8.在平面直角坐标系$xOy$中,以A为顶点的抛物线$y=x^2 -1$与直线$y=k(x+1)$有两个公共点$M,N$,其中,点$M$在$x$轴上.直线$y=k(x+1)$与$y$轴交于点$B$,点$B$关于点$A$的对称点为$C$.
(1)用含$k$的式子分别表示点$B,N$的坐标:$B$ ,$N$ ;
(2)如图,当$k＞0$时,连接$CM,CN$.求证:$CO$平分$∠ MCN$;
(3)若函数$y=x^2 -1(x≥ k)$的图象记为$W_1$,将$W_1$沿直线$x=k$翻折后的图象记为$W_2$,当$W_1,W_2$两部分组成的图象与线段$MB$恰有一个公共点时,请确定$k$的取值范围.

8.(1)$(0,k)$ $(k+1,k^2+2k)$
(2)证明:设抛物线与$x$轴的另一交点为$D$.
由 $x^2-1=0$,解得 $x_1=-1,x_2=1$,
$\therefore$抛物线与$x$轴的交点为$M(-1,0),D(1,0)$,
$\therefore CM=CD$.
$\because CO⊥ MD,\therefore ∠ MCO=∠ DCO$.
由(1)得 $B(0,k),N(k+1,k^2+2k)$,
$\because$点$B$关于点$A$ 的对称点为$C,A(0,-1)$,
$\therefore C(0,-2-k)$.
设直线$CN$的函数解析式为$y=mx-2-k$,
$\therefore k^2+2k=m(k+1)-2-k$,
$\therefore m(k+1)=(k+1)(k+2)$.
$\because k＞0,\therefore k+1＞0,\therefore m=k+2$,
故直线$CN$的函数解析式为$y=(k+2)x-(k+2)=(k+2)(x-1)$,
$\therefore$不论$k$为何值,直线$CN$过定点$(1,0)$,
$\therefore$点$D(1,0)$在直线$CN$上,$\therefore CO$平分$∠ MCN$.
(3)解:设图象$W_1$上的任意一点$P(a,a^2-1)$,
点$P$在图象$W_2$上的对应点$Q(m,n)$.
根据题意,得$\frac{m+a}{2}=k,n=a^2-1$,解得$a=2k-m$,
$\therefore n=(2k-m)^2-1$,
即图象$W_2$的函数解析式为$y=(2k-x)^2-1$.
当$k≥ 0$时,若图象$W_2$经过点$B$,如答图①,则$W_1,W_2$两部分组成的图象与线段$MB$有唯一交点,
$\therefore$点$B(0,k)$满足$y=(2k-x)^2-1$,
$\therefore 4k^2-1=k$,解得$k=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$或$k=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$(舍去);

若图象$W_2$经过点$M$,如答图②,则$W_1,W_2$两部分组成的图象与线段$MB$有唯一交点,
$\therefore M(-1,0)$满足$y=(2k-x)^2-1$,
$\therefore (2k+1)^2-1=0$,解得$k=0$或$k=-1$(舍去),
$\therefore 0≤ k≤ \frac{1+\sqrt{17}}{8}$.
当$k＜0$时,若$-1＜k＜0$,则$W_1,W_2$两部分组成的图象与线段$MB$没有交点,不符合题意;
如答图③,若$k=-1$,则$W_1,W_2$两部分组成的图象与线段$MB$有$M,B$两个交点,不符合题意;
若$-2＜k＜-1$,则图象$W_1$与线段$MB$有两个交点,不符合题意;
如答图④,若$k≤ -2$,则图象$W_1$与线段$MB$有一个交点,
联立$y=x^2-1,y=k(x+1)$,得$x^2-1=k(x+1)$,
由$\Delta＞0$,知$k≠ -2,\therefore k＜-2$.
综上所述,$k$的取值范围是$k＜-2$或$0≤ k≤ \frac{1+\sqrt{17}}{8}$.

9. 将抛物线$y=(x-3)(x-5)$先绕原点$O$旋转$180°$，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的函数解析式为（）

A.$y=-x^2 -4x -3$
B.$y=-x^2 -12x -35$
C.$y=x^2 +12x +35$
D.$y=x^2 +4x +3$

9.A

10. 如图①，抛物线的顶点坐标为$(0,1)$且经过点$A(1,2)$，直线$y=3x-4\sqrt{2}$经过点$B(2\sqrt{2},n)$，与$y$轴的交点为$C$.
(1)求抛物线的函数解析式及$n$的值；
(2)将直线$BC$绕原点$O$逆时针旋转$45°$，求旋转后直线的函数解析式；
(3)如图②，将抛物线绕原点$O$顺时针旋转$45°$得到新抛物线，新抛物线与直线$BC$交于点$M$，$N$，点$M$在点$N$的上方，求点$N$的坐标.

10.解:(1)设抛物线的函数解析式为$y=ax^2+1$,
将$A(1,2)$代入,得$2=a+1$,解得$a=1$,
故抛物线的函数解析式为$y=x^2+1$.
将$B(2\sqrt{2},n)$代入$y=3x-4\sqrt{2}$,得$n=3×2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
(2)由(1)知点$B$的横坐标和纵坐标相同,$BO=4$,
故点$B$绕点$O$逆时针旋转$45°$落在$y$轴上,且对应点为$B'(0,4)$.
同理点$C(0,-4\sqrt{2})$绕点$O$逆时针旋转$45°$,对应点为$C'(4,-4)$.
设直线$B'C'$的函数解析式为$y=kx+b$,
则$\begin{cases}4k+b=-4,\\b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=4,\end{cases}$
故旋转后直线的函数解析式为$y=-2x+4$.
(3)如答图,作直线$y=-2x+4$交抛物线于点$N'$,

则抛物线$y=x^2+1$和直线$y=-2x+4$绕原点$O$顺时针旋转$45°$得到新曲线和直线$y=3x-4\sqrt{2}$,
联立$\begin{cases}y=x^2+1,\\y=-2x+4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1,\\y=2\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3,\\y=10\end{cases}$(舍去),故点$N'(1,2)$.
设点$N(m,3m-4\sqrt{2})$,由题意,得$ON=ON'$,
即$1^2+2^2=m^2+(3m-4\sqrt{2})^2$,
解得$m=\frac{3\sqrt{2}}{2}$(不合题意的值已舍去),
故点$N$的坐标为$(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$.