1. 教材变式 改编题 如图,半径为2的$\odot O$中,弦AB与弦CD垂直相交于点P,连接OP,若$OP=1$,则$AB^2+CD^2$的值为 ()

A.16
B.20
C.24
D.28

1.D 解析:如图,过点O作$OM ⊥ AB$于点M,作$ON ⊥ CD$于点N,连接OD,OB.$\because CD ⊥ AB,ON ⊥ CD,OM ⊥ AB$,$\therefore$ 四边形ONPM是矩形,$\therefore OM=NP,ON=MP$.$\because MB^2=OB^2-OM^2$,$\therefore (\dfrac{AB}{2})^2=2^2-OM^2$,$\therefore AB^2=16-4OM^2$,同理可得$CD^2=16-4ON^2$,$\therefore AB^2+CD^2=32-4(OM^2+ON^2)=32-4OP^2=32-4=28.$

2.（荆州中考）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高$AB=20\ \mathrm{cm}$，底面直径$BC=12\ \mathrm{cm}$，球的最高点到瓶底面的距离为$32\ \mathrm{cm}$，则球的半径为$\mathrm{cm}$（玻璃瓶厚度忽略不计）。

2. 7.5 解析:如图,设球心为O,过点O作$OM ⊥ AD$于点M,连接OA,设球的半径为r cm,则$OM=32-20-r=(12-r)\ \mathrm{cm}$,由垂径定理得$AM=DM=\dfrac{1}{2}AD=6\ \mathrm{cm}$,由勾股定理得$AM^2+OM^2=OA^2$,即$6^2+(12-r)^2=r^2$,解得$r=7.5.$

3. 如图,点 C 是⊙O 的优弧 ACB 的中点,弦 AB=6 cm,E 为 OC 上任意一点,动点 F 从点 A 出发,以每秒 1 cm 的速度沿 AB 方向,从点 A 向点 B 匀速运动,若 $ y = AE^2 - EF^2 $,则 y 与动点 F 的运动时间 x (0 ≤ x ≤ 6) 的函数解析式为 .

3. $y=6x-x^2(0 ≤ x ≤ 6)$ 解析:如图,延长CO交AB于点G,$\because$ 点C是$\odot O$优弧ACB的中点,$\therefore CG ⊥ AB$,$AG=\dfrac{1}{2}AB=3\ \mathrm{cm}$.在$\mathrm{Rt}△ AEG$中,$AE^2=AG^2+EG^2$,在$\mathrm{Rt}△ EFG$中,$EF^2=FG^2+EG^2$,当$0 ≤ x ≤ 3$时,$AF=x\ \mathrm{cm}$,$FG=(3-x)\ \mathrm{cm}$,$y=AE^2-EF^2=AG^2+EG^2-FG^2-EG^2=AG^2-FG^2=9-(3-x)^2=6x-x^2$;当$3＜x ≤ 6$时,设$AF=x\ \mathrm{cm}$,则$FG=(x-3)\ \mathrm{cm}$,$\therefore y=AE^2-EF^2=AG^2+EG^2-FG^2-EG^2=AG^2-FG^2=9-(x-3)^2=6x-x^2$.综上,$y=6x-x^2(0 ≤ x ≤ 6).$

4.(海南中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为.

4. $(2,6)$ 解析:$\because$ 四边形OCDB是平行四边形,$B(16,0)$,$\therefore CD // OA$,$CD=OB=16$.如图,过点M作$MF ⊥ CD$于点F,连接MC,则$CF=\dfrac{1}{2}CD=8$.$\because OA=20$,半径$MC=\dfrac{1}{2}OA=10$,$\therefore MF=\sqrt{MC^2-CF^2}=6$.过点C作$CE ⊥ OA$于点E,$\therefore OE=OM-ME=OM-CF=2$.$\therefore$ 点C的坐标为$(2,6).$

5. 教材变式（1）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
①求证：$AC=BD$；
②如图②，连接DO并延长交小圆于点E，连接AE，若$AE=DE$，求$\frac{AD}{BD}$的值。
（2）如图③，过$\odot O$内一点P作弦AB，使$AP=2BP$。（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

5. (1)①过点O作$OE ⊥ AB$于点E,如图①.$\because OE ⊥ AB$,$OE$经过圆心O,$\therefore EC=ED$,$EA=EB$,$\therefore AC=BD.$
②连接OC,如图②.$\because EA=ED$,$OC=OD$,$\therefore ∠ A=∠ EDA=∠ OCD$,$\therefore OC // EA$.$\because OE=OD$,$\therefore AC=CD$.$\because AC=DB$,$\therefore AC=CD=DB$,$\therefore \dfrac{AD}{DB}=2.$
(2)如图③所示. 解析:连接PO并延长至点Q使$QO=OP$,以Q为圆心,QP长为半径画弧,交$\odot O$于点A,连接AP并延长交$\odot O$于另一点B,则弦AB即为所求.

6. 在$\odot O$中，AB为直径，P是AB上一点，$∠ NPB=45°$.
(1)如图①，若点P与圆心O重合，直接写出$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}$的值.
(2)如图②，若$MP=1$，$NP=7$，求$\frac{MP^2 + NP^2}{AB^2}$的值.
(3)当点P在AB上运动时，(2)中的结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化的范围.

6. (1)$\dfrac{1}{2}$ 解析:设$\odot O$的半径为r,$\because$ 点P与圆心O重合,$\therefore MP=NP=AP=BP=r$,$\therefore \dfrac{MP^2+NP^2}{AB^2}=\dfrac{r^2+r^2}{4r^2}=\dfrac{1}{2}.$
(2)如图①,作$OH ⊥ MN$于点H,连接ON,$\therefore MH=NH=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{1}{2}(MP+NP)=\dfrac{1}{2} × (1+7)=4$,$\therefore PH=MH-MP=4-1=3$.$\because ∠ NPB=45°$,$\therefore OH=PH=3$.在$\mathrm{Rt}△ HON$中,$ON=\sqrt{OH^2+NH^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,$\therefore AB=10$,$\therefore \dfrac{MP^2+NP^2}{AB^2}=\dfrac{1^2+7^2}{10^2}=\dfrac{1}{2}.$

(3)(2)中的结论不改变.作$OH ⊥ MN$于点H,连接OM,如图②,设$PM=a$,$PN=b$,$\therefore MH=NH=\dfrac{a+b}{2}$,$\therefore PH=NH-PN=\dfrac{a-b}{2}$.$\because ∠ NPB=45°$,$\therefore ∠ OPH=45°$,$\therefore OH=PH=\dfrac{a-b}{2}$.在$\mathrm{Rt}△ OMH$中,$OM=\sqrt{MH^2+OH^2}=\sqrt{(\dfrac{a+b}{2})^2+(\dfrac{a-b}{2})^2}=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$,$\therefore \dfrac{MP^2+NP^2}{AB^2}=\dfrac{a^2+b^2}{(2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}})^2}=\dfrac{1}{2}.$