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1.[2025广东实验中学期中]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=70°$,若沿图中虚线剪去$∠ C$,则$∠1+∠2$的度数为（
A.$250°$
B.$220°$
C.$180°$
D.$140°$
A
）A.$250°$
B.$220°$
C.$180°$
D.$140°$
答案
A
2. 如图，∠A=40°，∠B=55°，∠C=25°，则∠ADC的度数是 （
A.115°
B.120°
C.125°
D.130°
B
）A.115°
B.120°
C.125°
D.130°
答案
B 【点拨】延长 AD 交 BC 于点 E,如图.
∵∠ADC 是△CDE 的一个外角,
∴∠ADC=∠C+∠CED.
∵∠CED 是△ABE 的一个外角,
∴∠CED=∠A+∠B,
∴∠ADC=∠C+∠A+∠B=25°+40°+55°=120°.故选 B.
3. 如图，在$△ CEF$中，$∠ E=78°$，$∠ F=47°$，$AB// CF$，$AD// CE$，连接$BC$，$CD$，则$∠ A=$
55°
。答案
55° 【点拨】延长 EC 交 AB 于点 H,如图.
∵∠E=78°,∠F=47°,
∴∠ECF=180°−∠E−∠F=55°.
∵AB//CF,AD//CE,
∴∠BHE=∠ECF = 55°, ∠BHE = ∠A,
∴∠A=55°.
结论：
①$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$；
②$∠ A=∠ C⇔∠ B=∠ D$.
①$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$；
②$∠ A=∠ C⇔∠ B=∠ D$.
答案
证明：
① 在$△ AOB$中，由三角形内角和定理得：
$∠ A + ∠ B + ∠ AOB = 180°$，
因此$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ AOB$。
在$△ COD$中，由三角形内角和定理得：
$∠ C + ∠ D + ∠ COD = 180°$，
因此$∠ C + ∠ D = 180° - ∠ COD$。
又$\because ∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，
$\therefore ∠ AOB = ∠ COD$，
$\therefore 180° - ∠ AOB = 180° - ∠ COD$，
即$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$。
② 先证充分性：若$∠ A = ∠ C$，
由①知$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$，
等式两边同时减去$∠ A$（即$∠ C$），可得$∠ B = ∠ D$。
再证必要性：若$∠ B = ∠ D$，
由①知$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$，
等式两边同时减去$∠ B$（即$∠ D$），可得$∠ A = ∠ C$。
因此$∠ A = ∠ C ⇔ ∠ B = ∠ D$。
① 在$△ AOB$中，由三角形内角和定理得：
$∠ A + ∠ B + ∠ AOB = 180°$，
因此$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ AOB$。
在$△ COD$中，由三角形内角和定理得：
$∠ C + ∠ D + ∠ COD = 180°$，
因此$∠ C + ∠ D = 180° - ∠ COD$。
又$\because ∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，
$\therefore ∠ AOB = ∠ COD$，
$\therefore 180° - ∠ AOB = 180° - ∠ COD$，
即$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$。
② 先证充分性：若$∠ A = ∠ C$，
由①知$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$，
等式两边同时减去$∠ A$（即$∠ C$），可得$∠ B = ∠ D$。
再证必要性：若$∠ B = ∠ D$，
由①知$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$，
等式两边同时减去$∠ B$（即$∠ D$），可得$∠ A = ∠ C$。
因此$∠ A = ∠ C ⇔ ∠ B = ∠ D$。
4. 如图①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把如图①的图形称为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：
(2)如图②，请利用(1)中结论，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：
∠A+∠D=∠B+∠C
；(2)如图②，请利用(1)中结论，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
答案
【解】(1)$∠A+∠D=∠B+∠C$
(2)如图，连接 AD,则$∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°$.根据(1)中的结论可得$∠E+∠F=∠EDA+∠FAD$,
∴$∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=360°$.
