1. (2026·榆林期末)如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$∠ BOE=75°$，则$∠ AOC$的度数是（）


A.$40°$
B.$35°$
C.$30°$
D.$25°$

1. B 解析: $\because ∠BOE=75°, \therefore ∠AOE=180°-∠BOE=105°.$$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}, \therefore ∠AOC=∠COD=∠DOE=\frac{1}{3}×105°=35°.$故选 B.

2.（2026·绍兴期中）下列语句中,正确的有()
①相等的圆心角所对的弧相等;②等弧对等弦;③等弦对等弧;④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2. B 解析:①相等的圆心角所对的弧相等,必须在同圆或等圆中才成立,故①错误;②等弧对等弦,故②正确;③在同圆或等圆中,等弦所对的优弧和劣弧分别相等,故③错误;④经过圆心的直线是圆的对称轴,故④正确;
∴ 正确的有②④,共2个.故选 B.
易错提醒 ①等弧,是在同圆或等圆的前提下,已经隐含了该条件,因此“等弧对等弦”正确;②等弦没有隐含同圆或等圆的前提条件,且一条弦对应两条弧(优弧和劣弧),因此在同圆或等圆中,相等的弦所对的优弧或劣弧分别相等;③在同圆或等圆中,圆心角和弦是一一对应的关系,圆心角不相等,所对的弦也不相等,反之亦然.

3. (2026·崇左月考)如图,AB,CD是$\odot O$的直径,$AB// ED$,则 ()

A.$AC=AE$
B.$AC＞AE$
C.$AC＜AE$
D.$AC$与$AE$的大小关系无法确定

3. A 解析:连接 OE,如图,$\because OE=OD$,$\therefore ∠1=∠D.∵ AB// ED,∴ ∠COA=∠D$,$∠1 = ∠AOE$, $\therefore ∠COA = ∠AOE$,$\therefore AC=AE$.故选 A.

4. (2026·西安月考)如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦，若$AB=CD$，$∠ AOD=150°$，$∠ BOD=30°$，则$∠ COD=$°.

4. 120 解析: $\because ∠AOD = 150°, ∠BOD = 30°, \therefore ∠AOB = ∠AOD-∠BOD=150°-30°=120°.∵ AB=CD,AB,CD$ 是 $\odot O$ 的两条弦,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}, \therefore ∠COD=∠AOB=120°.$

5. (2026·温州期中)如图,点C,D在以AB为直径的半圆O上,且OD//BC,若∠AOD=40°,则$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角的度数为.

5. $100°$ 解析:如图,连接 OC,$\because OD// BC, \therefore ∠ABC = ∠AOD = 40°.∵ OC = OB, \therefore ∠OCB = ∠ABC = 40°$,$\therefore ∠BOC=180°-40°-40°=100°, \therefore \overset{\frown}{BC}$所对圆心角的度数为 $100°.$

6. (2026·菏泽月考)如图,在$\odot O$中,$AB=2CD$,则$\overset{\frown}{AB}$与2$\overset{\frown}{CD}$的大小关系为$\overset{\frown}{AB}$2$\overset{\frown}{CD}$.
(填“=”“＜”或“＞”)

6. ＞ 解析:如图,过点 O 作 $OE⊥AB$ 于点 G,交 $\odot O$ 于点 E,连接 AE,则 $AG=BG=\frac{1}{2}AB$,$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}.∵ AB=2CD, \therefore AG=BG=CD.$在 $Rt△ AGE$ 中,$AE＞AG, \therefore AE＞CD, \therefore \overset{\frown}{AE}＞\overset{\frown}{CD}, \therefore \overset{\frown}{AB}＞2\overset{\frown}{CD}.$
归纳总结 同圆或等圆中,圆心角成倍数关系时,所对的弧也成倍数关系,但所对的弦不成倍数关系.

7. (2026·上海月考)如图,已知在$\odot O$中,弦AC与弦BD相交于点G,连接OG,若$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,求证:OG平分$∠ AGD$.

7. 如图,连接 AB, CD, AO, DO, $\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AD}$,$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}, \therefore ∠ABG = ∠DCG, ∠BAG = ∠CDG.∵ \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}, \therefore AB=DC.$ 在 $△ ABG$ 和 $△ DCG$ 中, $\begin{cases}∠ABG=∠DCG,\\AB=DC,\\∠BAG=∠CDG,\end{cases}$ $\therefore △ ABG ≌ △ DCG(\mathrm{ASA}), \therefore AG = DG.$ 在 $△ AGO$ 和 $△ DGO$ 中, $\begin{cases}AG=DG,\\AO=DO,\\GO=GO,\end{cases}$ $\therefore △ AGO ≌ △ DGO (\mathrm{SSS}), \therefore ∠AGO = ∠DGO$,$\therefore OG$平分$∠AGD.$
一题多解 过 O 作 $OM⊥AC$ 于 M,作 $ON⊥BD$ 于 N, $\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}, \therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC},$ 即 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}, \therefore AC=BD,$ 易得 $AM=DN.$ 又 $OA=OD, \therefore \mathrm{Rt}△ AMO ≌ \mathrm{Rt}△ DNO(\mathrm{HL}), \therefore OM=ON$,$\therefore OG$平分$∠AGD.$

8. 如图,在扇形OAB中,∠AOB=110°,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处,折痕交OA于点C,则$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数为 ()

A.40°
B.50°
C.60°
D.70°

8. B 解析:连接 OD.$\because$ 扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠,点 O 恰好落在 $\overset{\frown}{AB}$ 上的点 D 处,折痕交 OA 于点 C, $\therefore BD=BO.$$\because OB=OD, \therefore △ OBD$ 为等边三角形, $\therefore ∠DOB = 60°$,$\therefore ∠AOD=∠AOB-∠DOB=110°-60°=50°,$ 故选 B.
归纳总结 如图,连接 OD,把扇形 OAB 沿着直线 BC 折叠,点 O 恰好落在 $\overset{\frown}{AB}$ 上的点 D 处,则 $△ OBD$ 为等边三角形.

9.（烟台中考）如图，在正方形纸片ABCD中，EF//AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10 cm，则圆柱上M，N两点间的距离是 cm.

9. $5\sqrt{3}$ 解析:把该正方形纸片卷成一个圆柱,使点 A 与点 D 重合,则线段 EF 形成一个直径为 10 cm 的圆.$\because MN=\frac{1}{3}EF$,$\therefore \overset{\frown}{MN}$所对的圆心角为 $\frac{1}{3}×360°=120°, \therefore ∠OMN=∠ONM=30°.$ 如图,作 $OG⊥MN$,利用勾股定理得 $MG=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ cm,$\therefore MN=2×\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$(cm).