10.（德州中考）如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$，垂足为E，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BF}$，$CE=1$，$AB=6$，则弦AF的长度为。

10. $\frac{48}{5}$ 解析:连接 OA, OB, OB 交 AF 于 G,如图,$\because AB⊥CD,AB=6, \therefore AE=BE=3.$ 设 $\odot O$ 的半径为 r, 则 $OE=r-1$,由勾股定理,得 $AE^2+OE^2=AO^2$,即 $3^2+(r-1)^2=r^2$,解得 $r=5.∵ \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BF}, \therefore OB⊥AF, \therefore AG=FG,AG^2+OG^2=5^2 \quad ①$,$AG^2+(5-OG)^2=6^2 \quad ②$,解由①②组成的方程组得到 $AG=\frac{24}{5}.$ 则 $AF=2AG=\frac{48}{5}.$

11. 如图,在$\odot O$中,AB为直径,弦CD交AB于点P,且$OP=PC$,试猜想$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{CB}$之间的关系,并证明你的猜想.

11. $\overset{\frown}{AD}=3\overset{\frown}{CB}$,证明:连接 OC 和 OD.$\because OC=OD, \therefore ∠D = ∠C.$$\because OP=PC, \therefore ∠C = ∠COP, \therefore ∠D = ∠C = ∠COP.$又 $\because ∠AOD = ∠DPO + ∠D, ∠DPO = ∠C + ∠COP$,$\therefore ∠AOD=∠C+∠COP+∠D=3∠COP, \therefore \overset{\frown}{AD}=3\overset{\frown}{CB}.$

12. 如图①,在同圆或等圆中,如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也相等. 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题.
如图②,O是∠EPF的平分线上一点,以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A,B,C,D.
(1)求证:AB=CD.
(2)若角的顶点P在圆上或圆内,上述结论还成立吗?若不成立,请说明理由;若成立,请加以证明.

12. (1) 证法一:如图①,过 O 作 $OM⊥AB$ 于 M, $ON⊥CD$ 于 N, 则 $∠OMB=∠OND=90°.∵ PO$ 平分 $∠EPF, \therefore OM=ON, \therefore AB=CD.$
证法二:如图①,过 O 作 $OM⊥AB$ 于 M, $ON⊥CD$ 于 N, 求出 $ON=OM$,证明 $△ OMB ≌ △ OND(\mathrm{HL})$, 推出 $BM=DN$, 根据垂径定理得出 $AB=2BM, CD=2DN, \therefore AB=CD.$
(2) 结论还成立,证明:如图②,当 P 在 $\odot O$ 上时, $\because$ 由(1)知, $BM=DN, AB=2BM, CD=2DN, \therefore AB=CD$;当 P 在 $\odot O$ 内时,如图③, $\because$ 由(1)知, $BM=DN, AB=2BM, CD=2DN, \therefore AB=CD.$

13. 如图，AB是$\odot O$的直径，点D，C在$\odot O$上，$∠ DOC = 90°$，$AC = 2$，$BD = 2\sqrt{2}$，则$\odot O$的半径为（）

A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{10}$

13. D 解析:作半径 $OE⊥AB$, 交 $\odot O$ 于点 E, 连接 DE, 作 $BF⊥ED$, 交 ED 的延长线于点 F, 连接 BE, 如图,$\because ∠DOC=90°, ∠BOE=∠AOE=∠BFE=90°, \therefore ∠DOE=∠AOC, \therefore DE=AC=2.∵ ∠ODE=\frac{1}{2}×(180°-∠DOE)$,$∠ODB=\frac{1}{2}×(180°-∠BOD), ∠DOE+∠BOD=∠BOE=90°, \therefore ∠BDE=∠ODE+∠ODB=135°, \therefore ∠BDF=45°.$$\because BD=2\sqrt{2}, \therefore DF=BF=2, \therefore EF=4, \therefore BE=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}.$$\because △ BOE$ 为等腰直角三角形, $\therefore OB=\sqrt{10}.$

14. 如图,将半径为2,圆心角为$120°$的扇形OAB绕点A逆时针旋转一定角度,使点O的对应点D落在$\overset{\frown}{AB}$上,点B的对应点为点C,连接BC,则BC的长度是.

14. $2\sqrt{3}$ 解析:如图,连接 OD, BD. 由题意,得 $OA=OD=AD$,$\therefore △ AOD$ 是等边三角形, $\therefore ∠ADO=∠AOD=60°.$$\because ∠ADC=∠AOB=120°, \therefore ∠ADO+∠ADC=180°, \therefore O,D,C$ 三点共线.$\because ∠AOD=∠DOB=60°, OD=OB, \therefore △ OBD$ 是等边三角形, $\therefore ∠BDO=60°. \because DC=DB, \therefore ∠DCB=∠DBC=30°, \therefore ∠OBC=90°, \therefore BC=2\sqrt{3}.$

15. 如图，CD是$\odot O$的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，点P为直线CD上的一个动点，当$CD=4$时，求：
(1)$AP+BP$的最小值；
(2)$AP-BP$的最大值.

15. (1) 如图①,作点 A 关于 CD 的对称点 A', 连接 A'B, 交 CD 于点 P, 此时 $PA+PB$ 最小, 连接 OA, AP, OB, OA', AA'.$∵$ 点 A 与 A' 关于 CD 对称, 点 A 是半圆上的一个三等分点, $\therefore ∠A'OD=∠AOD=60°, PA=PA'.∵$ 点 B 是 $\overset{\frown}{AD}$ 的中点,$\therefore ∠BOD=30°, \therefore ∠A'OB=∠A'OD+∠BOD=90°.$ 又 $OA=OA'=OB=2, \therefore A'B=2\sqrt{2}, \therefore AP+BP$ 的最小值即为 $A'P+BP=A'B=2\sqrt{2}.$
(2) 由三角形的三边关系可知, 当 A, B, P 三点共线时, $AP-BP$ 有最大值 AB, 如图②, 连接 AO, BO, AB, 过点 A 作 $AN⊥OB$, 垂足为 N.$∵ CD$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 A 是半圆上的三等分点, 点 B 是 $\overset{\frown}{AD}$ 的中点, $CD=4, \therefore ∠AOB=30°, AN=\frac{1}{2}AO=1, \therefore ON=\sqrt{3}, BN=2-\sqrt{3}, \therefore AP-BP$ 的最大值为 $AB=\sqrt{1^2+(2-\sqrt{3})^2}=\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{6-4\sqrt{3}+2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}.$