1[2026甘肃武威期中,中]如图,将$Rt△ AOB$放在平面直角坐标系$xOy$中,$AB ⊥ OB$,且$AB=OB=3$,设直线$x=t$截此三角形所得阴影部分的面积为$S$,则$S$与$t$之间的函数关系的图象为 ()

D 【解析】如图,设直线 x=t 与 OA 交于 C,与 OB 交于 D.
∵ $Rt△ AOB$ 中,$AB ⊥ OB$, 且 AB=OB=3,
∴ $∠AOB=∠A=45°$.
∵ $CD ⊥ OB$,
∴ $CD // AB$,
∴ $∠OCD=∠A=45°=∠COD$,
∴ $OD=CD=t$,
∴ $S_{△OCD}=\frac{1}{2}×OD×CD=\frac{1}{2}t^2(0≤t≤3)$,即 $S=\frac{1}{2}t^2(0≤t≤3)$. 故选 D.

2[2025浙江绍兴期末,中]已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$为二次函数$y=x^2$图象上的两点(不为顶点),则以下判断正确的是 ()

A.若$x_1＞x_2$,则$y_1＞y_2$
B.若$x_1＜x_2$,则$y_1＜y_2$
C.若$x_1x_2＞x_2^2$,则$y_1＞y_2$
D.若$x_1x_2＜x_2^2$,则$y_1＜y_2$

C 【解析】
∵ $y=x^2$,$1＞0$,
∴ 该函数图象的对称轴为 y 轴,开口向上,
∴ 当 x＜0 时,y 随 x 的增大而减小; 当 x＞0 时,y 随 x 的增大而增大. A 选项,当 $x_1＞x_2$ 时,$y_1$ 不一定大于 $y_2$,例如当 $x_1=1$ 时,$y_1=1$,当 $x_2=-2$ 时,$y_2=4$,此时 $x_1＞x_2$,但是 $y_1＜y_2$,故 A 选项错误. B 选项,当 $x_1＜x_2$ 时,$y_1$ 不一定小于 $y_2$,例如当 $x_1=-2$ 时,$y_1=4$,当 $x_2=1$ 时,$y_2=1$,此时 $x_1＜x_2$,但是 $y_1＞y_2$,故 B 选项错误. C 选项,
∵ $x_1x_2＞x_2^2$,
∴ $(x_1-x_2) · x_2＞0$,
∴ $x_1＜x_2＜0$ 或 $x_1＞x_2＞0$. 当 $x_1＜x_2＜0$ 时,$y_1＞y_2$; 当 $x_1＞x_2＞0$ 时,$y_1＞y_2$,
∴ 当 $x_1x_2＞x_2^2$ 时,$y_1＞y_2$,故 C 选项正确. D 选项,当 $x_1x_2＜x_2^2$ 时,$y_1$ 不一定小于 $y_2$,例如当 $x_1=-2$ 时,$y_1=4$,当 $x_2=1$ 时,$y_2=1$,此时 $x_1x_2=-2＜x_2^2=1$,但是 $y_1＞y_2$,故 D 选项错误. 故选 C.

3 新考法[2026安徽合肥质检，中]如图是函数$y_1=3x^2$，$y_2=(1-k)x^2$，$y_3=(k-2)x^2$的图象，则$k$的取值范围是。

（第3题图）
（第4题图）

$1＜k＜\frac{3}{2}$ 【解析】根据抛物线的开口大小可知,$\begin{cases}|k-2|＜3, \\|1-k|＜|k-2|.\end{cases}$ 由开口方向可知 $k-2＜0$,$1-k＜0$,即 $\begin{cases}2-k＜3, \\1-k＞k-2,\end{cases}$ 且 $1＜k＜2$,
∴ $1＜k＜\frac{3}{2}$,故答案为 $1＜k＜\frac{3}{2}$.

4[2025江苏苏州期中,中]如图,抛物线$y=x^2$与矩形ABCD交于E,F两点,抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$与矩形ABCD交于A,D两点,抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$与矩形ABCD交于B,C两点,若点A的横坐标为-1,则图中阴影部分面积的和为.

$\frac{3}{4}$ 【解析】
∵ 点 A 的横坐标为 -1,
∴ 将 x=-1 分别代入 $y=\frac{1}{2}x^2$,$y=-\frac{1}{4}x^2$,得 $y=\frac{1}{2}×(-1)^2=\frac{1}{2}$,$y=-\frac{1}{4}×(-1)^2=-\frac{1}{4}$,
∴ $A(-1,\frac{1}{2})$,$B(-1,-\frac{1}{4})$,
∴ $AB=\frac{1}{2}-(-\frac{1}{4})=\frac{3}{4}$. 根据抛物线的对称性,得 $AD=1×2=2$,$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}$,
∴ $S_{阴影}=\frac{1}{2}×2×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$. 故答案为 $\frac{3}{4}$.

