三、解答题(本大题共3小题,共48分)
14[2025山东青岛质检]解方程:
(1)$x^2 -6x=11$(公式法);
(2)$x^2 -2x=2x -1$(配方法);
(3)$3x(x-1)=2-2x$.

(1)原方程化为一般形式，得$x^2-6x-11=0$，
∴a=1，b=-6，c=-11，
∴$Δ=(-6)^2-4×1×(-11)=80＞0$，
∴$x=\frac{6±\sqrt{80}}{2}=\frac{6±4\sqrt{5}}{2}=3±2\sqrt{5}$，
∴$x_1=3+2\sqrt{5}$，$x_2=3-2\sqrt{5}$。
(2)整理得$x^2-4x=-1$，配方得$x^2-4x+4=-1+4$，即$(x-2)^2=3$，
∴$x-2=±\sqrt{3}$，
∴$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。
(3)整理得$3x(x-1)+2(x-1)=0$，因式分解得$(3x+2)(x-1)=0$，
∴$3x+2=0$或$x-1=0$，
∴$x_1=-\frac{2}{3}$，$x_2=1$。

15 新考向传统文化 [2026福建泉州期中]对联是中华传统文化的瑰宝.对联装裱后,如图(1)所示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空白处统称为边.一般情况下,天头长与地头长的比是6:4,左、右边的宽相等,均为天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$.(1)若对联装裱后的左边的宽为2 cm,则天头长为 cm,地头长为 cm.(2)如图(2),某人要装裱一副对联,对联的长为100 cm,宽为28 cm.若要求装裱后的面积为5 040 cm²,求装裱后对联的左边的宽.

(1)
∵对联装裱后的左边的宽为2 cm，为天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$，
∴天头长与地头长的和为$2÷\frac{1}{10}=2×10=20(cm)$。
∵天头长与地头长的比是6:4，
∴天头长为$20×\frac{6}{6+4}=12(cm)$，地头长为$20×\frac{4}{6+4}=8(cm)$。故答案为12，8。
(2)设天头长为6x cm，则地头长为4x cm，
∴左、右边的宽为$\frac{1}{10}(6x+4x)=x$ cm，
∴装裱后的长为$100+6x+4x=(100+10x)$ cm，宽为$(28+2x)$ cm。由题意得$(100+10x)(28+2x)=5040$，整理得$x^2+24x-112=0$，
∴$x_1=4$，$x_2=-28$(不符合题意，舍去)，
∴装裱后对联的左边的宽是4 cm。

16[2025湖南长沙质检]已知关于x的一元二次方程$x^2 - (m+1)x + 3(m-2)=0$.
(1)求证:无论m为何值,方程总有两个实数根.
(2)若$△ ABC$的一条边BC的长为5,另两边AB,AC的长是一元二次方程的两个实数根.
①当m为何值时,$△ ABC$是以BC为斜边的直角三角形?
②当m为何值时,$△ ABC$是等腰三角形? 并求出$△ ABC$的周长.

(1)证明：
∵$x^2-(m+1)x+3(m-2)=0$，
∴$Δ=[-(m+1)]^2-4×1×3(m-2)=m^2+2m+1-12m+24=m^2-10m+25=(m-5)^2≥0$，
∴无论m为何值，方程总有两个实数根。
(2)①由题意，得$AC+AB=m+1$，$AC·AB=3(m-2)$。
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
∴$BC^2=AB^2+AC^2$，
∴$AB^2+AC^2=(AB+AC)^2-2AC·AB=(m+1)^2-2×3(m-2)=m^2-4m+13=25$，解得m=6或m=-2(不合题意，舍去)，
∴m=6。
②若BC为腰，则方程有一个根为5，将x=5代入方程，得$25-5(m+1)+3(m-2)=0$，
∴m=7，
∴方程为$x^2-8x+15=0$，解得x=3或5，
∴等腰三角形ABC的三边长分别为5，5，3，
∴周长为5+5+3=13。
若BC为底边，则方程有两个相等的实数根，
∴$Δ=(m-5)^2=0$，
∴m=5，
∴方程为$x^2-6x+9=0$，解得$x_1=x_2=3$，
∴等腰三角形ABC的三边长分别为3，3，5，
∴周长为3+3+5=11。综上，当m=5或7时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为11或13。
关键点拨：(2)②注意分BC为腰和底边这两种情况讨论。