R，在$Rt△ AOE$中用勾股定理列方程求出半径，再判断OE是$△ ABC$的中位线，利用中位线性质即可求出BC的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，OD为$\odot O$的半径，
∴ 由垂径定理得$OD⊥ AC$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ 直径所对圆周角为直角，即$∠ ACB=90°$，也就是$BC⊥ AC$。
∵ OD、BC均垂直于AC，
∴ $OD// BC$。
（2）解：
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，OD为$\odot O$的半径，
∴ $OD⊥ AC$，且E为AC中点，即$AE=CE$。
已知$AC=10$，
∴ $AE=\frac{1}{2}AC=5$。
设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=OD=R$，
∵ $DE=4$，
∴ $OE=OD-DE=R-4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入得：$R^2=(R-4)^2+5^2$，
展开化简：$R^2=R^2-8R+16+25$，解得$R=\frac{41}{8}$。
∵ O是AB中点，E是AC中点，
∴ OE是$△ ABC$的中位线，
∴ $OE=\frac{1}{2}BC$，即$BC=2OE$。
代入$OE=\frac{41}{8}-4=\frac{9}{8}$，得$BC=2×\frac{9}{8}=\frac{9}{4}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\frac{9}{4}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，三角形中位线定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将圆的性质和三角形基础定理结合考查，解题的核心是熟练掌握弧、弦、圆心角的对应关系，以及勾股定理在圆线段计算中的应用，是圆类考点的常见题型。
【难度系数】
0.6
（1）要证$OD// BC$，可通过证明两直线垂直于同一条直线推导：首先由$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$结合垂径定理可得$OD⊥ AC$；再根据AB是圆的直径，由直径所对圆周角为直角得$BC⊥ AC$，即可推出平行关系。
（2）求BC的长，先由垂径定理得AC的一半AE的长度，设圆半径为R，在$Rt△ AOE$中用勾股定理列方程求出半径，再判断OE是$△ ABC$的中位线，利用中位线性质即可求出BC的长度。
【解析】
（1）证明：
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，OD为$\odot O$的半径，
∴ 由垂径定理得$OD⊥ AC$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ 直径所对圆周角为直角，即$∠ ACB=90°$，也就是$BC⊥ AC$。
∵ OD、BC均垂直于AC，
∴ $OD// BC$。
（2）解：
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，OD为$\odot O$的半径，
∴ $OD⊥ AC$，且E为AC中点，即$AE=CE$。
已知$AC=10$，
∴ $AE=\frac{1}{2}AC=5$。
设$\odot O$的半径为$R$，则$OA=OD=R$，
∵ $DE=4$，
∴ $OE=OD-DE=R-4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入得：$R^2=(R-4)^2+5^2$，
展开化简：$R^2=R^2-8R+16+25$，解得$R=\frac{41}{8}$。
∵ O是AB中点，E是AC中点，
∴ OE是$△ ABC$的中位线，
∴ $OE=\frac{1}{2}BC$，即$BC=2OE$。
代入$OE=\frac{41}{8}-4=\frac{9}{8}$，得$BC=2×\frac{9}{8}=\frac{9}{4}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\frac{9}{4}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，三角形中位线定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将圆的性质和三角形基础定理结合考查，解题的核心是熟练掌握弧、弦、圆心角的对应关系，以及勾股定理在圆线段计算中的应用，是圆类考点的常见题型。
【难度系数】
0.6
