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1 二次函数$y=2x^2$的图象大致是（
）
）答案
A 【解析】$y=2x^2$ 的图象是一条过原点,且开口向上的抛物线,故选 A.
2[2026青海西宁校级质检]已知抛物线$y=ax^2$经过点$(2,-8)$。
(1)求$a$的值；
(2)画出此函数的图象.
(1)求$a$的值；
(2)画出此函数的图象.
答案
(1)将点$(2,-8)$代入$y=ax^2$,得$-8=a · 2^2$,解得 $a=-2$.
(2)图象如图所示：
3 若二次函数$y=ax^2$的图象过点$P(-2,4)$，则该图象必经过点 （
A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$
A
）A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$
答案
A 【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2$ 图象的对称轴为y轴,
∴ 若图象经过点 $P(-2,4)$,则该图象必经过点$(2,4)$. 故选 A.
∵ 二次函数$y=ax^2$ 图象的对称轴为y轴,
∴ 若图象经过点 $P(-2,4)$,则该图象必经过点$(2,4)$. 故选 A.
4 新考法[2026河北张家口期中]嘉嘉用软件绘制抛物线$y=2x^2$时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（
A.开口方向
B.开口大小
C.对称轴
D.顶点坐标
B
）A.开口方向
B.开口大小
C.对称轴
D.顶点坐标
答案
B 【解析】根据二次函数的性质可知,抛物线$y=2x^2$ 的开口比抛物线 $y=3x^2$ 的开口大,
∴ 和原图象相比,发生改变的是开口大小,故选 B.
∴ 和原图象相比,发生改变的是开口大小,故选 B.
5 已知二次函数$y=(a-1)x^2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，则$a$的取值范围是（
A.$a＞0$
B.$a＞1$
C.$a≥1$
D.$a＜1$
B
）A.$a＞0$
B.$a＞1$
C.$a≥1$
D.$a＜1$
答案
B 【解析】
∵ 二次函数 $y=(a-1)x^2$ 的图象的对称轴为 y 轴,当 x＞0 时,y 随 x 的增大而增大,
∴ 二次函数 $y=(a-1)x^2$ 的图象开口向上,
∴ $a-1＞0$,即 $a＞1$,故选 B.
∵ 二次函数 $y=(a-1)x^2$ 的图象的对称轴为 y 轴,当 x＞0 时,y 随 x 的增大而增大,
∴ 二次函数 $y=(a-1)x^2$ 的图象开口向上,
∴ $a-1＞0$,即 $a＞1$,故选 B.
6 已知抛物线$y=ax^2(a＞0)$过$A(-2,y_1),B(1,y_2)$两点,则下列关系式一定正确的是 (
A.$y_1＞0＞y_2$
B.$y_2＞0＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞0$
D.$y_2＞y_1＞0$
C
)A.$y_1＞0＞y_2$
B.$y_2＞0＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞0$
D.$y_2＞y_1＞0$
答案
C 【解析】
∵ 抛物线 $y=ax^2(a＞0)$ 的对称轴为 y 轴,
∴ $A(-2,y_1)$ 关于对称轴对称的点的坐标为$(2,y_1)$. 又
∵ $a＞0,0＜1＜2$,
∴ $0＜y_2＜y_1$. 故选 C.
∵ 抛物线 $y=ax^2(a＞0)$ 的对称轴为 y 轴,
∴ $A(-2,y_1)$ 关于对称轴对称的点的坐标为$(2,y_1)$. 又
∵ $a＞0,0＜1＜2$,
∴ $0＜y_2＜y_1$. 故选 C.
7[2026湖北武汉质检]已知$y=(m+1)x^{m^2+m}$是二次函数，且当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的值为
-2
。答案
-2 【解析】
∵ $y=(m+1)x^{m^2+m}$ 是二次函数,
∴ $m^2+m=2$, 且 $m+1≠0$, 解得 $m=1$ 或 $m=-2$.
∵ 当 x＞0 时,y 随 x 的增大而减小,
∴ $m+1＜0$,
∴ $m＜-1$,
∴ $m=-2$,故答案为-2.
∵ $y=(m+1)x^{m^2+m}$ 是二次函数,
∴ $m^2+m=2$, 且 $m+1≠0$, 解得 $m=1$ 或 $m=-2$.
∵ 当 x＞0 时,y 随 x 的增大而减小,
∴ $m+1＜0$,
∴ $m＜-1$,
∴ $m=-2$,故答案为-2.
8[2025河南郑州质检]已知二次函数$y=x^2$，当$-2≤ x≤3$时，$y$的取值范围是
$0≤y≤9$
。答案
$0≤y≤9$ 【解析】
∵ 二次函数 $y=x^2$,$1＞0$,
∴ 该函数图象的对称轴为直线 x=0,抛物线开口向上,
∴ 当 x＜0 时,y 随 x 的增大而减小; 当 x=0 时,y 取得最小值,为 0; 当 x＞0 时,y 随 x 的增大而增大.
∵ 当 x=-2 时,y=4; 当 x=3 时,y=9,
∴ 当$-2≤x≤3$ 时,$0≤y≤9$,故答案为 $0≤y≤9$.
∵ 二次函数 $y=x^2$,$1＞0$,
∴ 该函数图象的对称轴为直线 x=0,抛物线开口向上,
∴ 当 x＜0 时,y 随 x 的增大而减小; 当 x=0 时,y 取得最小值,为 0; 当 x＞0 时,y 随 x 的增大而增大.
∵ 当 x=-2 时,y=4; 当 x=3 时,y=9,
∴ 当$-2≤x≤3$ 时,$0≤y≤9$,故答案为 $0≤y≤9$.
9 已知二次函数 $ y = ax^2 $，当 $ x=3 $ 时，$ y=3 $。
(1) 当 $ x=-2 $ 时，求 $ y $ 的值；
(2) 写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
刷易错 ............小心有坑~
(1) 当 $ x=-2 $ 时，求 $ y $ 的值；
(2) 写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
刷易错 ............小心有坑~
答案
(1)
∵ 把 x=3,y=3 代入 $y=ax^2$ 得 $a · 3^2=3$,解得 $a=\frac{1}{3}$,
∴ 这个二次函数的解析式为 $y=\frac{1}{3}x^2$. 当 x=-2 时,$y=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3}$.
(2)
∵ $y=\frac{1}{3}x^2$,$\frac{1}{3}＞0$,
∴ 该函数图象开口向上,对称轴是 y 轴,顶点坐标是 (0,0). 当 x＞0 时,y 随 x 的增大而增大.
∵ 把 x=3,y=3 代入 $y=ax^2$ 得 $a · 3^2=3$,解得 $a=\frac{1}{3}$,
∴ 这个二次函数的解析式为 $y=\frac{1}{3}x^2$. 当 x=-2 时,$y=\frac{1}{3}×(-2)^2=\frac{4}{3}$.
(2)
∵ $y=\frac{1}{3}x^2$,$\frac{1}{3}＞0$,
∴ 该函数图象开口向上,对称轴是 y 轴,顶点坐标是 (0,0). 当 x＞0 时,y 随 x 的增大而增大.
10 已知抛物线$y=ax^2$与$y=2x^2$的形状相同，则$a=$
$\pm2$
。答案
$\pm2$ 【解析】
∵ 抛物线 $y=ax^2$ 与 $y=2x^2$ 的形状相同,
∴ $|a|=2$,
∴ $a=±2$. 故答案为 $\pm2$.
∵ 抛物线 $y=ax^2$ 与 $y=2x^2$ 的形状相同,
∴ $|a|=2$,
∴ $a=±2$. 故答案为 $\pm2$.
