1.[2025上海实验学校期中] 如图，将两块三角尺(∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°)的直角顶点叠放在一起.当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，若这两块三角尺有一组边互相平行，求∠ACE的度数.(画出符合条件的图形，并直接写出相应的∠ACE的度数)

依题意,分五种情况:
当AD//BC时,,此时∠ACE=30°;
当EB//AC时,,此时∠ACE=45°;
当AD//CE时,,此时∠ACE=120°;
当DC//EB时,,此时∠ACE=135°;
当AD//EB时,,此时∠ACE=165°.

2. 取一副三角尺按图①拼接，固定三角尺ADC，将三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC'，如图②所示。设∠CAC'=α。
(1)当α=15°时，求证：AB//CD；
(2)连接BD，当0°＜α≤45°时，∠DBC'+∠CAC'+∠BDC的度数是否变化，若变化，求出变化范围；若不变，求出其度数。

(1)【证明】
∵∠BAC=∠BAC'−∠CAC'=45°−15°=30°,
∴∠BAC=∠C=30°,
∴AB//CD.
(2)【解】当0°＜α≤45°时,∠DBC'+∠CAC'+∠BDC的度数不变,为105°.
连接CC',设DC,BC'交于点O,.
在△BDO和△OCC'中,∠BOD=∠COC',
∴∠BDO+∠DBO=∠OCC'+∠OC'C,
∴∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=∠BDO+α+∠DBO=∠OCC'+∠OC'C + α = 180°− 45°−30°=105°,
即当0°＜α≤45°时,∠DBC'+∠CAC'+∠BDC的度数不变,为105°.

3. 如图,把三角形纸片$ABC$沿着$DE$折叠.
(1)若点$A$落在四边形$BCDE$内部点$A'$的位置(如图①),且$∠ 1=40°,∠ 2=24°$,请求出$∠ A'$的度数;
(2)若点$A$落在四边形$BCDE$外部点$A'$的位置(如图②),求证:$∠ A'=\frac{1}{2}(∠ 1-∠ 2)$.

(1)【解】由折叠的性质得∠A=∠A',∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED.
∵∠1+∠ADE+∠A'DE = 180°,∠1 = 40°,∠2 + ∠AED+∠A'ED=180°,∠2=24°,
∴∠ADE=∠A'DE=70°,∠AED=∠A'ED=78°,
∴∠A'=180°−∠A'DE−∠A'ED=32°.
(2)【证明】由折叠的性质得∠A=∠A',∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED.
∵∠ADE+∠A'DE+∠1=180°,
∴∠ADE=∠A'DE=$\frac{180°−∠1}{2}=90°−\frac{1}{2}∠1$,
∴∠A'ED = ∠AED = 180°−∠A−∠ADE = 180°−∠A−90°+$\frac{1}{2}∠1$=90°−∠A+$\frac{1}{2}∠1$,
∴∠BED=180°−∠AED=90°+∠A−$\frac{1}{2}∠1$,
∴∠2=∠A'ED−∠BED=90°−∠A+$\frac{1}{2}∠1$−(90°+∠A−$\frac{1}{2}∠1$)=∠1−2∠A=∠1−2∠A',
∴∠A'=$\frac{1}{2}(∠1−∠2)$.