5 新考向 开放性试题 [中]在平面直角坐标系xOy中,函数$y_1=x(x＜m)$的图象与函数$y_2=x^2(x≥m)$的图象组成
图形G.对于任意实数n,过点P(0,n)且与x轴平行的直线总与图形G有公共点,写出一个满足条件的实数m的值为(写出一个即可).
刷素养 走向重高

1（答案不唯一） 【解析】由 $\begin{cases}y=x, \\y=x^2\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=0, \\y=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=1, \\y=1,\end{cases}$
∴ 函数 $y_1=x$ 的图象与函数 $y_2=x^2$ 的图象的交点为 (0,0) 和 (1,1),如图.
∵ 函数 $y_1=x(x＜m)$ 的图象与函数 $y_2=x^2(x≥m)$ 的图象组成图形 G,对于任意实数 n,过点 P(0,n) 且与 x 轴平行的直线总与图形 G 有公共点,
∴ $0≤m≤1$,故答案为 1(答案不唯一).

6 思想方法分类讨论[较难]在平面直角坐标系$xOy$中，直线$l:y=a(x+2)(a＞0)$与$x$轴交于点$A$，与抛物线$E:y=ax^2$交于$B$，$C$两点（$B$在$C$的左边）。
(1)求$A$点的坐标；
(2)如图(1)，若$B$点关于$x$轴的对称点为$B'$点，当以点$A,B',C$为顶点的三角形是直角三角形时，求实数$a$的值；
(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作整点，如$(-2,1),(2,0)$均为整点。如图(2)，直线$l$与抛物线$E$所围成的封闭图形（即阴影部分）内（不包含边界）的整点数恰好是26个，求$a$的取值范围。

(1) 令 $y=a(x+2)=0$,得 x=-2,则 A 点的坐标为 (-2,0).
(2) 联立直线 $l:y=a(x+2)$ 与抛物线 $E:y=ax^2$ 得 $\begin{cases}y=a(x+2), \\y=ax^2,\end{cases}$
∴ $x^2-x-2=0$,
∴ x=-1 或 x=2,
∴ $B(-1,a)$,$C(2,4a)$,
∴ $AC^2=(2+2)^2+(4a-0)^2=16a^2+16$.
∵ B 点关于 x 轴的对称点为 $B'$ 点,
∴ $B'(-1,-a)$,
∴ $AB'^2=(-2+1)^2+(0+a)^2=a^2+1$,$B'C^2=(2+1)^2+(4a+a)^2=25a^2+9$.
若 $∠CAB'=90°$,则 $AB'^2+AC^2=B'C^2$,即 $a^2+1+16a^2+16=25a^2+9$,
∴ a=1(负值已舍去);若 $∠AB'C=90°$,则 $AB'^2+B'C^2=AC^2$,即 $a^2+1+25a^2+9=16a^2+16$,
∴ $a=\frac{\sqrt{15}}{5}$(负值已舍去);若 $∠ACB'=90°$,则 $AC^2+B'C^2=AB'^2$,即 $16a^2+16+25a^2+9=a^2+1$,此方程无实数解.
综上,$a=1$ 或 $\frac{\sqrt{15}}{5}$.
(3) 如图,直线 l 与抛物线 E 所围成的封闭图形(即阴影部分)内(不包含边界)的整点只能落在 y 轴和直线 x=1 上.
∵ $D(0,2a)$,$H(1,a)$,$F(1,3a)$,
∴ $OD=HF=2a$.
∵ 整点数恰好是 26 个,
∴ 落在 y 轴和直线 x=1 上的整点数应各为 13 个. 由落在 y 轴上的整点有 13 个得 $13＜2a≤14$,即 $\frac{13}{2}＜a≤7$. ①若 $\frac{13}{2}＜a＜7$,则 $\frac{13}{2}＜y_H＜7$,
∴ 线段 HF 上的整点应该为 (1,7),(1,8),…,(1,19),
∴ $19＜3a≤20$,
∴ $\frac{19}{3}＜a≤\frac{20}{3}$,
∴ $\frac{13}{2}＜a≤\frac{20}{3}$;②若 a=7,则 $y_H=7$,$y_F=21$,此时线段 HF 上的整点正好有 13 个. 综上,$\frac{13}{2}＜a≤\frac{20}{3}$ 或 a=7.