5. 如图，$△ ABC$的两条内角平分线$BO,CO$相交于点$O$，两条外角平分线$BP,CP$相交于点$P$。已知$∠ BOC=120°$,则$∠ P=$（）

A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$

A 【点拨】
∵∠BOC = 120°,
∴∠OBC+∠OCB = 180°−∠BOC=60°.又
∵BO,CO是∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=120°,
∴∠CBD+∠BCE=360°−(∠ABC+∠ACB)=240°.
∵BP,CP是∠CBD,∠BCE的平分线,
∴∠CBP+∠BCP=$\frac{1}{2}$(∠CBD+∠BCE)=120°,
∴∠P=180°−(∠CBP+∠BCP)=60°.

6.如图，∠AOB=70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（）

A.变大
B.变小
C.等于55°
D.等于35°

D 【点拨】
∵ME 平分∠AMN, NF 平分∠MNO,
∴∠EMN=$\frac{1}{2}$∠AMN,∠MNF=$\frac{1}{2}$∠MNO.
∵∠AMN=∠AOB+∠MNO,
∴∠EMN=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠MNO.
∵∠AOB=70°,
∴∠EMN=$\frac{1}{2}$×70°+∠MNF=35°+∠MNF.根据外角的定义,得∠EMN=∠F+∠MNF,
∴∠F=35°.

7.[2024达州]如图,在$△ ABC$中,$AE_{1},BE_{1}$分别是内角$∠ CAB$,外角$∠ CBD$的三等分线,且$∠ E_{1}AD=\frac{1}{3}∠ CAB$,$∠ E_{1}BD=\frac{1}{3}∠ CBD$,在$△ ABE_{1}$中,$AE_{2},BE_{2}$分别是内角$∠ E_{1}AB$,外角$∠ E_{1}BD$的三等分线,且$∠ E_{2}AD=\frac{1}{3}∠ E_{1}AB$,$∠ E_{2}BD=\frac{1}{3}∠ E_{1}BD$,$···$,以此规律作下去,若$∠ C = m°$,则$∠ E_{n} =$ 度.

$\frac{1}{3^n}m$ 【点拨】设$∠E_1AD=α,∠E_1BD=β$.
∵$∠E_1AD=\frac{1}{3}∠CAB$,$∠E_1BD = \frac{1}{3}∠CBD$,
∴$∠CAB = 3α$,$∠CBD=3β$.
∵$β = α + ∠E_1$,$3β = 3α + ∠C$,
∴$∠E_1=\frac{1}{3}∠C$.同理可求$∠E_2=\frac{1}{3}∠E_1$,
∴$∠E_2=(\frac{1}{3})^2∠C$,…,$∠E_n=(\frac{1}{3})^n∠C$,即$∠E_n=\frac{1}{3^n}m°$.

8. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$于点$D$，$AE$平分$∠ BAC$交$BC$于点$E$，若$∠ ABC=α$，$∠ ACB=β(α＞β)$，则$∠ DAE$的度数为.(用含$α,β$的式子表示)

$\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$ 【点拨】
∵∠ABC=α,∠C=β,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−α−β.
∵AE平分∠BAC交BC于点E,
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC = 90°−$\frac{1}{2}α$−$\frac{1}{2}β$,
∴∠AED=∠C+∠EAC=90°+$\frac{1}{2}β$−$\frac{1}{2}α$.
∵AD⊥BC,
∴∠DAE=90°−∠AED=$\frac{1}{2}α−\frac{1}{2}β$.

9. 在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于点M，点P是直线AC上一点，过点P作PH⊥BM于点H.
(1)如图，当∠ACB=110°，∠BAC=30°，且点P与点C重合时，∠APH=°；
(2)如图，当点P在AC的延长线上时，求证：2∠APH=∠ACB−∠BAC；
(3)如图，当点P在线段AM上(不含端点)时，①补全图形；②∠APH，∠ACB，∠BAC之间的数量关系为.

9.（1）40 【点拨】
∵∠ACB = 110°,∠BAC= 30°,
∴∠ABC= 180°−∠BAC−∠BCA = 180°− 30°−110°=40°.
∵BM平分∠ABC,
∴∠HBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}×40°=20°$.
∵PH⊥BM,
∴∠HCB=90°−∠HBC=90°−20°=70°,
∴∠APH=∠ACB−∠HCB=110°−70°=40°.
(2)【证明】如图①,作射线AH,则可得
∠4=∠1+∠2,∠3=∠5+∠P,
∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P.
∵PH⊥BH,
∴∠3+∠4=90°,
∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°,
即∠BAC+∠2+∠P=90°,
∴∠P=90°−∠BAC−∠2.
∵BH平分∠ABC,
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB,
∴∠2=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC−∠ACB),
∴∠APH = 90°−∠BAC−∠2 = 90°−∠BAC−$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC−∠ACB)=$\frac{1}{2}$(∠ACB−∠BAC).
∴2∠APH=∠ACB−∠BAC.
(3)【解】①如图②.
②$∠APH = 180°+\frac{1}{2}(∠BAC−∠ACB)$
【点拨】
∵BH 平分 ∠ABC,
∴∠ABH=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC−∠ACB).
∵PH ⊥ BH,
∴∠APH = 90°+∠AMH=90°+(∠ABH+∠BAC) = 90°+$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC−∠ACB) + ∠BAC = 180° + $\frac{1}{2}$(∠BAC−∠ACB),即$∠APH=180°+\frac{1}{2}(∠BAC−∠ACB)$.