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1[2026 山东烟台期中]下列函数中，是二次函数的有（
①$y=3(x-1)^2 +1$；②$y=\frac{2}{x^2}$；③$y=(x+3)^2 -x^2$；
④$y=2^2 -x$；⑤$y=ax^2 +bx +c$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）①$y=3(x-1)^2 +1$；②$y=\frac{2}{x^2}$；③$y=(x+3)^2 -x^2$；
④$y=2^2 -x$；⑤$y=ax^2 +bx +c$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.A 【解析】①$y=3(x-1)^2 +1=3x^2-6x+4$,是二次函数,符合题意;②$y=\frac{2}{x^2}$,由于$\frac{2}{x^2}$不是整式,所以该函数不是二次函数,不符合题意;③$y=(x+3)^2 -x^2=6x+9$,是一次函数,不是二次函数,不符合题意;④$y=2^2 -x$,是一次函数,不是二次函数,不符合题意;⑤$y=ax^2 +bx +c$,当$a=0$时,$y=bx+c$不是二次函数,不符合题意. 故是二次函数的有1个,故选 A.
2[2026北京海淀区质检]已知关于x的函数$y=ax^2+3x-x^2+1$是二次函数，则a的取值范围是
a≠1
.答案
2.$a≠1$ 【解析】$\because y=ax^2+3x-x^2+1=(a-1)x^2+3x+1$ 是二次函数,$\therefore$ 根据二次函数的定义可知$a-1≠0$,$\therefore a≠1$.
3 关于x的函数$y=(a^2 + 2a + 3)x^2 + 3ax + 1$,甲说:“此函数不是二次函数.”乙说:“此函数一定是二次函数.”丙说:“此函数是不是二次函数与a的取值有关.”你认为谁的说法正确？为什么？
答案
3.【解】乙的说法正确. 理由如下:$a^2+2a+3=(a+1)^2+2$,因为无论$a$取何值,$(a+1)^2≥0$,则$(a+1)^2+2≥2$,所以$a^2+2a+3≥2≠0$,故无论$a$取何值,此函数一定是二次函数.
4[2025安徽亳州调研]下列二次函数中,二次项系数是-3的是 (
A.$y=3x^2 -2x +5$
B.$y=x^2 -3x +2$
C.$y=-3x^2 -x$
D.$y=x^2 -3$
C
)A.$y=3x^2 -2x +5$
B.$y=x^2 -3x +2$
C.$y=-3x^2 -x$
D.$y=x^2 -3$
答案
4.C 【解析】A 选项,$y=3x^2 -2x +5$ 的二次项系数是 3,不合题意;B 选项,$y=x^2 -3x +2$ 的二次项系数是 1,不合题意;C 选项,$y=-3x^2 -x$ 的二次项系数是-3,符合题意;D 选项,$y=x^2 -3$ 的二次项系数是 1,不合题意. 故选 C.
5 把$y=(3x-2)(x+3)$化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为
1
.答案
5.1 【解析】$y=(3x-2)(x+3)=3x^2+7x-6$,$\therefore$ 一次项系数为 7,常数项为-6,$\therefore$ 一次项系数与常数项的和为$7+(-6)=1$,故答案为 1.
6[2025湖南长沙质检]某工厂七月份生产零件50万个，设该工厂第三季度平均每月生产零件的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（
A.$y=50(1+x)^2$
B.$y=50+50(1+x)+50(1+x)^2$
C.$y=50(1+x)+50(1+x)^2$
D.$y=50+50(1+x)$
B
）A.$y=50(1+x)^2$
B.$y=50+50(1+x)+50(1+x)^2$
C.$y=50(1+x)+50(1+x)^2$
D.$y=50+50(1+x)$
答案
6.B 【解析】已知该工厂第三季度平均每月生产零件的增长率为$x$,则八月份生产零件$50(1+x)$万个,九月份生产零件$50(1+x)^2$万个,$\therefore y=50+50(1+x)+50(1+x)^2$. 故选 B.
7[2026浙江绍兴期中]如图,有一块正方形的花圃,正中间有一个圆形水池,圆周上的点到正方形边上的点的最短距离为3 m. 记正方形内除水池外的面积为$y \ \mathrm{m}^2$,圆的半径为$x \ \mathrm{m}$,则$y$关于$x$的函数解析式是
（
A.$y=(x+3)^2 - π x^2$
B.$y=4(x+3)^2$
C.$y=4(x+3)^2 - π x^2$
D.$y=(x+3)^2$
（
C
）A.$y=(x+3)^2 - π x^2$
B.$y=4(x+3)^2$
C.$y=4(x+3)^2 - π x^2$
D.$y=(x+3)^2$
答案
7.C 【解析】由题意可知正方形的边长为$2(x+3)=(2x+6)\ \mathrm{m}$,则$y=(2x+6)^2-πx^2=4(x+3)^2-πx^2$,故选 C.
8 如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度足够长）和总长为28米的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形。设大矩形垂直于旧墙的一边长为x米，花圃总面积为y平方米，则y关于x的函数解析式为
刷易错 小心有坑~
y=-3x²+28x
。（用二次函数的一般形式表示）刷易错 小心有坑~
答案
8.$y=-3x^2+28x$ 【解析】$\because$ 篱笆的总长为 28 米,且$AB=x$ 米,$\therefore BC=(28-3x)$ 米,$\therefore$ 花圃总面积为$AB· BC=x(28-3x)=(-3x^2+28x)$ 平方米,$\therefore y$ 关于$x$ 的函数解析式为$y=-3x^2+28x$. 故答案为$y=-3x^2+28x$.
9 当$m=$
-1
时，$y=(m-1)x^{|m|+1}$是二次函数。答案
9.-1 【解析】由题意,得$|m|+1=2$,$m-1≠0$,解得$m=-1$,所以当$m=-1$时,$y=(m-1)x^{|m|+1}$是二次函数. 故答案为-1.
